全等三角形压轴题及分类解析.docx
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全等三角形压轴题及分类解析
全等三角形压轴题及分类解析
七年级下三角形综合题归类
一、双等边三角形模型
1.
(1)如图7,点O是线段AD的中点,分别以AO和DO为边在线
段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD,连结AC和BD,相交于点E,连结BC.求∠AEB的大小;
(2)如图8,ΔOAB固定不动,保持ΔOCD的形状和大小不变,将
ΔOCD绕着点O旋转(ΔOAB和ΔOCD不能重叠),求∠AEB的大小.
C
E
B
C
E
B
D
O
图7
A
D
O
图8
A
2.已知:
点C为线段AB上一点,△ACM,△CBN都是等边三角形,且AN、BM相交于O.
1求证:
AN=BM
2求∠AOB的度数。
3若AN、MC相交于点P,BM、NC交于点Q,求证:
PQ∥AB。
(湘潭·中考题)
全等三角形压轴题及分类解析
同类变式:
如图a,△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形,且有一个公共顶点C,连接AF和BE.
(1)线段AF和BE有怎样的大小关系?
请证明你的结论;
(2)将图a中的△CEF绕点C旋转一定的角度,得到图b,
(1)中的结论还成立吗?
作出判断并说明理由;
(3)若将图a中的△ABC绕点C旋转一定的角度,请你画出一个变换后的图形c(草图即可),
(1)中的结论还成立吗?
作出判断不必说明理由.
图
c
3.如图9,若△和△为等边三角形,分别为的中点,易证:
,△是等边三角形.
(1)当把△绕点旋转到图10的位置时,是否仍然成立?
若成立,请证明;若不成立,请说明理由;
(2)当△绕点旋转到图11的位置时,△是否还是等边三角形?
若是,请给出证明,若不是,请说明理由.
图9
图10
图11
全等三角形压轴题及分类解析
同类变式:
已知,如图①所示,在和中,,,,且点在一条直线上,连接分别为的中点.
(1)求证:
①;②;
(2)在图①的基础上,将绕点按顺时针方向旋转,其他条件不变,得到图②所示的图形.请直接写出
(1)中的两个结论是否仍然成立.
4.如图,四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形,连接BG与DE相交于点H.
(1)证明:
△ABG△ADE;
(2)试猜想BHD的度数,并说明理由;
全等三角形压轴题及分类解析
(3)将图中正方形ABCD绕点A逆时针旋转(0°<BAE<180°),设△ABE的面积
为,△ADG的面积为,判断与的大小关系,并给予证明.
5.已知:
如图,是等边三角形,过边上的点作,交于点,在的延长线上取点,使,连接.
(1)求证:
;
(2)过点作,交于点,请你连接,并判断是怎样的三角形,试证明你的结论.
A
E
D
G
B
F
C
二、垂直模型(该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容)
考点1:
利用垂直证明角相等
全等三角形压轴题及分类解析
1.
如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AE是BC边上的中线,过C作CF⊥AE,垂足为F,过B作BD⊥BC交CF的延长线于D.
求证:
(1)AE=CD;
(2)若AC=12cm,求BD的长.
2.(西安中考)如图
(1),已知△ABC中,∠BAC=900,
AB=AC,AE是过A的一条直线,且B、C在A、E的异侧,BD⊥AE于D,CE⊥AE于E。
图
(1)
图
(2)
图
(3)
(1)试说明:
BD=DE+CE.
全等三角形压轴题及分类解析
(2)若直线AE绕A点旋转到图
(2)位置时(BD 写结论,并说明理由。 (3)若直线AE绕A点旋转到图(3)位置时(BD>CE),其余条件不 变,问BD与DE、CE的关系如何? 写出结论,可不说明理由。 3.直线CD经过的顶点C,CA=CB.E、F分别是直线CD上两点,且. (1)若直线CD经过的内部,且E、F在射线CD上,请解决下面两个问题: 1如图1,若,则(填“”,“”或“”号); 2如图2,若,若使①中的结论仍然成立,则与应满足的关系是; (2)如图3,若直线CD经过的外部,,请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系,并给予证明. B B B C E 图1 F D A C E 图2 FD A E C F 图3 D A 全等三角形压轴题及分类解析 考点2: 利用角相等证明垂直 1.已知BE,CF是△ABC的高,且BP=AC,CQ=AB,试确定AP与AQ的数量关系和位置关系 Q A F D E P B 2.如图,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为BC的中点,DE⊥AB, 垂足为E,过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F,连接CF. (1)求证: CD=BF; (2)求证: AD⊥CF; (3)连接AF,试判断△ACF的形状. C 全等三角形压轴题及分类解析 拓展巩固: 如图9所示 ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°, AD是BC边上的中线,过C作AD的垂线,交AB于点E,交AD于点F,求证: ∠ADC=∠BDE. C F D A 图9 E B (提示: 对比此题的条件和上面那题的条件,对比此题的图形和上题的图像,有什么区别和联系? ) 3.如图1,已知正方形的边在正方形的边上,连接,. (1)试猜想与有怎样的位置关系,并证明你的结论; (2)将正方形绕点按顺时针方向旋转,使点落在边上,如图2,连 接和.你认为 (1)中的结论是否还成立? 若成立,给出证明;若不成立,请说明理由. 全等三角形压轴题及分类解析 4.如图1,的边BC在直线上,且的边也 在直线上,边与边重合,且 (1)在图1中,请你通过观察、测量,猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系; (2)将沿直线向左平移到图2的位置时,交于点,连接 .猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系,请证明你的猜想; (3)将沿直线向左平移到图3的位置时,的延长线交的延长 线于点Q,连结,你认为 (2)中所猜想的与的数量关系和位置关系和位置关系还成立吗? 若成立,给出证明;若不成立,请说明理由. A(E)E A Q BC(F) (1) P l BF (2) CP l E A l FP (3) BC Q 三、等腰三角形(中考重难点之一) 考点1: 等腰三角形性质的应用 全等三角形压轴题及分类解析 1.如图,中,,,是中点,,与交于,与交于.求证: ,. A F E BDC 2.两个全等的含,角的三角板和三角板,如图所示放置,三点在一条直线上,连结,取的中点,连结.试判断的形状,并说明理由. M B D E A C 压轴题拓展: (三线合一性质的应用)已知中,,,为边的中点,,绕点旋转,它的两边分别交、(或它们的延长线)于、. 当绕点旋转到于时(如图1),易证.当绕点旋转到和不垂直时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立? 若成立,请给予证明;若不成立,,,又有怎样的数量关系? 请写出你的猜想,不需证明. A A A D E D D CF E C BCFBE BF 图1 图2 图3 提示: 此题为上面题目的综合应用,思路与第一题相似。 全等三角形压轴题及分类解析 3.已知: 如图 ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB于D,BE平分∠ABC, 且BE⊥AC于E,与CD相交于点F,H是BC边的中点,连结DH与 BE相交于点G。 (1)BF=AC (2)CE=BF(3)CE与BC的大小关系如何。 考点2: 等腰直角三角形(45度的联想) 1.如图1,四边形ABCD是正方形,M是AB延长线上一点。 直角三角尺的一条直角边 经过点D,且直角顶点E在AB边上滑动(点E不与点A,B重合),另一条直角边与∠CBM 的平分线BF相交于点F. ⑴如图14―1,当点E在AB边的中点位置时: 1通过测量DE,EF的长度,猜想DE与EF满足的数量关系是; 2连接点E与AD边的中点N,猜想NE与BF满足的数量关系是; 全等三角形压轴题及分类解析 ③请证明你的上述两猜想. ⑵如图14―2,当点E在AB边上的任意位置时,请你在AD边上找到一点N, 使得NE=BF,进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系并证明 2.在Rt△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,D是AC的中点,DG⊥AC交AB于点G. (1)如图1,E为线段DC上任意一点,点F在线段DG上,且DE=DF,连结EF与CF,过点F作FH⊥FC,交直线AB于点H. 1求证: DG=DC 2判断FH与FC的数量关系并加以证明. 全等三角形压轴题及分类解析 (2)若E为线段DC的延长线上任意一点,点F在射线DG上, (1) 中的其他条件不变,借助图2画出图形。 在你所画图形中找出一对全 等三角形,并判断你在 (1)中得出的结论是否发生改变.(本小题直接写出结论,不必证明) 同类变式: (期末考试原题哦)已知: △ABC为等边三角形,M 是BC延长线上一点,直角三角尺的一条直角边经过点A,且60º角 的顶点E在BC上滑动,(点E不与点B、C重合),斜边与∠ACM的平分线CF交于点F (1)如图 (1)当点E在BC边得中点位置时 猜想AE与EF满足的数量关系是. 连结点E与AB边得中点N,猜想BE和CF满足的数量关系是. 请证明你的上述猜想; (2)如图(2)当点E在BC边得任意位置时,AE和EF有怎样的数量关系,并说明你的理由? 全等三角形压轴题及分类解析 A N F B C M 图 (1) 四、角平分线问题 1.如图: E在线段CD上,EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA,∠AEB=90°,设AD=, BC=,且满足 (1)求AD和BC的长; (2)你认为AD和BC还有什么关系? 并验证你的结论; (3)你能求出AB的长度吗? 若能,请写出推理过程;若不能,请说明理由. 2.如图①,OP是∠MON的平分线,请你利用该图形画一对以OP所在 直线为对称轴的全等三角形。 请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题: 全等三角形压轴题及分类解析 (1)如图②,在△ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°,AD、CE分 别是∠BAC、∠BCA的平分线,AD、CE相交于点F。 请你判断并写出FE与FD之间的数量关系; (2)如图③,在△ABC中,如果∠ACB不是直角,而 (1)中的其它 条件不变,请问,你在 (1)中所得结论是否仍然成立? 若成立,请证明;若不成立,请说明理由。 3.(北京市中考模拟题)如图,在四边形中,平分,过作,并且,则等于多少? D C A E B 4.如图,△ABC中,AD平分∠BAC,DG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F. (1)说明BE=CF的理由; (2)如果AB=,AC=,求AE、BE的长. 全等三角形压轴题及分类解析 五、中点问题 1.在△ABC中,为的中点,过点的直线交于,交的平行线 于点。 并交于点.连结. (1)求证: ; (2)请猜想与的大小关系,并加以证明 2. 如右下图,在中,若,,为边的中点.求证: . A BDEC 3.已知中,,为的延长线,且,为的边上的中线.求证(提示: 倍长中线试试) C A E BD 全等三角形压轴题及分类解析 附加思考题: (此题有很好地思维训练价值,值得深入思考探究)以的两边、为腰分别向外作等腰和等腰,.连接,、分别是、的中点.探究: 与的位置关系及数量关系. 1如图①当为直角三角形时,与的位置关系是;线段与的数量关系是; 2将图①中的等腰绕点沿逆时针方向旋转()后,如图②所示,⑴问中得到的两个结论是否发生改变? 并说明理由. D N D N E A A E BM 图① C BM 图② C 1.判断与说理 (1)如图11-1 ADE中,AE=AD且∠AED=∠ADE,∠EAD=90°,EC、DB分别平分∠AED、∠ADE,交AD、AE于点C、B,连接BC.请你判断AB、AC是否相等,并说明理由; (2)△ADE的位置保持不变,将△ABC绕点A逆时针旋转至图 11-2的位置,AD、BE相交于O,请你判断线段BE与CD的关系,并说明理由. 全等三角形压轴题及分类解析 2.某课外学习小组在一次学习研讨中,得到如下两个命题: 1如图12-1,在正三角形ABC中,M、N分别是AC、AB上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=60°,则BM=CN. 2如图12-2,在正方形ABCD中,M、N分别是CD、AD上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=90°,则BM=CN. 学习小组成员根据上述两个命题运用类比的思想又提出了如下的命题: ③如图12-3,在正五边形ABCDE中,M、N分别是CD、DE上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=108°,则BM=CN. (友情提示: 正多边形的各边相等且各内角也相等) (1)请你从①、②、③三个命题中选择一个说明理由; (2)请你继续完成下面的探索: 1如图12-4,在正n边形(n≥6)中,M、N分别是CD、DE上的点,BM与CN相交于点O,问当∠BON等于多少度时,结论BM=CN成立? (不要求证明) 2如图12-5,在正五边形ABCDE中,M、N分别是DE、AE上的点,BM与CN相交于点O,当∠BON=108°时,请问结论BM=CN是否还成立? 若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由. 解: (1)我选.(仅填写①、②、③中的一个)理由如下: (2) 全等三角形压轴题及分类解析 3.如图9所示,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,AD是 BC边上的中线,过C作AD的垂线,交AB于点E,交AD于点F。 请你猜想∠ADC和∠BDE关系,并证明你的猜想。 C F D A E B 图9 4.如下几个图形是五角星和它的变形. A BE BAEBAE C C (1) D C (2) D (3) D (1)图⑴中是一个五角星形状,求 ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=; (2)图⑴中的点A向下移到BE上时(如图⑵)五个角的和(即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E)有无变化? 说明你的结论的正确性; (3)把图⑵中的点C向上移动到BD上时(如图⑶),五个角的和(即 ∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E)有无变化? 说明你的结论的正确性. 全等三角形压轴题及分类解析 (4)如图,在中,CD、BE分别是AB、AC边上的中线,延长CD到 F,使FD=CD,延长BE到G,使EG=BE,那么AF与AG是否相等? F、A、G三点是否在一条直线上? 说说你的理由. 5、 操作实验: AA A B CBC B D C 图 (1) 图 (2) 图(3) 如图,把等腰三角形沿顶角平分线对折并展开,发现被折痕分成的两个三角形成轴对称. 所以△ABD≌△ACD,所以∠B=∠C. 归纳结论: 如果一个三角形有两条边相等,那么这两条边所对的角也相等. 根据上述内容,回答下列问题: 思考验证: 如图(4),在△ABC中,AB=AC.试说明∠B=∠C的理由. 全等三角形压轴题及分类解析 探究应用: 如图(5),CB⊥AB,垂足为A,DA⊥AB,垂足为B.E为AB的中点,AB=BC,CE⊥BD. (1)BE与AD是否相等? 为什么? (2)小明认为AC是线段DE的垂直平分线,你认为对吗? 说说你的理由。 (3)∠DBC与∠DCB相等吗? 试说明理由. 6.如图13-1,在边长为5的正方形中,点、分别是、边上的点,且,. (1)求∶的值; (2)延长交正方形外角平分线(如图13-2),试判断的大小关系,并说明理由; 全等三角形压轴题及分类解析 (3)在图13-2的边上是否存在一点,使得四边形是平行四边形? 若存在,请给予证明;若不存在,请说明理由. ADAD F F P B EC 图13-1 B EC 图13-2 7.团体购买某“素质拓展训练营”的门票,票价如表(a为正整数): 团体购票人数每人门票价 1~50 a元 51~100(a3)元 100以上(a6)元 ⑴某中学高一 (1)、高一 (2)班同学准备参加“素质拓展训练 营”活动,其中高一 (1)班人数不超过50,高一 (2)的人数超 过50但不超过80。 当a=48时,若两班分别购票,两班总计应付 门票费4914元;若合在一起作为一个团体购票,总计支付门票费4452元。 问这两个班级各有多少人? ⑵某校学生会现有资金4429元用于购票,打算组织本校初三年级 团员参加该项活动。 为了让更多的人能参加活动,学生会统一组 织购票,购票资金恰好全部用完,且参加人数超过了100人,问共有多少人参加了这一活动? 并求出此时a的值。 全等三角形压轴题及分类解析 8.如下图,在△ABC中,AD平分∠BAC,AB+BD=AC,则∠B∶∠C的值为. AE D 9.如左下图,AB∥CD,AD∥BC,OE=OF,则图中全等三角形的组 O 数是() B F C A.3B..5D.6 10.两个全等的含300,600角的三角板ADE和三角板ABC如图所示 放置,E,A,C三点在一条直线上,连结BD,取BD的中点M,连结ME,MC.试判断△EMC的形状,并说明理由. 11、 (1)不用量角器,只利用刻度尺就能画出一个角的平分线, 下面是小明的画法,你认为他的画法对吗? 请你按照小明的画法,画 出图形,说明理由。 ①利用刻度尺在∠AOB的两边上分别取OC=OD; 全等三角形压轴题及分类解析 ②连结CD,利用刻度尺画出CD的中点E③画射线OE射线OE即为∠AOB的角平分线。 (2)请你探索只利用你的三角尺(可以量长度、画直角)画出一个角的平分线的画法。 (要求: ①画出图形;②简要说明画法;③说明理由。 ) 12. (1)如图 (1),正方形ABCD中,E为边CD上一点,连结AE,过点A作AF⊥AE交CB的延长线于F,猜想AE与AF的数量关系,并说明理由; (2)如图 (2),在 (1)的条件下,连结AC,过点A作AM⊥AC交CB的延长线于M,观察并猜想CE与MF的数量关系(不必说明理由); (3)解决问题: 1王师傅有一块如图所示的板材余料,其中==90°,AB=AD.王师傅想切一刀后把它拼成正方形.请你帮王师傅在图(3)中画出剪拼的示意图; 2王师傅现有两块同样大小的该余料,能否在每块上各切一刀,然后拼成一个大的正方形呢? 若能,请你画出剪拼的示意图;若不能,简要说明理由. ADADA A A EE D D D F B 图1 CM FB 图2 CB 图3 CBCB 图4 C 全等三角形压轴题及分类解析 13.下图是按一定规律排列的方程组集合和它解的集合的对应关 系图,若方程组集合中的方程组自左至右依次记作方程组1、方程组2、方程组3、……方程组n. (1)将方程组1的解填入图中; (2)请依据方程组和它的解变化的规律,将方程组n和它的解直接填入集合图中; (3)若方程组的解是,求m、n的值,并判断该方程组是否符合 (2)中的规律? 14.某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板,做成如图乙所示的竖式与横式两种无盖 的长方体纸盒.(长方形的宽与正方形的边长相等) 全等三角形压轴题及分类解析 (1)现有正方形纸板50张,长方形纸板l00张,若要做竖式纸盒x个,横式纸盒y个. ①根据题意,完成以下表格: ②若纸板全部用完,求x、y的值; (2)若有正方形纸板80张,长方形纸板a张,做成上述两种纸盒,纸板恰好全部用完.已知 162 15. (1)如图1,图2,图3,在中,分别以为边,向外作正三角形,正四边形,正五边形,相交于点.(说明: 每条边都相等,每个角都相等的多边形叫做正多边形) ①如图1,求证: ; ②探究: 如图1,;如图2,;如图3,. (2)如图4,已知: 是以为边向外所作正边形的一组邻边;是以 为边向外所作正边形的一组邻边.的延长相交于点. 全等三角形压轴题及分类解析 ①猜想: 如图4,(用含的式子表示);②根据图4证明你的猜想. 16.按照指定要求画图 (1)如下图1所示,黑粗线把一个由18个 小正方形组成的图形分割成两个全等图形,请在图2中,仿图1沿着虚线用四种不同的画法,把每图形分割成两个全等图形. (2)请将下面由16个小正方形组成的图形,用两种不同的画法沿正方形的网格线用粗线把它分割成两个全等图形 17.用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成四边形ABCD, 把一个含60°角的三角尺与这个四边形叠合,使三角尺的60°角的 顶点与点A重合,两边分别与AB、AC重合,将三角尺绕点A按逆时 针方向旋转。 (1)当三角尺的两边分别与四边形的两边BC、CD相交 于点E、F时(如图a),通过观察或测量BE、CF的长度,你能得出什么结论? 并说明理由; 全等三角形压轴题及分类解析 (2)当三角尺的两边分别与四边形的两边BC、CD的延长线相交于 点E、F时(如图b),你在 (1)中得到的结论还成立吗? 简要说明理由。 (本题12分) 18.如图,在下列网格中,⊿ABC和⊿DEF全等
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