1、高三数学一轮复习必备精品27解三角形备注高三数学一轮复习必备精品共42讲全部免费欢迎下载第 27 讲 解三角形备注：【高三数学一轮复习必备精品 共 42 讲 全部免费 欢迎下载 】一【课标要求】（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。二【命题走向】对本讲内容的考察主要涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、三角形内三角函数的求值以及三角恒等式的证明问题，立体几何体的空间角以及解析几何中的有关角等问题。今后高考的命题会以正弦定理、余弦定理为知识框架，以
2、三角形为主要依托，结合实际应用问题考察正弦定理、余弦定理及应用。题型一般为选择题、填空题，也可能是中、难度的解答 题三【要点精讲】1直角三角形中各元素间的关系：如图，在 ABC中， C 90， AB c，AC b，BC a。（ 1）三边之间的关系：a2 b2 c2。（勾股定理）（ 2）锐角之间的关系：AB 90；（ 3）边角之间的关系： （锐角三角函数定义）sinA cosB a ， cosA sinB b ， tanA a 。ccb2斜三角形中各元素间的关系：如图 6-29 ，在 ABC中， A、 B、 C 为其内角， a、 b、 c 分别表示 A、 B、 C 的对边。（1）三角形内角和：
3、A B C 。（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等a b c2 R 。sin A sin B sin C（R 为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a2 b2 c2 2bccosA； b2c2 a2 2cacosB； c2 a2 b2 2abcosC。3三角形的面积公式：1aha11（ 1）bh bchc（ ha、 hb、 hc 分别表示 a、 b、 c 上的高）；2221absinC11（ 2）bcsinA acsinB；222（ 3） a 2 sin B sin C b 2 sin C sin A
4、c 2 sin A sin B ；2 sin( BC )2 sin( C A )2 sin( A B )（4） 2R2sinAsinBsinC。（ R 为外接圆半径）（ 5）abc；4 R（ 6）s( s a )( s b )( s c) ； s1( a b c ) ；2（ 7） r s。4解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角
5、形是斜三角形，则称为解斜三角形解斜三角形的主要依据是：设 ABC的三边为 a、 b、 c，对应的三个角为 A、 B、 C。（1）角与角关系： A+B+C = ；（2）边与边关系： a + b c， b + c a， c + a b， ab c， b c b；（3）边与角关系：正弦定理abc2 R （R 为外接圆半径） ；s i nAs i nBs i nC余弦定理2222222222bccosA；c= a +b 2bccosC， b= a+c 2accosB， a= b +c它们的变形形式有：a = 2R sinA， sin Aa ， cos Ab 2c 2a 2。sin Bb2 bc5三角形
6、中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。（ 1）角的变换因 为 在 ABC 中 ， A+B+C= ， 所 以 sin(A+B)=sinC； cos(A+B)= cosC ； tan(A+B)= tanC 。A B C A B Csin cos , cos sin ；2 2 2 2（ 2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。r 为三角形内切圆半径， p 为周长之半。（ 3）在 ABC 中，熟记并会证明： A， B， C 成等差数列的充分必要条件是 B=60； ABC是正三角形的充分必要条件是 A， B， C成等差数列且 a， b
7、， c 成等比数列。四【典例解析】题型 1：正、余弦定理（ 2009 岳阳一中第四次月考） .已知 ABC中， ABa ，ACb ，a b0 ，S ABC155 ， a 3, b4则 BAC（）A. 30B 150C 150 0D 30或150 0答案 C例 1（ 1）在ABC中，已知 A32.0 0， B81.8 0 ， a42.9 cm，解三角形；（ 2）在ABC中，已知 a20 cm， b28cm， A400 ，解三角形（角度精确到10 ，边长精确到1cm）。解析：（ 1）根据三角形内角和定理，C 1800( AB) 1800(32.0081.80) 66.20 ；根据正弦定理，a si
8、n B42.9sin081.880.1( cm )；bsin 32.0 0sin A根据正弦定理，a sin C42.9sin66.2 074.1( cm ).csin 32.0 0sin A（ 2）根据正弦定理，b sin A28sin 40 00.8999.sin Ba20因为 00 B1800，所以 B640 ，或 B116 0.当 B640C0( AB )0(4000760时，18018064)，a sin C20sin0c7630( cm ).sinA0sin 40当 B116 0时，a sin C20sin00( AB )0(4001160024C 180180)24， c013(
9、 cm ).sin Asin 40点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（ 2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器例 2（1）在ABC中，已知 a23 ， c62 ， B60 0 ，求 b 及 A；（ 2）在ABC中，已知 a134.6 cm ， b 87.8 cm ， c161.7 cm ，解三角形解析：（ 1） b 2a 2c 22ac cos B= (23)2622 23( 62 ) cos0(2 )45=12(624 3(31)2 )= 8b 2 2.求 A 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：b2222( 62 )22ca(2 2)
10、(2 3)1,0解法一： cos A2 bc22 2(62 )2A 60.asin B230解法二： sin A2sin 45,b2又 622.41.43.8,2 321.83.6, a c ，即 00A900,0A 60.（ 2）由余弦定理的推论得：cosb 2c 2a 287.8 2161.72134.62A2bc287.8161.70.5543,A56 020；cosc 2a 2b 2134.62 161.7 287.82B2 ca2134.6161.70.8398,B0；32 53C180 0( AB )180 0(56 0 2032 053 )90 047 .点评：应用余弦定理时解法
11、二应注意确定 A 的取值范围。题型 2：三角形面积例 3在 中， ， ， ，求 tan A 的值和的面积。解法一：先解三角方程，求出角 A 的值。sinAcosA2 cos( A 45 )2,2cos(A45)1.2又,A 4560, A105 .tanA tan(45601323 ,)13sin Asin 105sin( 4560 )sin 45cos6026cos45 sin 60.4。解法二：由 sin A cos A 计算它的对偶关系式 sin A cos A 的值。2 1(sin A cos A )12 sin A cos A20 A 180 , sin A 0 , cos A 0
12、.(sin A cos A ) 21 2 sin A cos A3,2 + 得 。 得 。从而sin A264。tan A23cos A426以下解法略去。点评：本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，着重数学考查运算能力，是一道三角的基础试题。两种解法比较起来，你认为哪一种解法比较简单呢？例 4（ 2009 湖南卷文）在锐角ABC 中， BC1, B2A,则AC 的值等于，cos AAC 的取值范围为.答案2 (2, 3)解析设A,B2. 由正弦定理得ACBCAC1AC2.sin 2,2 coscossin由锐角ABC 得0290045，又 01803903060，故30452
13、3cos，22AC2 cos(2,3).例 5（ 2009浙江理）（本题满分14 分）在ABC 中，角 A , B , C 所对的边分别为a , b , c ，且满足A2 53 cos，AB AC2 5（ I）求ABC的面积；（ II）若 bc6，求 a 的值解（1）因为 cosA25， cosA2 cos 2 A13, sin A4，又由 AB AC 325255得 bc cos A3,bc5 ，S ABC1bc sin A22（ 2）对于 bc5，又 bc6 ，b 5, c1 或 b1, c5 ，由余弦定理得a 2b 2c 22 bc cos A20 ， a25例 6（ 2009 全国卷理
14、）在ABC 中，内角 A、 B、 C 的对边长分别为a 、 b 、 c ，已知 a 2c 22b ，且 sinA cos C3 cos A sinC ,求 b分析： :此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1) a 2c 22b 左侧是二次的右侧是一次的 ,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件 (2)sinA cos C3 cos A sin C , 过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分 .解法一：在ABC 中sinA cos C3 cos A sin C , 则由正弦定理及余弦定理222222有 : aab
15、c3bcac , 化简并整理得： 2( a2c2)b2.又由已知 a 2c 22b4 b b 2.2ab2bc解得 b4 或 b0(舍）.解法二 :由余弦定理得 :a 2c 2b 22bc cos A .又 a 2c 22 b , b0 .所以 b2 c cos A2又 sin A cos C3 cos A sin C ，sinA cos Ccos A sin C4 cos A sin Csin(AC )4 cosA sin C ，即 sin B4 cos A sin C由正弦定理得 sin Bb4 c cos Asin C ，故 bc由，解得 b4.评析 : 从 08 年高考考纲中就明确提出
16、要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒：两纲中明确不再考的知识和方法了解就行，不必强化训练题型 4：三角形中求值问题例 7ABC 的三个内角为A、 B、 C ，求当 A 为何值时， cosA 2 cos B C取得最大值，并求出2这个最大值。解析：由B+C AB+CA。A+B+C= ，得=2，所以有 cos=sin2222B+CA2AAA1 23cosA+2cos 2=cosA+2sin2=1 2sin 2+ 2sin2= 2(sin2 2)+；2当 sinAB+C取得最大值为 3。1，即 A=2 = 23时 , cosA+2cos 22点评：运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式，通过三角函数的性质求得结果。例 8（ 2009浙江文）（本题满分14 分）在ABC 中，角 A , B , C 所对的边分别为a , b , c ，且满足A2 5， ABAC3 cos52（ I）求 ABC的面积；（ II）若 c1 ，求 a 的值解（） cos A2 cos 2 A12 (25) 213255又 A( 0,) ， sin A12A4，而 AB.AC33 ，所以 bc5 ，所cos5AB . AC .cos Abc5以ABC 的面
