基本初等函数的运算和意义.docx
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基本初等函数的运算和意义
必修1第二章基本初等函数(I)
K2.1》指数函数
[2.1.1]指数与指数幕的运算
(I)根式的概念
1如果x,l=a,aeR.xeRjι>∖9且心NJ那么X叫做α的“次方根.当〃是奇数时,α的
"次方根用符号亦表示;当〃是偶数时,正数“的正的川次方根用符号亦表示,负的川次方根用符号-転表示:
O的舁次方根是0:
负数"没有〃次方根.
2式子亦叫做根式,这里“叫做根指数,"叫做被开方数.当〃为奇数时,〃为任意实数:
当”为偶数时,"≥O.
3根式的性质:
=a:
当〃为奇数时,历=Q;当灯为偶数时,
(«>0)
@<0)
(2)分数指数幫的槪念
1正数的正分数指数幕的意义是:
用=0(u>ZmN+且n>l).O的正分数指数幫等于0.
--1-厂j-
2正数的负分数指数幕的意义是:
απ=(-)π=^(-)m(a>0jnj1eN^且〃>1)・0的负分
aVa
数指数幕没有意义.注意口诀:
底数取倒数,指数取相反数•
(3)分数指数幕的运算性质
1UJa"=at^(U>0,r,4y∈7?
)②(αr)'=a,s(a>0,r,5∈/?
)
3(Uby=a,br(a>0,/?
>0,r∈R)
[2.1.2]指数函数及其性质
(4)指数函数
函数名称
指数函数
定义
函数y=ax(
">0且GHT)叫做指数函数
图象
a>1
OVdVl
八
(Oj)
定义
域
R
值域
(0,+s)
过定
点
图象过定点(0,1),即当X=O时,y=l.
奇偶性
非奇非偶
单调性
在R上是增函数
在R上是减函数
函数值的
变化情况
CIX>1(X>0)ax=1CX=0)
UX<1(XVO)
ax<1(Λ∙>0)
ax=1(X=0)
ax>1(XVO)
"变化对图象的影响
在第一象限内,"越大图象越高:
在第二象限内,"越大图象越低.
K2.23对数函数
【2.2.1】对数与对数运算
(1)对数的定义
1若6∕λ=N(a>0,且"≠1),则X叫做以。
为底N的对数,记作X=IogflN,其中d叫做底数,N叫做真数.
2负数和零没有对数.
3对数式与指数式的互化:
X=IOgλNodr=NW>0卫≠l,7V>0).
(2)几个重要的对数恒等式
IOgn1=0,IOgd"=1,IOgnd,=b.
(3)常用对数与自然对数
常用对数:
IgN,即IOglON:
自然对数:
InN,即IogFN(其中^=2.71828-).
(4)对数的运算性质
如果">0,dHhM>0,N>0,那么
1加法:
log。
M+IogdN=IOgd(MN)
2减i⅛:
logπ;W-Iogλ/V=Iogfl-
N
3数乘:
”IOgflM=IOgnM"(ZZ∈R)
4E=N
5IogIiMn=-1OgnM(Z?
≠0√7∈∕?
)
Qb
6换底公式:
1OgrIN=沁Y(b>O,且DHl)
IogbG
12.2-2]对数函数及其性质
(5)对数函数
函数名称
对数函数
定义
函数y=IOgax(a>O且a≠∖)叫做对数函数
图象
a>∖
OVdVl
y
(X=I
;y=IOgaX
厂
y
k1χ=l
Iy=^θgflX
O
/;a,。
)X
O
定义
域
(0,+s)
值域
R
过定
点
图象过迄点(1,0),即当X=I时,y=0.
奇偶性
非奇非偶
单调性
在(O,-HX))上是增函数
在(0,+oo)上是减函数
函数值的
变化情况
logrtX>0(x>l)
IOgaX=O(X=I)
IOgaxVO(0 IOgdXVO(X>1) IOgOx=0(X=I) IOgaX>O(OVXVl) "变化对 图象的影响 在第一象限内,"越大图象越靠低: 在第四象限内,"越大图象越靠髙. (6)反函数的槪念 设函数y=∕(x)的泄义域为A,值域为C,从式子y=∕(x)中解出%,得式子x=φ(y).如果对于y在C中的任何一个值,通过式子x=φ{y}^X在A中都有唯一确泄的值和它对应,那么式子x=φ{y)表示X是y的函数,函数x=φ{y}叫做函数y=∕(x)的反函数,记作牙=厂(刃,习惯上改写成y=ΓlM. (7)反函数的求法 1确立反函数的泄义域,即原函数的值域; 2从原函数式y=∕(x)中反解出X=∕^,(y): 3将x=∕"(y)改写成y=∕^,(χ).并注明反函数的泄义域. (8)反函数的性质 1原函数y=/(x)与反函数y=∕^,(X)的图象关于直线y=X对称. 2函数y=∕(χ)的左义域、值域分别是苴反函数y=Γ∖χ)的值域、泄义域. 3若Pab)在原函数y=/(x)的图象上,则P(b<)在反函数y=厂⑴的图象上. 4一般地,函数y=/W要有反函数则它必须为单调函数. K2.3》幕函数 (1)幕函数的泄义 一般地,函数y=xσ叫做幕函数,英中X为自变量,Q是常数. (2)幕函数的图象I (3)幫函数的性质 1图象分布: 幕函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象.幕函数是偶函数时,图象分布在第一、二象限(图象关于y轴对称): 是奇函数时,图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称): 是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限. 2过左点: 所有的幕函数在(0,+s)都有泄义,并且图象都通过点(1,1). 3单调性: 如果α>0,则幕函数的图象过原点,并且在[0,p)上为增函数.如果αvθ,则 幕函数的图象在(O,+s)上为减函数,在第一彖限内,图象无限接近X轴与y轴. 4奇偶性: 当Q为奇数时,幕函数为奇函数,当α为偶数时,幕函数为偶函数.当a=丄(其 P 中Pg互质,"和qeZ∖若"为奇数q为奇数时,则y=x7是奇函数,若〃为奇数q为偶数时, 2± 则y=x7是偶函数,若"为偶数G为奇数时,则y="是非奇非偶函数. 5图象特征: 幕函数y=√∖xe(O,+s),当α>l时,若Ovxvl,其图象在直线y=x下方, 若x>l,其图象在直线y=x±方,当αvl时,若OVXVl,其图象在直线y=x上方,若x>l,其图象在直线y=x下方. K补充知识》二次函数 (I)二次函数解析式的三种形式 1一般式: f(x)=ax2+bx+C(U≠0)②顶点式: f(x)=U(X-Λ)2+k(a≠0) ③两根式: /(x)=U(X-Xl)(x-x2Xa≠0) (2)求二次函数解析式的方法 1已知三个点坐标时,宜用一般式. 2已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时,常使用顶点式. 3若已知抛物线与X轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求/(x)更方便. (3)二次函数图象的性质 ①二次函数/M=Cix2+bx+c(a≠O)的图象是一条抛物线,对称轴方程为X=-—,顶点坐2a 2当α>0时,抛物线开口向上,函数在(Y>,-仝]上递减,在[-—,+co)上递增,当X=丄 2a2aIa 时,ZninW=46R~/r: 当GVo时,抛物线开口向下,函数在(Y,-21上递增,在[--.+OO) 4a2a2a 3二次函数fW=Ctx2+bx+c(a≠0)当△=b2-4ac>O时,图象与X轴有两个交点 MI(XrO).M2(x2,0)JM1M2I=IxI-X2 (4)一元二次方程ax2+hx+c=0(«≠0)根的分布 一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容,这部分知识在初中代数中虽有所涉及,但尚不够系统和完整,且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系左理(韦达左理)的运用,下而结合二次函数图象的性质,系统地来分析一元二次方程实根的分布. 设一元二次方程ax2+bx+c=O(a≠O)的两实根为x1,X2,且xi ①开口方向: “②对称轴位置: X=丄③判别式: Δ④端点 ③XUV龙<=>af(k)<0 5 有且仅有一个根血(或XJ满足h. ) 或/(Q二0这两种情况是否也符合 \/>0 /(⅛1)>0 Vf(k)<0 J(∕λ)<0 √¼)>0 此结论可直接由⑤推出. (5)二次函数fM=UX2+bx+c(a≠O){±.闭区间[几切上的最值 设/(X)在区间[p,q]上的最大值为M,最小值为加,令XO=-(P+q).2 (I)当α>O时(开口向上) 最小值 ③若-■—>q,则In=f(q)2a ①若—— 最大值 2一—>Λυ,则M=/(P)Ia (1【)当GVO时(开口向下) ①若则M=S 最大值 ②若心软—/(£ 3 若-■—>q,贝IJM=f(q)2a ~~~~~~~~ 第1讲§2.1.1指数与指数幕的运算 口学习目标: 理解有理指数扇的含义,通过具体实例「解实数指数帚的总义,掌握根式与分数指数帚的互化,拿握有理数指数帚的运算. CI知识要点: I.若Xn=S则兀叫做α的川次方根,记为亦,其中心,且neN∖〃次方根具有如下性质: (1)在实数范圉内,正数的奇次方根是•个正数,负数的奇次方根是•个负数;正数的偶次方根是两个绝对值相等.符号相反的数,负数的偶次方根没有意义: 零的任何次方根都是零. (2)"次方根(n>1,且〃GNJ有如下恒等式: (亦)”“;門;懈数;昕皿,5≥0)∙ «1 2・规定正数的分数指数扇: (7=佰(a>09HKneN∖且川>1〉: --11 ZjJf—— -J-^∙ Q例题精讲: 【例1】求下列各式的值: (1)呎3_7Ty(n>l9Kn∈/V4): (2)J(λ-)F• 的值. 2]1II5 【例3】化简: (1)(2/戻)(-6/卢)*(一3/灰): 【例4】化简与求值: (1)√6+4√2÷√6-4√2: (2)—LI厂+厂】厂+…+,】J l+√3√3+√5√5+√7√2^+√2^+l 第2讲§2.1.2指数函数及其性质 (一) CI学习目标: 理解指数函数的概念和总义,能借助计算器或计算机画岀具体指数函数的图像,探索并理解指数函数的单调性与特殊点,掌握指数函数的性质・ 。 知识要点: 1.定义: •般地,函数y=aκ(a>O.且α≠J)叫做指数函数(exponentialfunction)>其中x是自变量,函 数的定义域为/? ・ 2.以函数y=T与y=Gr的图象为例,观察这•对函数的图象,可总结出如下性质: 定义域为R,值域为(O.+oo): 当JV=O时,y=l,即图象过定点(0.1);当0<“<1时,在R上是减函数,当α>l时,在R上是增函数. □例题精讲: 【例1】求下列函数的定义域: 【例2】求下列函数的值域: 1J- (1)y=(-)3-1: (2)y=4τ+2r+1 3 【例3](05年福建卷•理5文6)函数f3=(严的图象如图,其中d、b为常数,则下列结论正确的是〉∙y A・a>∖,b<0B.a>∖,h>0∖ C.0 V1 .ZrTP~iF 【例4】已知函数/(X)=“i(U>0,且“工1)∙'1 (1)求该函数的图象恒过的定点坐标; (2)指出该函数的单调性. 第3讲§2.1.2指数函数及其性质 (二) CI学习目标: 在解决简单实际问题的过程中,体会指数函数是•类重要的函数模型.掌握指数函数的性质及应用・ CI知识要点: 以函数y==2*与y=(;)'的图象为例,得出这以下结论: (2)指数函数y=<∕rω>0.⅛≠l)的图彖在第•彖限内,图象由下至上,底数由下到人. CI例题精讲: 【例1】按从小到大的顺序排列下列各数: 3化0.3巴2化0.2巴 0.2τ-l 第4讲§2.2.1对数与对数运算 (一) O学习目标: 理解对数的槪念: 能够说明对数与指数的关系: 堂握对数式与指数式的相互转化,并能运用指对互化关系研究•些问题. CI知识要点: 1.定义: 般地,如果ω>O√∕≠l),那么数X叫做以α为底N的对数(IogarithIn)•记作X=Iogii",其中d叫做对数的底数,N叫做真数. 2.我们通常将以10为底的对数叫做常用对数(COmnIOnlogarithm),并把常用对数IOgIoN简记为IgN.在科学技术中常使用以无理数e=2.71828……为底的对数,以e为底的对数叫自然对数,并把自然对数IogeN简记作InM 3•根据对数的定义,得到对数与指数间的互化关系: 当QorHl时,log∕V=bθ/=: N. 4.负数与零没有对数;IogJ=O,log∕=l Q例题精讲: 【例1】将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式: (I)2"7=—; (2)3"=27;(3)IOT=0」: 128 (4)IOgl32=-5: (5)lg0.001=-3;(6)InlOO=4.606・ 【例2】计算下列各式的值: (I)lgθ.∞l; (2)Iog48;(3)ln√7. 【例4】试推导出换底公式: log√7=-⅛^(α>0,且"Hl: c>0.且C≠l;h>0). IogC“ 第5讲§2.2.1对数与对数运算 (二) □学习目标: 通过阅读材料,了解对数的发现历史以及对简化运算的作用: 理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将•般对数转化成自然对数或常用对数: 理解推导这些运算性质的依据和过程: 能较熟练地运用运算性质解决问题. 。 知识要点: I. IOgJvr=HIOge, 对数的运算法则: log'M∙N)=log<,M+k‰N, 其中“>0,且"Hl,M>0,N>S∙三条法则是有力的解题工具,能化简与求值复杂的对数式. 2.对数的换底公式IogHN=^LLL.如果令bN则得到了对数的倒数公式log,b=-L-•同样,也IOgb“IogbU 可以推导岀•些对数恒等式,如log,Nn=IOgdN,IOgUNn=—1OgUN,IOguMOgbc∙logr“=1等. 。 例题精讲: 【例1】化简与求值: (I)(lg√2)2+1Ig2.1g5+√(lg^⅛)2-Ig2+1: (2)log2(√4+√7+√4-√7). 【例2】若r=5"=10,则1÷1=・(教材“3B组2题) ab 【例3】 (1)方程Igx+lg(x+3)=1的解X=: (2)设心兀是方程lg2x+<∕lgx+/;=O的两个根,则心兀的值是- 【例4】 (1)化简: —^+―! —+—! —: IogS7Iog37Iog27 ⑵设Iog23∙log54∙log45…Iog20052006∙logzoo6w=4,求实数m的值. 第6讲§2.2.2对数函数及其性质 (一) □学习目标: 通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的槪念,体会对数函数是•类垂要的函数模型: 能借助计算器或计算机湎出具体对数函数的图像,探索并了解对数函数的单调性与特殊点. CI知识要点: 1.定义: •般地,当α>0且a≠il⅛,函数y=logaΛ叫做对数函^(logarithmicfunction).自变量是兀;函数的定义域是(0,+8)• 2.由y=Iog2X与y=log∣Λ∙的图象,可以归纳出对数函数的性质: 定义域为(0,+oc),值域为凡当”=1 时,y=0,即图象过定点(1,0): 当0VdVl时,在(0、+8)上递减,当Ql时,在(0.+oo)上递增・ O例题精讲: 【例1】比较大小: (1)Iog090.8tIOgog0.7,Iog080.9: (2)Iog32,Iog23,log」. 3 【例2】求下列函数的定义域: (1)y=71og2(3x-5): (2)y=Jlogo,⑷)-3・ 【例3】已知函数f(x)=logjx+3)的区间[一2,-1]上总有If(X)I<2.求实数α的取值范围. 【例4】求不等式logtf(2x+7)>⅛(4x-l)(a>09且心1)中X的取值范围. 第7讲§2.2.2对数函数及其性质 (二) Q学习目标: 掌握对数函数的性质,并能应用对数函数解决实际中的问题.知道指数函数.'=Tf与对数函数y=∖ogaX互为反函数.(α>O.) 。 知识要点: 1.当•个函数是••映射时,可以把这个函数的因变量作为•个新函数的自变量,而把这个函数的自变量新的函数的因变量.我们称这两个函数为反函数(inversefunction)・互为反函数的两个函数的图象关于直线y=X对称. 2.函数y=/(“>0,“H1)与对数函数y=Iog“X(U>0√∕≠1)互为反函数. 3.复合函数y=y∙(0(x))的单调性研究,口诀是“同增异减”,即两个函数同增或同减,复合后结果为增函数: 若两个函数•增•减,则复合后结果为减函数.研究复合函数单调性的具体步骤是: (D求定义域: (H)拆分函数;(Hi)分别求y=/(WXU=(P(X)的单调性;(∕v)按同增异减”得出复合函数的单调性. CI例题精讲: 【例U讨论函数y=k‰(3—2x)的单调性. 下列大小关系正确的是() B.0.43 D.1og40.3<3°4<0.43 【例2】(05年山东卷•文2) A.O.43<304 C.Iog40.3<0.43<3°4 【例3】指数函数y=/(“>0,“HI)的图象与对数函数y=Iog(IX(U的图象有何关系? 【例4】2005年10月12日,我国成功发射了“神州”六号载人飞船,这标志着中国人民又迈出了具有历史总义的•步•已知火箭的起飞重量M是箭体(包括搭载的飞行器)的重量加和燃料重量X之和•在不考虑空气阻力的条件下,假设火箭的最大速度y关于A-的函数关系式为: y=k[∖n(m÷x)-ln(√2w))÷41n2(其中RHO)•当燃料重量为(√7-l)∕π吨2为自然对数的底数,S2.72)时,该火箭的最大速度为4(kιWs)・ (1)求火箭的最大速度y(hn∕s)与燃料重量X吨之间的函数关系式y=∕(x): (2)已知该火箭的起飞重量是544吨,是应装载多少吨燃料,才能使该火箭的最人飞行•速度达到8km∕s,顺利地把飞船发送到预定的轨道? 第8讲§2.3幕函数 口学习目标: 通过实例,了解显函数的概念: 结合函数y=χy=AΛy=χ∖y=l∕Xyy=X^的图像,了解它们的变化情况. 知识要点: I.慕函数的基本形式是y=Aa,其中X是自变量,α是常数•要求掌握y=x,y=F,y=√,>∙=χu2,y=A--1这五个常用扇函数的图象. 2.观察出幕函数的共性,总结如下: (1)当α>0时,图象过定点(O,O),(l,l): 在(0,+oo)上是增函数. (2)当QVO时,图象过定点(1,1): 在(O9-Wc)上是减函数: 在第i象限内,图象向上及向右都与坐标轴无限趋近. 3.帚函数y=+的图象,在第•象限内,直线χ=l的右侧,图象由下至上.指数α由小到大.y轴和宜线λ=1之间.图象由上至下,指数α由小到大. □例题精讲: 【例1】已知幕函数y=/(X)的图象过点(27,3),试讨论其单调性. 【例2】已知慕函数y=Z1-6OMeZ)=x2^,i(meZ)的图象都与…y轴都没有公共点,且y=Z,"OnCZ)的图象关于y轴对称,求加的值. 【例3】帚函数y=xw与y=疋在第•象限内的图象如图所示,则( A・-IvnvOvmvlB.n<—l,0 C・-IVHVO、加>1D・n<-∖jn>1 【例4]本市某区大力开展民心工程,近几年来对全区“沪的老房了进行平改坡C平改坡”是指在建筑结构许可条件下,将多层住宅平屋面改建成坡屋顶,并对外墙面进行整修粉饰,达到改善住宅性能和建筑物外观视觉效果的房屋修缮行为),且每年平改坡面积的百分比相等.若改造到面积的•半时,所用时间需10年.已知到今年为止,平改坡剰余面积为原来的迟・ 2 (I)求每年平改坡的百分比; (2)问到今年为止,该平改坡工程己进行了多少年? (3)若通过技术创新,至少保留的老房了•开辟新的改造途径.今后最多还需平改坡多少年? 第9讲第二章基本初等函数(I)复习 。 学习目标: 理解堂握指数函数、对数函数和扇函数的性质、图象及运算性质.突出联系与转化、分类与讨论.数与形结合等重要的数学思想.能力.通过对指数函数、对数函数等具体函数的研究,加深对函数槪念的理解. CI例题精讲: 【例1】若f(x)=axω>Ot⅛≠l),则/(≤√⅛)÷-∕Cv2)・ 22 【例2】已知函数f(x)=-√-(b≠05α>0). Cix"+1 <1)判断/(X)的奇偶性: ⑵⅛r∕(D=l,log,(4u-∕7)=llog,4.求α,b的值.22 【例3]<01天沖卷.19)设α>0,f(χ)=-+-是R上的偶函数.aex (1)求α的值: (2)证明f(Λ∙)在(0,Ho)上是增函数. 【例4】已知1992年底世界人口达到54.8亿. (1)若人口的平均增长率为1.2%,写出经过『年后的世界人口数y(亿)与『的函数解析式; (2)若人口的平均增长率为x%,写出2010年底世界人口数为y(亿)与X的函数解析式.如果要使2010年的人口数不超过66.8亿,试求人口的年平均增长率应控制在多少以内?
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