等腰三角形性质试题及答案.docx
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等腰三角形性质试题及答案
等腰三角形性质试题及答案
一.教学内容:
等腰三角形
等腰三角形的性质
二.重点、难点:
重点:
理解和掌握等腰三角形以下性质:
1.等腰三角形轴对称性质;2.等边对等角;3.三线合一。
难点:
1.推导性质。
通过操作,观察、分析、归纳得出等腰三角形性质的过程。
2.应用性质。
等腰三角形三线合一性质的运用,在解题思路上需要作一些转换。
三.知识要点及学习目标
1.等腰三角形的有关概念。
首先要能根据边的长短识别和判断等腰三角形;其次,能够明确指出已知的等腰三角形的顶角、底角、腰和底边。
如图,△ABC中,若AB、BC、AC三边中有其中两边相等,则△ABC称为等腰三角形。
图中AB=AC,图中AC=BC,图中AB=BC。
相等的两边称为等腰三角形的腰,另一边称为等腰三角形的底边;两腰的夹角称为等腰三角形的顶角,另外两个角称为等腰三角形的底角。
你能指出上述三幅图中的腰、底边,顶角和底角吗?
2.等腰三角形的轴对称性。
通过折纸操作认识探索等腰三角形的轴对称性。
明确等腰三角形的对称轴是等腰三角形顶角平分线所在的直线。
根据轴对称图形的概念我们知道:
如果一个图形沿着某条直线对折后,直线两旁的部分能够完全重合,那么这个图形就叫轴对称图形。
如果在△ABC中,AB=AC,我们画出顶角∠BAC的平分线AD,沿着AD对折△ABC会发现什么结论?
通过操作显示出等腰△ABC是一个轴对称图形。
它的对称轴就是角平分线AD所在的直线。
。
3.推导等腰三角形的性质。
通过进一步实验、观察、交流等活动推导等腰三角形的性质,从而加深对轴对称变换的认识。
因为等腰三角形是轴对称图形,而图形轴对称变换是全等变换中的一种基本变换,所以如下图,△ABC中,若AB=AC,AD是△ABC的∠BAC的平分线,当我们沿AD折叠时,会发现AD两旁的△ABD与△ACD能够重合即△ABD≌△ACD。
再根据全等的性质可以得出一些对应相等的边、对应相等的角。
∠B=∠C,∠BDA=∠CDA=90°BD=CD
追根溯源来看这些相等的边和相等的角是什么条件带来的,就可以得出等腰三角形的性质。
4.掌握等腰三角形的下列性质:
等腰三角形的两个底角相等;等腰三角形三线合一。
我们把在上述图形中等腰三角形AB=AC这个条件出发,得出的角相等∠B=∠C,这条性质称为等腰三角形的两个底角相等。
。
等腰三角形AB=AC和顶角平分线∠BAD=∠DAC这两个条件出发,得出BD=CD,∠BDA=∠CDA=90°,这条性质称为等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合,简称为等腰三角形三线合一。
5.会利用等腰三角形的性质进行简单的推理、判断、计算和作图。
利用等腰三角形的性质解题时,一定要注意正确地表述性质的条件和结论。
结合图形我们可以这样来表述:
如下图,△ABC中,
∵AB=AC,∴∠B=∠C。
∵AB=AC,∠BAD=∠DAC∴BD=CD且AD⊥BC。
或∵AB=AC,BD=CD
∴∠BAD=∠DAC且AD⊥BC。
或∵AB=AC,AD⊥BC∴∠BAD=∠DAC且BD=CD。
【典型例题】
例题1.如图D在AC上,AB=AC,AD=DB,请指出图中的等腰三角形,以及它们的腰、底边、顶角及底角。
分析:
这里要根据条件来说明图形的名称,而不是凭直观和想象。
相等的两边叫腰,另一边叫底边;两腰的夹角叫顶角,另外的两角叫底角。
解:
图中的等腰三角形有:
△ABC和△ADB。
它们的腰、底边、顶角、底角分别列表如下:
△ABC
腰AB、AC底边BC顶角∠BAC底角∠CBA,∠C
ABD注意:
在没有明确三角形的具体条件的情况下,关于等腰三角形的有关概念有多种可能的结果存在。
如:
△ABC是等腰三角形,就有可能AB、AC是腰或AB、BC是腰或AC、BC是腰,相应的底边、顶角、底角也都会发生变化。
所以在叙述等腰三角形时,一般要明确指出相等的两边是哪两边。
例2.如下图,在△ABC中,AB=AC,D、E分别是AB、AC边上的点,且AD=AE,AP是△ABC的角平分线。
点D、E关于AP对称吗?
DE与BC平行吗?
说明理。
△ADBAD、DBAB∠BDA∠BAD,∠
分析:
根据等腰三角形的轴对称性研究下列问题:
将等腰△ABC沿顶角平分线折叠时,线段AD与AE能重合吗?
为什么?
边AB与AC呢?
AD与AE重合,AB与AC重合,说明点D与点E,点B与点C分别有怎样的位置关系?
轴对称图形有什么性质?
此可推出AP与DE,BC有怎样的位置关系?
那么DE与BC呢?
解:
点D、E关于AP对称,且DE∥BC。
理如下:
因为AP是∠BAC的平分线,AB=AC,AD=AE。
则当把图形沿直线AP对折时,线段AB与AC重合,线段AD与AE重合,所以点B、C关于直线AP对称,点D、E也关于直线AP对称,所以BC⊥AP,DE⊥AP,所以DE∥BC。
注意:
这里AB与AC重合以及AD与AE重合的理是:
等腰三角形是轴对称图形,顶角平分线所在的直线是对称轴。
例3.在△ABC中,AB=AC,∠A=50°,求∠B,∠C的度数
分析:
根据等腰三角形的性质:
两底角相等。
结合三角形的内角和等于180°来计算。
解:
在△ABC中,∵AB=AC,
∴∠B=∠C∵∠A+∠B+∠C=180°,∠A=50°∴∠B=∠C===65°
注意:
此题也可以用代数的方法来解,其解题依据仍然是:
等腰三角形的
两底角相等和三角形的内角和为180°。
例4.已知线段a,h用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使底边BC=a,BC边上的高线为h。
分析:
假设图形已经作出,BC长已知,可以先作出BC边,要作等腰三角形ABC,关键是要作出哪一个点?
已知BC边上的高的长度为h,你能作出BC边上的高线吗?
等腰三角形底边上的高线与中线有什么关系?
此能确定顶点A的位置吗?
作法:
如下图。
1.作线段BC=a。
2.作线段BC的垂直平分线l,交BC于点D.3.在直线l上截取DA=h,连结AB,AC。
则△ABC就是所求的等腰三角形。
注意:
这里作图的依据是:
等腰三角形三线合一的性质。
更准确地理解三线合一的性质应该是“把等腰、底边上的高、底边上的中线、顶角平分线作为四个元素,从中任意取出两个元素当成条件,就可以得到另外两个元素作为结论”。
例5.已知在△ABC中,AB=AC,直线AE交BC于点D,O是AE上一动点但不与A重合,且OB=OC,试猜想AE与BC的关系,并说明你的猜想的理。
猜想:
AE⊥BC,BD=CD说理:
∵AB=AC(已知)OB=OC(已知)
AO=AO
∴△ABO≌△ACO∴∠BAO=∠CAO
∴AE⊥BC,BD=CD注意:
等腰三角形的三线合一的性质其本质是等腰三角形是轴对称图形。
而轴对称又是全等变换中的基本形式,因此常用全等来研究等腰三角形中的问题。
例6.探索:
等腰三角形两底角的平分线大小关系。
已知:
如图,在△ABC中,AB=AC,BD、CE分别是两底角的平分线。
猜想:
BD=CE.
解:
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB∵BD、CE分别是两底角的平分线
∴∠DBC=∠ABC,∠ECB=∠ACB∴∠DBC=∠ECB,
在△DBC和△ECB中∠DBC=∠ECB,BC=CB,∠ABC=∠ACB,∴△DBC≌△ECB
∴BD=CE
注意:
等腰三角形除了顶角平分线、底边上的中线、底边上的高以外,还有其他一些相关的线段,探索它们之间的关系也属于等腰三角形性质的一部分,此例就是所做的一种探索,按照这种思路大家还可以对其他线段进行探索。
课后反思:
认识等腰三角形并不困难,但要正确表述却不容易。
特别是等腰三角形三线合一的性质的应用,很容易只给出一个条件,就得出结论。
应用等腰三角形性质进行说理正确的表述格式如下:
在△ABC中,如下图,∵AB=AC
∴∠B=∠C在△ABC中,如下图
∵AB=AC,∠1=∠2
∴AD⊥BC,BD=DC∵AB=AC,BD=DC
∴AD⊥BC,∠1=∠2∵AB=AC,AD⊥BC
∴BD=DC,∠1=∠2
【模拟试题】
一.填空:
在△ABC中,AB=AC,D在BC上,
1.如果AD⊥BC,那么∠BAD=∠______,BD=_______。
2.如果∠BAD=∠CAD,BC=6cm,那么∠BDA=_____°,BD=______cm。
3.如果BD=CD,那么∠BAD=∠_______,AD⊥______。
4.如果∠B=80°,那么∠BAC=
5.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=40°,M是BC的中点,那么∠AMC= , ∠BAM=
6.如下图,在△ABC中,AB=AC,∠DAC是△ABC的外角。
则:
∠BAC=180°-∠B,∠B=∠DAC= ∠C。
7.如下图,在△ABC中,AB=AC,外角∠DCA=100°,则∠B= °
8.如果等腰三角形有两边的长分别为12cm,5cm,这个三角形的周长是 cm。
二.解答题
1.请写出周长为8cm,且边长均为整数的等腰三角形的各边长。
2.在等腰三角形ABC中,AB=AC,周长为14cm,AC边上的中线BD把△ABC分成了周长差为4cm的两个三角形,求△ABC各边长。
3.一个等腰三角形的两个内角度数之比为4∶1,求这个三角形各角度数。
4.如图已知AB=AC,BD=DC,AE平分∠CAF,试判断AE与AD的位置关系,并说明理。
【试题答案】
一.填空
1.∠CAD,CD 2.90,3 3.∠CAD,BC4.20°
5.90°,20°;6.2180°-∠BAC7.80°
2
8.29二.解答题
1.解:
等腰三角形的三边长分别为:
2,3,3
2.解:
如图,设AD=x,则DC=x,AB=2x。
设BC=y。
题意可以列方程:
?
2x?
2x?
y?
14?
?
(2x?
x?
BD)?
(BD?
x?
y)?
4解之得:
x=3,y=2或
?
2x?
2x?
y?
14?
?
(BD?
x?
y)?
(2x?
x?
BD)?
4
解之得:
x=5/3,y=22/3
显然第二种情况不符合“三角形两边之和大于第三边”,所以舍去。
所以△ABC的三边长分别为:
AB=AC=2x=6cm,BC=y=2cm.3.解:
△ABC中AB=AC,所以∠C=∠B若∠BAC∶∠B=4∶1
则:
∠BAC+∠B+∠C=6∠B=180°所以∠B=30°=∠C,∠BAC=120°。
若∠B∶∠BAC=4∶1
则:
∠BAC+∠B+∠C=9∠BAC=180°所以∠BAC=20°,∠B=∠C=80°4.解:
AE⊥AD。
说理如下:
因为AB=AC,BD=DC
所以AD⊥BC;∠B=∠C。
因为∠CAF=∠B+∠C,所以∠CAF=2∠B;
因为AE平分∠CAF,所以∠CAF=2∠EAF;
所以∠EAF=∠B,所以AE∥BC所以∠EAD=∠BDA=90°所以AE⊥AD。
一.教学内容:
等腰三角形
等腰三角形的性质
二.重点、难点:
重点:
理解和掌握等腰三角形以下性质:
1.等腰三角形轴对称性质;2.等边对等角;3.三线合一。
难点:
1.推导性质。
通过操作,观察、分析、归纳得出等腰三角形性质的过程。
2.应用性质。
等腰三角形三线合一性质的运用,在解题思路上需要作一些转换。
三.知识要点及学习目标
1.等腰三角形的有关概念。
首先要能根据边的长短识别和判断等腰三角形;其次,能够明确指出已知的等腰三角形的顶角、底角、腰和底边。
如图,△ABC中,若AB、BC、AC三边中有其中两边相等,则△ABC称为等腰三角形。
图中AB=AC,图中AC=BC,图中AB=BC。
相等的两边称为等腰三角形的腰,另一边称为等腰三角形的底边;两腰的夹角称为等腰三角形的顶角,另外两个角称为等腰三角形的底角。
你能指出上述三幅图中的腰、底边,顶角和底角吗?
2.等腰三角形的轴对称性。
通过折纸操作认识探索等腰三角形的轴对称性。
明确等腰三角形的对称轴是等腰三角形顶角平分线所在的直线。
根据轴对称图形的概念我们知道:
如果一个图形沿着某条直线对折后,直线两旁的部分能够完全重合,那么这个图形就叫轴对称图形。
如果在△ABC中,AB=AC,我们画出顶角∠BAC的平分线AD,沿着AD对折△ABC会发现什么结论?
通过操作显示出等腰△ABC是一个轴对称图形。
它的对称轴就是角平分线AD所在的直线。
。
3.推导等腰三角形的性质。
通过进一步实验、观察、交流等活动推导等腰三角形的性质,从而加深对轴对称变换的认识。
因为等腰三角形是轴对称图形,而图形轴对称变换是全等变换中的一种基本变换,所以如下图,△ABC中,若AB=AC,AD是△ABC的∠BAC的平分线,当我们沿AD折叠时,会发现AD两旁的△ABD与△ACD能够重合即△ABD≌△ACD。
再根据全等的性质可以得出一些对应相等的边、对应相等的角。
∠B=∠C,∠BDA=∠CDA=90°BD=CD
追根溯源来看这些相等的边和相等的角是什么条件带来的,就可以得出等腰三角形的性质。
4.掌握等腰三角形的下列性质:
等腰三角形的两个底角相等;等腰三角形三线合一。
我们把在上述图形中等腰三角形AB=AC这个条件出发,得出的角相等∠B=∠C,这条性质称为等腰三角形的两个底角相等。
。
等腰三角形AB=AC和顶角平分线∠BAD=∠DAC这两个条件出发,得出BD=CD,∠BDA=∠CDA=90°,这条性质称为等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合,简称为等腰三角形三线合一。
5.会利用等腰三角形的性质进行简单的推理、判断、计算和作图。
利用等腰三角形的性质解题时,一定要注意正确地表述性质的条件和结论。
结合图形我们可以这样来表述:
如下图,△ABC中,
∵AB=AC,∴∠B=∠C。
∵AB=AC,∠BAD=∠DAC∴BD=CD且AD⊥BC。
或∵AB=AC,BD=CD
∴∠BAD=∠DAC且AD⊥BC。
或∵AB=AC,AD⊥BC∴∠BAD=∠DAC且BD=CD。
【典型例题】
例题1.如图D在AC上,AB=AC,AD=DB,请指出图中的等腰三角形,以及它们的腰、底边、顶角及底角。
分析:
这里要根据条件来说明图形的名称,而不是凭直观和想象。
相等的两边叫腰,另一边叫底边;两腰的夹角叫顶角,另外的两角叫底角。
解:
图中的等腰三角形有:
△ABC和△ADB。
它们的腰、底边、顶角、底角分别列表如下:
△ABC
腰AB、AC底边BC顶角∠BAC底角∠CBA,∠C
ABD注意:
在没有明确三角形的具体条件的情况下,关于等腰三角形的有关概念有多种可能的结果存在。
如:
△ABC是等腰三角形,就有可能AB、AC是腰或AB、BC是腰或AC、BC是腰,相应的底边、顶角、底角也都会发生变化。
所以在叙述等腰三角形时,一般要明确指出相等的两边是哪两边。
例2.如下图,在△ABC中,AB=AC,D、E分别是AB、AC边上的点,且AD=AE,AP是△ABC的角平分线。
点D、E关于AP对称吗?
DE与BC平行吗?
说明理。
△ADBAD、DBAB∠BDA∠BAD,∠
分析:
根据等腰三角形的轴对称性研究下列问题:
将等腰△ABC沿顶角平分线折叠时,线段AD与AE能重合吗?
为什么?
边AB与AC呢?
AD与AE重合,AB与AC重合,说明点D与点E,点B与点C分别有怎样的位置关系?
轴对称图形有什么性质?
此可推出AP与DE,BC有怎样的位置关系?
那么DE与BC呢?
解:
点D、E关于AP对称,且DE∥BC。
理如下:
因为AP是∠BAC的平分线,AB=AC,AD=AE。
则当把图形沿直线AP对折时,线段AB与AC重合,线段AD与AE重合,所以点B、C关于直线AP对称,点D、E也关于直线AP对称,所以BC⊥AP,DE⊥AP,所以DE∥BC。
注意:
这里AB与AC重合以及AD与AE重合的理是:
等腰三角形是轴对称图形,顶角平分线所在的直线是对称轴。
例3.在△ABC中,AB=AC,∠A=50°,求∠B,∠C的度数
分析:
根据等腰三角形的性质:
两底角相等。
结合三角形的内角和等于180°来计算。
解:
在△ABC中,∵AB=AC,
∴∠B=∠C∵∠A+∠B+∠C=180°,∠A=50°∴∠B=∠C===65°
注意:
此题也可以用代数的方法来解,其解题依据仍然是:
等腰三角形的
两底角相等和三角形的内角和为180°。
例4.已知线段a,h用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使底边BC=a,BC边上的高线为h。
分析:
假设图形已经作出,BC长已知,可以先作出BC边,要作等腰三角形ABC,关键是要作出哪一个点?
已知BC边上的高的长度为h,你能作出BC边上的高线吗?
等腰三角形底边上的高线与中线有什么关系?
此能确定顶点A的位置吗?
作法:
如下图。
1.作线段BC=a。
2.作线段BC的垂直平分线l,交BC于点D.3.在直线l上截取DA=h,连结AB,AC。
则△ABC就是所求的等腰三角形。
注意:
这里作图的依据是:
等腰三角形三线合一的性质。
更准确地理解三线合一的性质应该是“把等腰、底边上的高、底边上的中线、顶角平分线作为四个元素,从中任意取出两个元素当成条件,就可以得到另外两个元素作为结论”。
例5.已知在△ABC中,AB=AC,直线AE交BC于点D,O是AE上一动点但不与A重合,且OB=OC,试猜想AE与BC的关系,并说明你的猜想的理。
猜想:
AE⊥BC,BD=CD说理:
∵AB=AC(已知)OB=OC(已知)
AO=AO
∴△ABO≌△ACO∴∠BAO=∠CAO
∴AE⊥BC,BD=CD注意:
等腰三角形的三线合一的性质其本质是等腰三角形是轴对称图形。
而轴对称又是全等变换中的基本形式,因此常用全等来研究等腰三角形中的问题。
例6.探索:
等腰三角形两底角的平分线大小关系。
已知:
如图,在△ABC中,AB=AC,BD、CE分别是两底角的平分线。
猜想:
BD=CE.
解:
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB∵BD、CE分别是两底角的平分线
∴∠DBC=∠ABC,∠ECB=∠ACB∴∠DBC=∠ECB,
在△DBC和△ECB中∠DBC=∠ECB,BC=CB,∠ABC=∠ACB,∴△DBC≌△ECB
∴BD=CE
注意:
等腰三角形除了顶角平分线、底边上的中线、底边上的高以外,还有其他一些相关的线段,探索它们之间的关系也属于等腰三角形性质的一部分,此例就是所做的一种探索,按照这种思路大家还可以对其他线段进行探索。
课后反思:
认识等腰三角形并不困难,但要正确表述却不容易。
特别是等腰三角形三线合一的性质的应用,很容易只给出一个条件,就得出结论。
应用等腰三角形性质进行说理正确的表述格式如下:
在△ABC中,如下图,∵AB=AC
∴∠B=∠C在△ABC中,如下图
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