专题151简谐运动及其描述用单摆测量重力加速度讲解析版.docx
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专题151简谐运动及其描述用单摆测量重力加速度讲解析版
专题15.1简谐运动及其描述用单摆测量重力加速度
—【讲】
一一.讲考纲、讲方向
考点内容
考题统计
考查方向
备考方案
简谐运动规律和图象描述
2020全国卷Ⅱ,T34
(1)5分
2019全国卷Ⅰ,T34
(1)5分
2019全国卷Ⅱ,T34
(1)5分
2019全国卷Ⅲ,T34
(1)5分
考查简谐运动的特征,规律,公式,图像问题;考查受迫振动和共振;考查“实验:
用单摆测定重力加速度”
物理观念
掌握简谐运动的特征及掌握单摆的周期公式,从相互作用和能量的角度认识振动和波。
科学思维
构建简谐运动、单摆等模型研究问题。
科学探究
通过“用单摆测定重力加速度”等实验提高科学素养。
简谐运动的公式和图像
受迫振动和共振
实验:
探究单摆的运动、用单摆测定重力加速度
二.讲考点、讲题型
考点一、简谐运动的特征
1.定义:
如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比,并且总是指向平衡位置,质点的运动就是简谐运动.
2.平衡位置:
物体在振动过程中回复力为零的位置.
3.回复力
(1)定义:
使物体在平衡位置附近做往复运动的力.
(2)方向:
总是指向平衡位置.
(3)来源:
属于效果力,可以是某一个力,也可以是几个力的合力或某个力的分力.
【典例1】简谐运动基本物理量的分析
(2020·江西月考)(多选)关于简谐运动的理解,下列说法中正确的是( )
A.简谐运动是匀变速运动
B.周期、频率是表征物体做简谐运动快慢程度的物理量
C.位移减小时,加速度减小,速度增大
D.位移的方向总跟加速度的方向相反,跟速度的方向相同
E.物体运动方向指向平衡位置时,速度方向与位移方向相反;背离平衡位置时,速度方向与位移方向相同
【答案】 BCE
【解析】简谐运动受到的回复力是变力,所以简谐运动不是匀变速运动,A错误;周期、频率是表征物体做简谐运动快慢程度的物理量,B正确;当位移减小时,回复力减小,则加速度减小,物体向平衡位置运动,速度增大,故C正确;回复力与位移方向相反,故加速度和位移方向相反,但速度与位移方向可以相同,也可以相反;物体运动方向指向平衡位置时,速度方向与位移方向相反;背离平衡位置时,速度方向与位移方向相同,故D错误,E正确.
(2020·河北石家庄二中高三一模)(多选)关于简谐运动,以下说法正确的是( )
A.弹簧振子做简谐运动的回复力表达式F=-kx中,F为振动物体所受的合外力,k为弹簧的劲度系数
B.物体的速度再次相同时,所经历的时间一定是一个周期
C.位移的方向总跟加速度的方向相反,跟速度的方向也相反
D.水平弹簧振子在简谐运动中动能和势能的和是不变的
E.物体运动方向指向平衡位置时,速度方向与加速度方向相同;背离平衡位置时,速度方向与加速度方向相反
【答案】ADE
【解析】简谐运动的回复力表达式为F=-kx,对于弹簧振子而言,F为振动物体所受的合外力,k为弹簧的劲度系数,故A正确;一个周期内有两次速度大小和方向完全相同,故物体速度再次相同时,所经历的时间可能为一个周期,也可能小于一个周期,故B错误;位移方向总跟加速度方向相反,而质点经过同一位置,位移方向总是由平衡位置指向质点所在位置,而速度方向有两种,可能与位移方向相同,也可能与位移方向相反,故C错误;水平弹簧振子在做简谐运动时,只有弹簧的弹力做功,系统的机械能守恒,则动能和势能的和不变,故D正确;物体运动方向指向平衡位置时,速度增大,与加速度方向相同;背离平衡位置时,速度减小,与加速度方向相反,故E正确.
(2021·安徽省合肥市一模)(多选)如图所示,图甲为以O点为平衡位置,在A、B两点间做简谐运动的弹簧振子,图乙为该弹簧振子的振动图象,由图可知下列说法中正确的是()。
A.在t=0.2s时,弹簧振子可能运动到B位置
B.在t=0.1s与t=0.3s两个时刻,弹簧振子的速度相反
C.从t=0到t=0.2s的时间内,弹簧振子的动能持续地增加
D.在t=0.2s与t=0.6s两个时刻,弹簧振子的加速度相同
E.在t=0.4s和t=0.8s时弹簧振子动能最大
【答案】ABE
【解析】t=0.2s时,振子的位移为正的最大,但由于没有规定正方向,所以此时振子的位置可能在A点也可能在B点,A正确。
t=0.1s时速度为正,t=0.3s时速度为负,两者方向相反,B正确。
从t=0到t=0.2s的时间内,弹簧振子远离平衡位置,速度减小,动能减小,C错。
t=0.2s与t=0.6s两个时刻,位移大小相等,方向相反,故加速度大小相等,方向相反,D错。
振子在平衡位置动能最大,E正确。
【方法总结】分析简谐运动的技巧
1.分析简谐运动中各物理量的变化情况时,一定要以位移为桥梁,位移增大时,振动质点的回复力、加速度、势能均增大,速度、动能均减小;反之,则产生相反的变化。
另外,各矢量均在其值为零时改变方向。
2.分析过程中要特别注意简谐运动的周期性和对称性。
考点二、简谐运动的公式和图象
1.表达式
(1)动力学表达式:
F=-kx,其中“-”表示回复力与位移的方向相反.
(2)运动学表达式:
x=Asin(ωt+φ0),其中A代表振幅,ω=2πf代表简谐运动的快慢,ωt+φ0代表简谐运动的相位,φ0叫做初相.
2.图象
(1)从平衡位置开始计时,函数表达式为x=Asinωt,图象如图甲所示.
(2)从最大位移处开始计时,函数表达式为x=Acosωt,图象如图乙所示.
【典例2】简谐运动公式
(2021·四川北师大广安实验学校月考)(多选)某质点做简谐运动,其位移与时间的关系式为x=3sin(
t+
)cm,则( )
A.质点的振幅为3cmB.质点振动的周期为3s
C.质点振动的周期为
sD.t=0.75s时刻,质点回到平衡位置
【答案】ABD
【解析】质点做简谐运动,位移与时间的关系式为x=3sin(
t+
)cm,对照公式x=Asin(ωt+φ0),振幅为3cm,角速度为
,根据公式ω=
,周期为3s,故A、B正确,C错误;t=0.75s时刻,x=3sin(
×
+
)cm=0,即质点在平衡位置,故D正确.
(2021云南文山模拟)(多选)某质点做简谐运动,其位移随时间变化的关系式为x=10sin
t(cm),则下列关于质点运动的说法中正确的是( )
A.质点做简谐运动的振幅为10cm
B.质点做简谐运动的周期为4s
C.在t=4s时质点的速度最大
D.在t=4s时质点的位移最大
E.在t=2s时质点的加速度最大
【答案】ACE
【解析】由质点做简谐运动的位移随时间变化的表达式x=10sin
t(cm),知质点的振幅为10cm,T=
s=8s,故A正确,B错误;将t=4s代入x=10sin
t(cm),可得位移为零,则质点正通过平衡位置,速度最大,故C正确,D错误;将t=2s代入x=10sin
t(cm),可知x=10cm,此时振子的位移最大,速度为零,加速度最大,故E正确.
【方法总结】简谐运动表达式的深度解析
1.x=Asin(ωt+φ).
2.基础意义:
位移x与时间t之间的定量关系.
3.直接信息:
振幅A,周期T=
,初相φ.
4.x与回复力F、x与加速度a:
根据F=-kx⇒a=-
,F、a的大小与x的大小成正比,方向与x相反.
5.x与速度v:
x减小时v增大,x增大时v减小;根据起振方向和周期判断某时刻质点振动速度的方向.
6.x与能量:
x增大时势能增大,动能减小;x减小时势能减小,动能增大;机械能守恒.
7.x与路程:
质点每振动一个周期T,相对原位置位移为0,运动的路程为4A
【典例3】简谐运动图像
(2021·广西南宁市第三十四中学期中)(多选)某弹簧振子在水平方向上做简谐运动,其振动图象如图1所示,则( )
A.弹簧振子在t=0到t=10s内路程为0.5m
B.简谐运动的频率是0.125Hz
C.弹簧振子在第4s末的位移为零
D.在第3s末与第5s末弹簧振子的速度方向相同
E.第5s末,弹簧振子的速度与加速度均为正值
【答案】BCD
【解析】弹簧振子在t=0到t=10s内路程为5A,即2.5m,选项A错误;简谐运动的周期T=8s,则频率是f=
=0.125Hz,选项B正确;弹簧振子第4s末在平衡位置,位移为零,选项C正确;因x-t图象的斜率表示速度,可知在第3s末与第5s末弹簧振子的速度方向不变,选项D正确;第5s末,弹簧振子的速度沿y轴负方向,加速度沿y轴正方向,选项E错误.
(2021·浙江省宁波市二模)(多选)甲、乙两弹簧振子的振动图象如图所示,则可知()。
A.两弹簧振子完全相同
B.两弹簧振子所受回复力最大值之比F甲∶F乙=2∶1
C.振子甲速度为零时,振子乙速度最大
D.两振子的振动频率之比f甲∶f乙=1∶2
E.振子乙速度为最大时,振子甲速度不一定为零
【答案】CDE
【解析】从图象中可以看出,两弹簧振子周期之比T甲∶T乙=2∶1,则频率之比f甲∶f乙=1∶2,D正确;弹簧振子周期与弹簧振子的组成有关,说明两弹簧振子不同,A错误;由于弹簧的劲度系数k不一定相同,所以两振子所受回复力(F=-kx)的最大值之比F甲∶F乙不一定为2∶1,B错误;由简谐运动的特点可知,在振子到达平衡位置时位移为零,速度最大,在振子到达最大位移处时,速度为零,从图象中可以看出,在振子甲到达最大位移处时,振子乙恰好到达平衡位置,C正确;当振子乙到达平衡位置时,振子甲有两个可能的位置,一个是最大位移处,一个是平衡位置,E正确。
(2021云南临沧模拟)如图所示为同一地点的两个单摆甲、乙的振动图象,下列说法正确的是( )
A.甲单摆的摆长大于乙单摆的摆长B.甲摆的机械能比乙摆的大
C.在t=0.5s时有正向最大加速度的是乙摆D.由图象可以求出当地的重力加速度
【答案】C
【解析】由题图可知,两单摆的周期相同,同一地点重力加速度g相同,由单摆的周期公式T=2π
可知,甲、乙两单摆的摆长相等,选项A错误;尽管甲摆的振幅比乙摆大,两摆的摆长相等,但由于两摆的质量未知,故无法比较机械能的大小,选项B错误;在t=0.5s时,甲摆经过平衡位置,摆动的加速度为零,而乙摆的位移为负的最大,则乙摆具有正向最大加速度,选项C正确;由单摆的周期公式T=2π
得g=
,由于不知道单摆的摆长,所以不能求得重力加速度,选项D错误.
【方法总结】对振动图像的理解
1.简谐运动的图像不是振动质点的轨迹,它表示的是振动物体的位移随时间变化的规律。
2.因回复力总是指向平衡位置,故回复力和加速度在图像上总是指向t轴。
3.速度方向可以通过下一时刻位移的变化来判定,下一时刻位移如果增加,振动质点的速度方向就远离t轴,下一时刻的位移如果减小,振动质点的速度方向就指向t轴。
考点三、受迫振动和共振
1.受迫振动
(1)概念:
系统在驱动力作用下的振动.
(2)振动特征:
物体做受迫振动达到稳定后,物体振动的频率等于驱动力的频率,与物体的固有频率无关.
2.共振
(1)概念:
当驱动力的频率等于固有频率时,物体做受迫振动的振幅最大的现象.
(2)共振的条件:
驱动力的频率等于固有频率.
(3)共振的特征:
共振时振幅最大.
(4)共振曲线如图所示
f=f0时,A=Am,f与f0差别越大,物体做受迫振动的振幅越小.
【典例4】对自由振动、受迫振动及共振的理解
(2021·浙江杭州市西湖区调研节选)(多选)如图所示为受迫振动的演示装置,在一根张紧的绳子上悬挂几个摆球,可以用一个单摆(称为“驱动摆”)驱动另外几个单摆.下列说法正确的是( )
A.某个单摆摆动过程中多次通过同一位置时,速度可能不同但加速度一定相同
B.如果驱动摆的摆长为L,则其他单摆的振动周期都等于2π
C.驱动摆只把振动形式传播给其他单摆,不传播能量
D.如果某个单摆的摆长等于驱动摆的摆长,则这个单摆的振幅最大
【答案】ABD
【解析】某个单摆摆动过程中多次通过同一位置时,速度大小相等但方向可能不同,根据F=-kx可得,加速度a=
=-
x,故加速度一定相同,A正确;如果驱动摆的摆长为L,根据单摆的周期公式有T=2π
,而其他单摆都做受迫振动,故其振动周期都等于驱动摆的周期,B正确;同一地区,单摆的固有频率只取决于单摆的摆长,摆长等于驱动摆的摆长时,单摆的振幅能够达到最大,这种现象称为共振,受迫振动不仅传播运动形式,还传播能量和信息,故C错误,D正确.
(2021贵州铜仁模拟)(多选)如图所示的装置可用于研究弹簧振子的受迫振动,砝码和轻弹簧构成弹簧振子.匀速转动把手时,曲杆给弹簧振子一驱动力,使振子做受迫振动,把手匀速转动的周期就是驱动力的周期,改变把手匀速转动的速度就可以改变驱动力的周期.若保持把手不动,给砝码一向下的初速度,砝码便做简谐运动,振动图象如图甲所示.当把手以某一速度匀速转动,受迫振动达到稳定时,砝码的振动图象如图乙所示.若用T0表示弹簧振子的固有周期,T表示驱动力的周期,y表示受迫振动达到稳定后砝码振动的振幅.则( )
A.由图线可知T0=4s
B.由图线可知T0=8s
C.当T在4s附近时,y显著增大;当T比4s小得多或大得多时,y很小
D.当T在8s附近时,y显著增大;当T比8s小得多或大得多时,y很小
【答案】AC
【解析】若保持把手不动,砝码以一定的初速度做简谐振动,这时为自由振动,题中图甲为砝码的自由振动图象,由图读出固有周期为T0=4s,A正确,B错误;当把手以某一速度匀速转动时,砝码做受迫振动,此时砝码振动的周期T等于驱动力的周期,题中图乙为砝码做受迫振动的图象,由图读出驱动力周期为T=8s,当驱动力的周期越靠近砝码的固有周期时,砝码的振动越强烈,振幅越大;当驱动力的周期越远离砝码的固有周期时,砝码的振动越弱,振幅越小,D错误,C正确.
【典例5】对共振条件及共振曲线的理解
(2021·山东青岛市西海岸区模拟)两单摆在不同的驱动力作用下其振幅A随驱动力频率f变化的图象如图中甲、乙所示,则下列说法正确的是( )
A.单摆振动时的频率与固有频率有关,振幅与固有频率无关
B.若两单摆放在同一地点,则甲、乙两单摆的摆长之比为4∶1
C.若两单摆摆长相同放在不同的地点,则甲、乙两单摆所处两地的重力加速度之比为4∶1
D.周期为2s的单摆叫作秒摆,在地面附近,秒摆的摆长约为2m
【答案】B
【解析】做受迫振动的物体的频率等于驱动力的频率,单摆振动时的频率由驱动力的频率决定,与单摆的固有频率无关,当驱动力频率等于单摆的固有频率时,单摆的振幅最大,发生共振,选项A错误;由题图可知,甲、乙两个单摆的固有频率之比为1∶2,则由T=
=2π
可知,l=
,则若两单摆放在同一地点,则甲、乙两单摆的摆长之比为4∶1;若两单摆摆长相同放在不同的地点,则甲、乙两单摆所处两地的重力加速度之比为1∶4,选项B正确,C错误;在地面附近,秒摆的摆长为l=
≈1m,选项D错误.
【方法总结】受迫振动和共振
考点四、实验用单摆测定重力加速度
1.原理与操作
2.误差分析
产生原因:
偶然误差测量时间(单摆周期)及摆长时产生误差,减小方法①多次测量再求平均值
②计时时从单摆经过平衡位置时开始
系统误差:
主要来源于单摆模型本身,减小方法①摆球要选体积小,密度大的
②最大摆角不要太大
【典例6】教材原型实验
(2021·山东济南市调研)实验小组的同学们用如图所示的装置做“用单摆测定重力加速度”的实验.
(1)测出悬点O到小球球心的距离(摆长)l及单摆完成n次全振动所用的时间t,则重力加速度g=________.(用l、n、t表示)
(2)实验时除用到停表、刻度尺外,还应该用到下列器材中的________.(填选项前的字母)
A.长约1m的细线
B.长约1m的橡皮绳
C.直径约1cm的均匀铁球
D.直径约10cm的均匀木球
(3)选择好器材,将符合实验要求的单摆悬挂在铁架台上,应采用图________中所示的固定方式.
(4)某实验小组组装单摆时,在摆线上端的悬点处,用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线,再用铁架台的铁夹将橡皮夹紧,如图所示,这样做的目的是________.(填选项前的字母)
A.保持摆动过程中摆长不变
B.可使周期测量得更加准确
C.需要改变摆长时便于调节
D.保证摆球在同一竖直平面内摆动
(5)他组装好单摆后在摆球自然悬垂的情况下,用毫米刻度尺量得从悬点到摆球的最低端的长度L=0.9990m,再用游标卡尺测量摆球直径,结果如图所示,则该摆球的直径为______mm.
(6)将单摆正确悬挂后进行如下操作,其中正确的是________.(填选项前的字母)
A.测出摆线长作为单摆的摆长
B.把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度释放,使之做简谐运动
C.在摆球经过平衡位置时开始计时
D.用停表测量摆球完成一次全振动所用时间并作为单摆的周期
(7)甲同学多次改变单摆的摆长并测得相应的周期,他根据测量数据画出了如图所示的图象,但忘记在图中标明横坐标所代表的物理量.你认为横坐标所代表的物理量是________(填“l2”“l”或“
”),若图线斜率为k,则重力加速度g=________(用k表示).
(8)乙同学测得的重力加速度数值大于当地的重力加速度的实际值,造成这一情况的原因可能是________.(填选项前的字母)
A.开始摆动时振幅较小
B.开始计时时,过早按下停表
C.测量周期时,误将摆球(n-1)次全振动的时间记为n次全振动的时间
D.测量摆长时,以悬点到小球下端边缘的距离为摆长
【答案】
(1)
(2)AC (3)乙 (4)AC (5)12.0 (6)BC (7)
(8)CD
【解析】
(1)单摆的周期T=
,由单摆周期公式T=2π
得重力加速度g=
=
.
(2)为了便于测量周期和减小空气阻力,摆线选择较细且结实的线,故选A;为了减小空气阻力的影响,摆球选择质量大体积小的,故选C.
(3)为了避免运动过程中摆长发生变化,悬点要固定,不能松动,则选图乙.
(4)这样做的目的是便于调节摆长,把摆线夹得更紧一些,使摆动过程中摆长不变,因此A、C正确.
(5)摆球的直径为d=12.0mm.
(6)摆长等于摆线的长度加上摆球的半径,A错误;将停表测量摆球完成一次全振动所用时间作为单摆的周期,误差较大,应采用累积法测量周期,D错误.
(7)根据单摆周期公式T=2π
=
,所以应该作出T-
图象,故横坐标所代表的物理量是
,斜率k=
,解得g=
.
(8)由周期公式T=2π
,得g=
,单摆振幅大小与g无关,故A错误;开始计时时,过早按下停表,周期偏大,则g偏小,故B错误;测量周期时,误将摆球(n-1)次全振动的时间记为n次全振动的时间,周期偏小,则g偏大,故C正确;摆长等于摆线的长度加上摆球的半径,若测量摆长时以悬点到小球下端边缘的距离为摆长,摆长偏大,由g=
,所以g偏大,故D正确.
【典例6】创新实验
(2021西藏林芝模拟)某小组在做“用单摆测定重力加速度”实验后,为进一步探究,将单摆的轻质细线改为刚性重杆。
通过查资料得知,这样做成的“复摆”做简谐运动的周期T=2π
,式中Ic为由该摆决定的常量,m为摆的质量,g为重力加速度,r为转轴到重心C的距离。
如图甲,实验时在杆上不同位置打上多个小孔,将其中一个小孔穿在光滑水平轴O上,使杆做简谐运动,测量并记录r和相应的运动周期T;然后将不同位置的孔穿在轴上重复实验,实验数据见表,并测得摆的质量m=0.50kg。
r/m
0.45
0.40
0.35
0.30
0.25
0.20
T/s
2.11
2.14
2.20
2.30
2.43
2.64
(1)由实验数据得出图乙所示的拟合直线,图中纵轴表示________。
(2)Ic的国际单位为________,由拟合直线得到Ic的值为________(保留到小数点后二位)。
(3)若摆的质量测量值偏大,重力加速度g的测量值________(选填“偏大”“偏小”或“不变”)。
【答案】
(1)T2r
(2)kg·m2 0.17 (3)不变
【解析】
(1)由T=2π
,可得T2r=
+
r2,所以图中纵轴表示T2r。
(2)Ic单位与mr2单位一致,因为mr2的国际单位为kg·m2,所以Ic的国际单位为kg·m2;
结合T2r=
+
r2和题图中的截距和斜率,解得Ic的值约为0.17。
(3)重力加速度g的测量值是通过求斜率
得到的,与质量无关,所以若摆的质量测量值偏大,重力加速度g的测量值不变。
(2021宁夏银川一中模拟)在“探究单摆的周期与摆长的关系”的实验中,摆球在垂直纸面的平面内摆动,如图甲所示,在摆球运动最低点的左、右两侧分别放置一激光光源与光敏电阻.光敏电阻(光照时电阻比较小)与某一自动记录仪相连,该仪器显示的光敏电阻阻值R随时间t的变化图线如图乙所示,则该单摆的振动周期为________.若保持悬点到小球顶点的绳长不变,改用直径是原小球直径2倍的另一小球进行实验,则该单摆的周期将________(填“变大”“不变”或“变小”).
【答案】2t0 变大
【解析】单摆在一个周期内两次经过平衡位置,每次经过平衡位置,单摆会挡住细激光束,从Rt图线可知周期为2t0.摆长等于摆线的长度加上小球的半径,根据单摆的周期公式T=2π
,摆长变大,所以周期变大.
【方法总结】注意事项
1.选用1m左右的细线。
2.悬线顶端不能晃动,需用夹子夹住,保证顶点固定。
3.小球在同一竖直面内摆动,且摆角小于5°。
4.选择在摆球摆到平衡位置处开始计时,并数准全振动的次数。
5.小球自然下垂时,用毫米刻度尺量出悬线长l',用游标卡尺测量小球的直径,然后算出摆球的半径r,则摆长l=l'+r。
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- 专题 151 简谐运动 及其 描述 单摆 测量 重力加速度 解析