高三数学一轮复习必备精品27解三角形备注高三数学一轮复习必备精品共42讲全部免费欢迎下载.docx
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第27讲解三角形
备注:
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一.【课标要求】
(1)通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题;
(2)能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。
二.【命题走向】
对本讲内容的考察主要涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、三角形内三角函数的求值以及三
角恒等式的证明问题,立体几何体的空间角以及解析几何中的有关角等问题。
今后高考的命题会以正弦定理、余弦定理为知识框架,以三角形为主要依托,结合实际应用问题考察正弦定理、余弦定理及应用。
题
型一般为选择题、填空题,也可能是中、难度的解答题
三.【要点精讲】
1.直角三角形中各元素间的关系:
如图,在△ABC中,C=90°,AB=c,AC=b,BC
=a。
(1)三边之间的关系:
a2+b2=c2。
(勾股定理)
(2)锐角之间的关系:
A+B=90°;
(3)边角之间的关系:
(锐角三角函数定义)
sinA=cosB=a,cosA=sinB=b,tanA=a。
c
c
b
2.斜三角形中各元素间的关系:
如图6-29,在△ABC中,A、B、C为其内角,a、b、c分别表示A、B、C的对边。
(1)三角形内角和:
A+B+C=π。
(2)正弦定理:
在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等
abc
2R。
sinAsinBsinC
(R为外接圆半径)
(3)余弦定理:
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两
倍
a2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2-2cacosB;c2=a2+b2-2abcosC。
3.三角形的面积公式:
1
aha=
1
1
(1)△=
bhb=
chc(ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高);
2
2
2
1
absinC=
1
1
(2)△=
bcsinA=acsinB;
2
2
2
(3)△=a2sinBsinC=b2sinCsinA
=c2sinAsinB;
2sin(B
C)
2sin(CA)
2sin(AB)
(4)△=2R2sinAsinBsinC。
(R为外接圆半径)
(5)△=
abc
;
4R
(6)△=
s(sa)(sb)(sc);s
1
(abc);
2
(7)△=r·s。
4.解三角形:
由三角形的六个元素(即三条边和三个内角)中的三个元素(其中至少有一个是边)求其他未知元素的问题叫做解三角形.广义地,这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等.解三角形的问题一般可分为下面两种情形:
若给出的三角形是
直角三角形,则称为解直角三角形;若给出的三角形是斜三角形,则称为解斜三角形解斜三角形的主要依据是:
设△ABC的三边为a、b、c,对应的三个角为A、B、C。
(1)角与角关系:
A+B+C=π;
(2)边与边关系:
a+b>c,b+c>a,c+a>b,a-b
(3)边与角关系:
正弦定理
a
b
c
2R(R为外接圆半径);
sinA
sinB
sinC
余弦定理
2
2
2
2
2
2
2
2
2
-2bccosA;
c
=a+b-2bccosC,b
=a
+c-2accosB,a
=b+c
它们的变形形式有:
a=2RsinA,sinA
a,cosA
b2
c2
a2
。
sinB
b
2bc
5.三角形中的三角变换
三角形中的三角变换,除了应用上述公式和上述变换方法外,还要注意三角形自身的特点。
(1)角的变换
因为在△ABC中,A+B+C=π,所以sin(A+B)=sinC;cos(A+B)=-cosC;tan(A+B)=-tanC。
ABCABC
sincos,cossin;
2222
(2)三角形边、角关系定理及面积公式,正弦定理,余弦定理。
r为三角形内切圆半径,p为周长之半。
(3)在△ABC中,熟记并会证明:
∠A,∠B,∠C成等差数列的充分必要条件是∠B=60°;△ABC
是正三角形的充分必要条件是∠A,∠B,∠C成等差数列且a,b,c成等比数列。
四.【典例解析】
题型1:
正、余弦定理
(2009岳阳一中第四次月考).已知△ABC
中,AB
a,AC
b,ab
0,SABC
15
5,
,a3,b
4
则BAC
(
)
A..30
B.150
C.1500
D.30
或1500
答案C
例1.
(1)在
ABC
中,已知A
32.00
,B
81.80,a
42.9cm,解三角形;
(2)在
ABC
中,已知a
20cm,b
28
cm,A
40
0,解三角形(角度精确到
1
0,边长精确到
1cm)。
解析:
(1)根据三角形内角和定理,
C180
0
(A
B)180
0
(32.0
0
81.8
0
)66.2
0;
根据正弦定理,
asinB
42.9sin
0
81.8
80.1(cm)
;
b
sin32.00
sinA
根据正弦定理,
asinC
42.9sin
66.20
74.1(cm).
c
sin32.00
sinA
(2)根据正弦定理,
bsinA
28sin400
0.8999.
sinB
a
20
因为00<B<1800,所以B
640,或B
1160.
①当B
64
0
C
0
(A
B)
0
(40
0
0
76
0
时,
180
180
64
)
,
asinC
20sin
0
c
76
30(cm).
sin
A
0
sin40
②当B
1160
时,
asinC
20sin
0
0
(A
B)
0
(40
0
116
0
0
24
C180
180
)
24
,c
013(cm).
sinA
sin40
点评:
应用正弦定理时(
1)应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形;
(2)
对于解三角形中的复杂运算可使用计算器
例2.
(1)在
ABC中,已知a
2
3,c
6
2,B
600,求b及A;
(2)在
ABC中,已知a
134.6cm,b87.8cm,c
161.7cm,解三角形
解析:
(1)∵b2
a2
c2
2accosB
=(2
3)
2
6
2
22
3
(6
2)cos
0
(
2)
45
=12
(
6
2
43(
3
1)
2)
=8
∴b22.
求A可以利用余弦定理,也可以利用正弦定理:
b
2
2
2
2
(6
2)
2
2
c
a
(22)
(23)
1
0
解法一:
∵cosA
2bc
2
22
(
6
2)
2
∴A60.
a
sinB
2
3
0
解法二:
∵sinA
2
sin45
b
2
又∵6
2>2.4
1.4
3.8,
23<2
1.8
3.6,
∴a<c,即0
0
<A<90
0
0
∴A60.
(2)由余弦定理的推论得:
cos
b2
c2
a2
87.82
161.7
2
134.6
2
A
2bc
2
87.8
161.7
0.5543,
A
56020
;
cos
c2
a2
b2
134.6
2161.72
87.8
2
B
2ca
2
134.6
161.7
0.8398,
B
0
;
3253
C
1800
(A
B)
1800
(56020
32053)
90047.
点评:
应用余弦定理时解法二应注意确定A的取值范围。
题型2:
三角形面积
例3.在中,,,,求tanA的值和
的面积。
解法一:
先解三角方程,求出角A的值。
sin
A
cos
A
2cos(A45)
2
2
cos(
A
45
)
1
.
2
又
A45
60
A
105.
tan
Atan(45
60
1
3
2
3,
)
1
3
sinA
sin105
sin(45
60)
sin45
cos60
2
6
cos45sin60
.
4
。
解法二:
由sinAcosA计算它的对偶关系式sinAcosA的值。
①
21
(sinAcosA)
1
2sinAcosA
2
0A180,sinA0,cosA0.
(sinAcosA)2
12sinAcosA
3
2
②
①+②得。
①-②得。
从而
sinA
26
4
。
tanA
23
cosA
4
26
以下解法略去。
点评:
本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识,着重数学考查运算能力,是一道三角的基础试题。
两种解法比较起来,你认为哪一种解法比较简单呢?
例4.(2009湖南卷文)在锐角
ABC中,BC
1,B
2A,则
AC的值等于
,
cosA
AC的取值范围为
.
答案
2(
2,3)
解析
设
A
B
2
.由正弦定理得
AC
BC
AC
1
AC
2.
sin2
2cos
cos
sin
由锐角
ABC得0
2
90
0
45
,
又0
180
3
90
30
60
,故
30
45
2
3
cos
,
2
2
AC
2cos
(
2,
3).
例5.(2009
浙江理)(本题满分
14分)在
ABC中,角A,B,C所对的边分别为
a,b,c,且满足
A
25
3.
cos
,ABAC
25
(I)求
ABC
的面积;
(II)若b
c
6
,求a的值.
解
(1)因为cos
A
2
5
,cos
A
2cos2A
1
3
sinA
4
,又由ABAC3
2
5
2
5
5
得bccosA
3,
bc
5,
SABC
1
bcsinA
2
2
(2)对于bc
5
,又b
c
6,
b5,c
1或b
1,c
5,由余弦定理得
a2
b2
c2
2bccosA
20,a
2
5
例6.(2009全国卷Ⅰ理)在
ABC中,内角A、B、C的对边长分别为
a、b、c,已知a2
c2
2b,
且sin
AcosC
3cosAsin
C,
求b
分析:
:
此题事实上比较简单
但考生反应不知从何入手
.对已知条件
(1)a2
c2
2b左侧是二次的右侧是
一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理
而对已知条件
(2)
sin
AcosC
3cosAsinC,过多的关注两角
和与差的正弦公式
甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差
导致找不到突破口而失分.
解法一:
在
ABC中
sin
AcosC
3cosAsinC,则由正弦定理及余弦定理
2
2
2
2
2
2
有:
a
a
b
c
3
b
c
a
c,化简并整理得:
2(a
2
c
2
)
b
2
.又由已知a2
c2
2b
4bb2
.
2ab
2bc
解得b
4或b
0(舍).
解法二:
由余弦定理得:
a2
c2
b2
2bccosA.又a2
c2
2b,b
0.
所以b
2ccosA
2
①
又sinAcosC
3cosAsinC,
sin
AcosC
cosAsinC
4cosAsinC
sin(
A
C)
4cos
AsinC,即sinB
4cosAsinC
由正弦定理得sinB
b
4ccosA
②
sinC,故b
c
由①,②解得b
4
.
评析:
从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查
.在备考中应注意总结、
提高自己对问
题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力
.另外提醒:
两纲中明确不再考的知识和方法了解就行,
不必强化训练
题型4:
三角形中求值问题
例7.
ABC的三个内角为
A、B、C,求当A为何值时,cos
A2cosBC
取得最大值,并求出
2
这个最大值。
解析:
由
B+Cπ
-
A
B+C
A
。
A+B+C=π,得
=
2
,所以有cos
=sin
2
2
2
2
B+C
A
2A
A
A
12
3
cosA+2cos2
=cosA+2sin2
=1-2sin2
+2sin2=-2(sin2
-2)+
;
2
当sinA
π
B+C取得最大值为3。
1,即A=
2=2
3
时,cosA+2cos2
2
点评:
运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式,通过三角函数的性质求得结果。
例8.(2009
浙江文)(本题满分
14分)在
ABC中,角A,B,C所对的边分别为
a,b,c,且满足
A
25
,AB
AC
3.
cos
5
2
(I)求ABC
的面积;
(II)若c
1,求a的值.
解(Ⅰ)cosA
2cos2A
1
2(
2
5
)2
1
3
2
5
5
又A
(0,
),sinA
1
2
A
4
,而AB.AC
3
3,所以bc
5,所
cos
5
AB.AC.cosAbc
5
以
ABC的面
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