50奇数和偶数上下924.docx
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50奇数和偶数上下924
(50)奇数和偶数(上下)9.24
(五十)奇数和偶数(上)
《奥赛天天练》第三十八、三十九讲《奇数和偶数》,学习运用奇数、偶数的性质解答一些稍复杂的判断计算结果奇偶性的问题(第38讲),及日常生活中的一些趣题,如翻牌问题、参观路线问题、握手问题、开灯问题等(第39讲)。
有关奇数、偶数性质,及较简单的奇偶数问题,请查阅:
三年级奥数解析(四十三)奇与偶
四年级奥数解析(四十二)奇、偶分析
《奥赛天天练》第38讲,模仿训练,练习1
【题目】:
1+2+3+…+1999+2000+2001的和是奇数还是偶数?
【解析】:
判断一道只含加减运算算式结果是奇数还是偶数,主要看算式中奇数的个数,算式中有奇数个奇数结果为奇数,算式中有偶数个奇数,计算结果为偶数。
从1到2000这2000个连续自然数中,有(2000÷2﹦)1000个奇数,再加上2001是奇数,算式中共有1001个奇数,所以这道算式的计算结果为奇数。
《奥赛天天练》第38讲,模仿训练,练习2
【题目】:
41名同学参加智力竞赛,竞赛共20道题,评分方法是:
基础分15分,答对一题加5分,不答加1分,答错1题倒扣1分。
请问所有参赛同学得分的总和是奇数还是偶数?
【解析】:
每名同学的得分可以用基础分依次加上每一道答对或不答题的得分,再依次减去每一道答错题的失分。
因为每一道题无论是答对、不答得分数,或答错失分数都是奇数,共20道题,20个(即偶数个)奇数相加减计算结果是偶数,再加上基础分15分是奇数,所以每名同学最后得分都是奇数。
全班41名同学得分总和,就是41(即奇数个)个奇数相加,一定是奇数。
《奥赛天天练》第38讲,巩固训练,习题1
【题目】:
有100个自然数,它们的和是偶数,在这100个自然数中,奇数的个数比偶数的个数多,问这些自然数中至多有多少个偶数?
【解析】:
100个自然数连加,和是自然数,则这100个自然数中必然有偶数个奇数。
又因为100个自然数中奇数的个数比偶数多,而任意一个自然数不是奇数,就是偶数,则奇数的个数一定超过(100÷2﹦)50个。
50+2﹦52(个)
综上所述,这100个自然数中至少有52个奇数。
所以这些自然数中至多有偶数:
100-52﹦48(个)。
《奥赛天天练》第38讲,巩固训练,习题2
【题目】:
已知a,b,c中有一个是2001,一个是2002,另一个是2003,判断:
(a-1)×(b-2)×(c-3)的结果是奇数还是偶数?
【解析】:
若干个整数相乘,其中若有一个乘数是偶数,积就是偶数。
根据题意,a可能是2001、2002或2003:
假设a是2001,a-1﹦2001-1﹦2000,2000是偶数,则所求的结果是偶数;
同理可得,a是2003时,所求结果也是偶数;
假设a是2002,c只能是2001或2003,一定是奇数,(c-3)的差就是偶数,则所求结果一定是偶数。
综上所述,(a-1)×(b-2)×(c-3)的结果一定是偶数。
《奥赛天天练》第38讲,拓展提高,习题1
【题目】:
有一类小于200的自然数,每一个数的各位数字之和都是奇数,并且每个数都是两个两位数的乘积(如144﹦12×12),把这一类自然数从大到小排列,第三个数是多少?
【解析】:
所求自然数小于200,且能分解成两个两位数因数的乘积。
因为200﹤152,如果两个因数都大于或等于15,这个数就大于200了,所以这两个两位数因数,至少有一个因数小于15。
根据因数特征,按从大到小的顺序,尝试计算,寻找符合条件的此类自然数:
13×15﹦195
13×14﹦182
12×15﹦180
这一类自然数从大到小排列,第三个数是180。
《奥赛天天练》第38讲,拓展提高,习题2
【题目】:
能否在下面的“□”内填入加号或减号,使等式成立?
为什么?
1□2□3□4□5□6□7□8□9﹦10
【解析】:
判断一道只含加减运算算式结果是奇数还是偶数,主要看算式中奇数的个数。
算式1□2□3□4□5□6□7□8□9中,共有5个奇数:
1、3、5、7、9,所以这道算式,无论在“□”内填入的是加号还是减号,计算结果一定是奇数,不可能是偶数10。
所以无论在“□”内填入的是加号还是减号,这个等式都不能成立。
(五十一)奇数和偶数(下)
《奥赛天天练》第39讲,模仿训练,练习1
【题目】:
一副扑克牌54张,除去大、小王后还有52张,则取同一花色的13张牌正面朝上放好,按牌上的数的约数个数作为翻动次数(这里把J,Q,K看作11,12,13),问这些牌经过翻动后,都有那些牌背面朝上?
【解析】:
一、每张牌正面朝上放好,翻动偶数次后仍然正面朝上,翻动奇数次后变化为背面朝上。
二,任意一个整数的约数都是成对出现的。
如果一个整数是完全平方数,即可以写成另一个整数的平方,则这个数有奇数个因数。
如果一个整数不是完全平方数,则这个数有偶数个因数。
三、1到13中,完全平方数有3个:
1,4,9。
综上所述,1,4,9这三张牌经过翻动后背面朝上。
《奥赛天天练》第39讲,模仿训练,练习2
【题目】:
某展览馆共有36个陈列室,相邻两室之间都有门通行,有人希望每个展览室都去一次,并且只去一次,你能替他设计参观路线吗?
【解析】:
如上图,把6×6的方格黑、白相间染色。
从图中可以看出,从黑格走出后,只能进入白格,从白格走出后只能进入黑格。
从入口黑格进入展览馆,参观路线只能是:
黑﹥白﹥黑﹥白……
走到黑格时共参观了奇数个陈列室,走到白格时共参观了偶数个陈列室。
要参观36个陈列室,最后到达的是白格陈列室,而出口在黑格陈列室。
所以无法设计出符合题目要求的参观路线。
《奥赛天天练》第39讲,巩固训练,习题1
【题目】:
由14个1×1的正方形组成下图,用7个1×2的长方形能不能把这个图形都盖住?
为什么?
【解析】:
把这些小正方形黑白相间染色,与任意黑格相邻的必是白格,而与白格相邻的必是白格,如下图,用1×2的长方形去覆盖,每次盖住两个相邻小正方形一个是黑格,一个是白格:
7个长方形只能盖住7个黑格和7个白格,而上图中有6个白格、8个黑格,所以,7个1×2的长方形不能把原图形都盖住。
《奥赛天天练》第39讲,巩固训练,习题2
【题目】:
一次宴会上,客人们相互握手,问握手次数是奇数的那些人总数是奇数还是偶数?
【解析】:
两人握手,给每人各计数一次,共2次,则无论多少人相互握手,握手总次数为偶数。
把宴会上握手的人分为两类:
第一类是握手次数为偶数的人,第二类是握手次数为奇数的人。
N个偶数相加的和仍为偶数,第一类人握手总次数为偶数,所有人握手总次数也是偶数,偶数减偶数还是偶数,所以第二类人握手总次数也是偶数。
第二类人,每人握手次数为奇数,奇数个奇数相加和为奇数,偶数个奇数相加和才为偶数。
第二类人握手总次数为偶数,所以第二类人总数也是偶数。
即宴会上握手次数是奇数的那些人总数是偶数。
《奥赛天天练》第39讲,拓展提高,习题1
【题目】:
能否用3个“田”字形纸片(如下面左图)和13个“丁”字形纸片(如下面右图)完全盖住一个8×8的正方形棋盘?
【解析】:
如下图,把棋盘黑白相间染色,共有32个黑格、32个白格。
用“田”字形纸片覆盖,每张纸片能盖住2个黑格、2个白格,用“丁”字形纸片覆盖,能盖住3个黑格、1个白格或3个白格、1个黑格:
3个“田”字形纸片覆盖了6个黑格和6个白格,剩下26个黑格、26个白格共52格,黑格数和白格数都是偶数。
每个“丁”字形纸片覆盖的黑格数和白格数都是奇数(1格或3格),共有13个“丁”字形纸片,正好覆盖52格。
但13个奇数的和还是奇数,因此覆盖的白格数和黑格数都是奇数,不可能都盖住26格。
因此,用所给的纸片不能盖住整个棋盘。
《奥赛天天练》第39讲,拓展提高,习题2
【题目】:
有n盏有拉线开关的灯都亮着,规定每次拉动(n-1)个开关,能不能将所有灯都关上?
【解析】:
n盏灯开始都是亮着的。
每盏灯拉动开关奇数次后会关上,拉动开关偶数次后又会点亮。
分两种情况讨论:
一、当n是奇数时,(n-1)是偶数。
要使所有灯都关上,每盏灯都要拉动奇数次,奇数个奇数的和是奇数,n盏灯拉动开关的总次数必须是奇数;
每次拉动(n-1)个开关,(n-1)是偶数,无论拉动多少次,任意多个偶数的和是偶数,拉动开关的总次数只能是偶数。
所以当n是奇数时,按规定,不能将所有灯都关上。
二、当n是偶数时。
如下图,白点表示亮灯,黑点表示关灯,每次拉动(n-1)盏灯,黑白交界处有一盏没有拉动的灯:
开始时:
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ……
第一次:
○ ● ● ● ● ● ● ● ● ……
第二次:
● ● ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ……
第三次:
○ ○ ○ ● ● ● ● ● ● ……
第四次:
● ● ● ● ○ ○ ○ ○ ○ ……
第五次:
○ ○ ○ ○ ○ ● ● ● ● ……
第六次:
● ● ● ● ● ● ○ ○ ○ ……
…… ……
观察上面图示可以发现,当n是偶数时,每次拉动(n-1)盏灯,拉动n次,可以将n盏灯全部关上。
三年级奥数解析(四十三)奇与偶
《奥赛天天练》第49讲《奇与偶》。
所有整数可以分为奇数和偶数两大类,现阶段,所谓奇数指的就是孩子们熟悉的单数,偶数指的就是双数和0。
在四年级,孩子们将学到奇、偶数完整的定义:
能被2整除的整数叫做偶数。
如0,2,4,…等都是偶数,包括正偶数、负偶数和0。
不能被2整除的整数叫做奇数。
如1,3,5,…等都是奇数,包括正奇数和负奇数。
人们习惯上常用2n表示偶数,用2n+1表示奇数(其中n是整数)。
通过实验,孩子们很容易证明奇、偶数有下面一些重要性质:
1、任意一个整数都有奇偶性,即不是奇数就是偶数。
2、奇数±奇数=偶数,奇数±偶数=奇数,偶数±偶数=偶数。
3、奇数个奇数的和(或差)为奇数;偶数个奇数的和(或差)为偶数;任意多个偶数的和(或差)总是偶数。
4、两个奇数之积为奇数;一个偶数与一个整数之积为偶数。
5、若干个整数相乘,其中若有一个乘数是偶数,积就是偶数;如果所有的乘数都是奇数,积就是奇数。
6、偶数的平方必能被4整除,奇数的平方被4除余1。
注:
第3条性质可以利用第2条性质进行证明,第5条性质可以利用第4条性质进行证明。
《奥赛天天练》第49讲,巩固训练,习题1
【题目】:
有5盏亮着的灯,每盏都用拉线开关,如果规定每次必须同时拉动4个拉线开关。
试问:
能否把5盏灯都关闭?
【解析】:
每次同时拉动4个拉线开关,不能把5盏灯都关闭。
任意一盏灯在亮着的状态下,只有拉动奇数次,才能把灯关闭。
要5盏灯都关闭,则每盏灯都要拉动奇数次,总次数为5个奇数的和还是奇数次。
而按规定“每次必须同时拉动4个拉线开关”,4是偶数,无论拉多少次,总次数都是若干个4相加必然是偶数次,不可能是奇数次。
因此不能把把5盏灯都关闭。
《奥赛天天练》第49讲,拓展提高,习题1
【题目】:
桌上有6只杯口朝上的杯子,每次翻动4只杯子,能否经过若干次翻动,使全部杯口朝下?
为什么?
【解析】:
首先根据翻动次数的奇偶性,判断这样翻动有可能使全部杯口朝下:
每只杯子在杯口朝上的状况下,只有翻动奇数次才能使杯口朝下,6个杯子全部杯口朝下,翻动的总次数为6个奇数次的和为偶数次。
而每次翻动4只杯子,经过若干次翻动,总次数为若干个4次的和也是偶数次。
所以这样翻动有可能使全部杯口朝下。
再通过画图、实验进行验证。
如下图,通过三次翻动可以使全部杯口朝下。
∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪
第一次翻动:
∩ ∩ ∩ ∩ ∪ ∪
第二次翻动:
∩ ∪ ∪ ∪ ∪ ∩
第三次翻动:
∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩
《奥赛天天练》第49讲,拓展提高,习题2
【题目】:
有17个同学面朝东站着,每次有6个同学向后转,能否用这种方法将17个同学全部转过来,使他们都面朝西站着?
为什么?
【解析】:
不能。
与上面《巩固训练,习题1》同理,每个同学在面朝东站着时,只有向后转奇数次,才能面朝西站着,17个同学全部转过来,向后转的总次数是17个奇数的和,还是奇数次。
而每次有6个同学向后转,无论转多少次,向后转的总次数也是偶数次。
所以用这种方法不能使17个同学都面朝西站着。
四年级奥数解析(四十二)奇、偶分析
《奥赛天天练》第38讲《奇、偶分析》。
奇、偶性是所有整数都具有的性质,任意整数不是奇数就是偶数。
根据整数的奇、偶特征,及其在运算中的规律,可以解决一些数学问题。
相关常识,在三年级奥数课堂已有专题介绍,请查阅:
三年级奥数解析(四十三)奇与偶
补充:
⑴任意相邻的两个奇数或两个偶数的差为2。
⑵2n个连续奇数或偶数的和,就是按大小顺序排在正中间的两个数和的n倍,这2n个数的平均数就是中间两个数和的一半。
⑶2n+1个连续奇数或偶数的和,就是按大小顺序排在正中间的一个数和的2n+1倍,正中间的这个数就是这2n+1个数的平均数。
本讲在三年级所学基础上,进一步探究,如何通过分析整数的奇偶特征,来解决一些相关的数学问题。
《奥赛天天练》第38讲,模仿训练,练习1
【题目】:
2,4,6,8,…是连续的偶数,若5个连续的偶数的和是320,这5个数中最小的一个是多少?
【解析】:
320÷5=64
所以这5个连续偶数正中间的一个数是64,这5个数是:
60、62、64、66、68。
最小的一个为:
64-2×2=60。
《奥赛天天练》第38讲,模仿训练,练习2
【题目】:
有一列数2,3,5,8,13,21,34,…第2003个数是奇数还是偶数?
【解析】:
观察这一列数的特征:
从第三个数开始,每个数都是这个数之前两个数的和,且第一个数是偶数,第二个数是奇数。
根据两个整数相加,和的奇偶性的呈现规律可得这一列数的奇偶性为:
偶、奇、奇、偶、奇、奇、偶、奇、奇……
每3个数一组,按“偶、奇、奇”的顺序呈周期性排列。
2003÷3=667……2
所以,第2003个数是奇数。
《奥赛天天练》第38讲,巩固训练,习题1
【题目】:
一次数学考试共有20道题,规定答对一题得2分,答错一题倒扣1分,未答的题不计分。
考试结束后,小明共得23分。
他想知道自己做错了几道题,但只记得未答的题的数目是个偶数。
请你帮小明算一下,他答错了几道题?
还有几道题没有答?
【解析】:
答对一题得2分,无论答对多少题,总得分必是偶数。
小明总分是23,为奇数,所以小明倒扣分一定是奇数,即答错题的数目一定是奇数。
又因为未答的题的数目是个偶数,总题数20也是偶数,所以小明答对的题数必定也是奇数。
小明最后得分为23分,每答对一题得2分,小明至少要答对13题以上。
假设小明答对13题:
13×2-23=3(题);20-13-3=4(题)
则小明答错了3道题,有4道题未答。
假设小明答对了15道题及15道题以上,通过计算可得总题数超过了20道,不符合题意。
所以本题只有唯一答案:
小明答错了3道题,有4道题未答。
《奥赛天天练》第38讲,巩固训练,习题2
【题目】:
某班有29个小朋友,现在要举行乒乓求比赛,能不能让他们每个人都恰好与其他三个人比赛一次?
【解析】:
每场比赛都有两人参加,两人单算就是2场比赛,总场数一定为偶数。
但29个小朋友每个人都与其他三人正好比赛一次,及每人3场比赛,总场数为:
29×3,是奇数场。
所以,不可能让他们每个人都恰好与其他三个人比赛一次。
《奥赛天天练》第38讲,拓展提高,习题1
【题目】:
在下图中的每个○中填入一个自然数(可以相同),使得任意两个相邻的○中的数字之差(大数减小数),恰好等于它们之间所标的数字,能否办到?
为什么?
【解析】:
第一种情况:
假设在最上面一个○里填上一个奇数,这个数与中间一层两个○里的数的差分别是5和3两个奇数,则中间一层两个○里的数必须是偶数。
如果中间一层两个○里的数都是偶数,这两个数与下面一层两个○里的数的差分别是4和2两个偶数,则下面一层两个○里的数也是偶数。
下面两个○的两个数如果是偶数,它们的差一定是偶数,不可能是3。
所以这种情况不存在。
第二种情况:
假设在最上面一个○里填上一个偶数,这个数与中间一层两个○里的数的差分别是5和3两个奇数,则中间一层两个○里的数必须是奇数。
如果中间一层两个○里的数都是奇数,这两个数与下面一层两个○里的数的差分别是4和2两个偶数,则下面一层两个○里的数也是奇数。
下面两个○的两个数如果是奇数,它们的差一定是偶数,不可能是3。
所以这种情况也不存在。
综上所述,本题前面的要求不可能办到。
《奥赛天天练》第38讲,拓展提高,习题2
【题目】:
有一批文章共15篇,各篇文章的页数分别是1页、2页、3页、……、14页、15页。
如果将这些文章按某种次序装订成册,并统一编上页码,那么每篇文章的第一页是奇数页码的文章最多有多少篇?
【解析】:
这15篇文章中,8篇文章有奇数页,7篇文章有偶数页。
偶数页的文章,如果第一页为整册的奇数页,最后一页肯定是正道的偶数页,即下一篇文章第一页仍然是整册的奇数页。
奇数页的文章,如果第一页为整册的奇数页,最后一页肯定还是整册的奇数页,即下一篇文章第一页一定是整册的偶数页;如果第一页为整册的偶数页,最后一页肯定还是整册的偶数页,即下一篇文章第一页一定是整册的奇数页。
所以,一定要尽可能地把所有偶数页的文章第一页都排在整册奇数页,奇数页文章则怎么排都一样,相邻两篇的第一页必定一个在整册的奇数页,另一个在整册的偶数页。
按照这个原则,排列方法很多,例如:
前7篇排有偶数页的文章,每篇文章的第一页都在整册的奇数页;后8篇排有奇数页的8篇文章,每篇文章第一页的页码奇、偶相间。
所以,第一页是奇数页码的文章最多有:
7+8÷2=11(篇)
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