RLC电路暂态过程文档格式.docx
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放电过程:
uc=E(1−e−t/RC)
{
R
i=Ee−t/RC 或 uR=Ee−t/RC
uc=Ee−t/RC
i=−Ee−t/RC 或 uR=−Ee−t/RC
(1)
(2)
从式中可以看出,电容电压和电流均呈指数规律变化,式中
(2)中i为负表示电流反向。
下图为电容电压和电阻电压(i)随时间的变化过程:
令τ=RC,定义为时间常数。
当t=τ时,有uc=0.368E,当t=5τ时,有uc=0.007E,一般认为此时达到新的稳态。
2.RL电路的暂态过程。
电路如下图所示:
开关合向“1”时为充电过程,合向“2”时为放电过程。
充电过程,电流,放电过程,电流消失。
则可以推得:
电流增长过程:
uL=e−tR/L
i=Ee−tR/L 或 uR=E(1−e−tR/L)
uL=−Ee−t/RC
i=Ee−tR/L 或 uR=Ee−tR/L
(3)
(4)
从式中可以看出,电感电压和电流均呈指数规律变化。
下图为电感电压和电阻电压(i)随时间的变化过程:
3.RLC串联电路的暂态过程。
开关合向“1”使电容充电至E,合向“2”时,电容在闭合的RLC电路中放电。
根据初始条件的不同,可分为三种情况:
√
R2<
4L/C时,阻尼较小,则推得:
c
其中时间常数为
u= 4L Ee−t/τcos(ω+φ) (5)4L−R2C
τ=2L/R (6)
衰减振动的角频率
1√
(7)
4L
R2C
ω=
LC
1−
电容电压随时间变化如下图曲线I所示,即阻尼振动状态。
如果R2≪4L/C,则有:
ω≈1/√LC=ω0
T=π/ω≈2π√LC
(8)
R2>
4L/C对应于过阻尼状态,推得:
u= 4L Ee−αtsh(βt+φ) (9)
R2C−4L
2L
式中:
α=R,β=1√R2C−1。
过阻尼状态电容电压随时间的关系曲线如上图II所示,它是以缓慢的方式逐渐回到零。
R2=4L/C对应于临界阻尼状态,其解为:
tuc=E(1+τ)e
式中τ=2L/R。
其电压随时间曲线如图曲线III。
4.信号源为矩形脉冲时的暂态过程
−t/τ
(10)
如果把矩形波接入电路时,经过几个周期后,充放电过程趋于稳定,在示波器上也将看到稳定后的波形。
充放电过程达到稳定后,uc和uR波形的极值为:
电容充电过程结束t=(n+
)T时:
2
1+e−T/2τ
1 {uc[(n+1)T]= E
(11)
2 u[(n+1)T]=Ee−T/2τ
电容放电过程结束t=(n+1)T时:
uc
uc
[(n+1)T]=Ee−T/2τ
−
[(n+1)T]= Ee−T/2τ
(12)
由上式可以看到,结果与直流电源作用下是明显不同的。
5.瞬态波形的快速采集。
直流电源作用下的RLC串联电路的暂态过程中uc,i均为单次非周期性瞬态信号,用普通示波器无法观察,应使用数字存储示波器对瞬态信号进行采集。
(1)学习使用数字存储示波器。
§
4 实验内容
(2)观测单次矩形脉冲下的RC,RL,RLC串联电路的暂态过程。
电路图如下图所示:
令f=250Hz,Vpp=2.0V。
①观察单次矩形脉冲作用下RC串联电路的暂态过程:
X1:
C=0.2µ
F,X2:
R分别取200Ω,2kΩ,20kΩ,观察uR波形,测量时间常数τ并和理论值进行比较。
调换R和C观察uc波形,测量时间常
数τ并和理论值进行比较,并解释波形变化规律。
作图时将R取不同值的uR画在同一张图
上,uc画在一张图上。
②观察单次矩形脉冲作用下RC串联电路的暂态过程:
L=10mH,X2:
R分别取20Ω,200Ω,观察uR波形,测量时间常数τ并和理论值进行比较。
调换R和L观察uL波形,测量时间常
作图时将R取不同值的uR画在同一张图上,uL画在一张图上。
③观察单次矩形脉冲作用下RLC串联电路的暂态过程:
L=10mH(RL=20Ω),R分别取0.0Ω,400Ω,2.0kΩ,20kΩ串联,X2:
F
a.R=0.0Ω画uc波形,测其频率与理论值比较。
测量衰减振荡峰值的包络线,由式(5)可知,此包络线是按规律衰减的,因而第n个峰值uc(n)与第一个峰值uc(0)的关系为:
uc(n)=uc(0)e−nT/τ (13)
式中T为震动档周期。
据上式用拟合法求出时间常数τ,并用公式(6)计算的结果进行比较。
b.调节R测得临界电阻Rc,并与理论值比较。
c.记录在R=2.0kΩ,20kΩ的uc波形。
实验内容简表如下:
电路
条件
测量
记录波形
RC
C=0.2µ
R=200Ω
τ
uR,uc
R=2kΩ
R=20kΩ
RL
L=10mH
R=20Ω
RLC
FL=10mH
R=0Ω(欠阻尼)
T,τ
R=Rc(临界阻尼)
Rc
R=2kΩ(过阻尼)
R=20kΩ(过阻尼)
5 数据表格
(1)RC电路(利用uR测得数据)
半衰时间
t1
t2
t3
28.80µ
s
28.00µ
280.0µ
288.0µ
292.0µ
2.680ms
2.640ms
(2)RL电路(利用uL测得数据)利用万用表测得RL=24.0Ω。
140.0µ
136.0µ
28.40µ
28.60µ
(3)RLC电路(利用uc测得数据)
n
4
5
6
u/V
2.00
1.38
1.00
0.66
0.45
0.33
0.25
t/µ
280
550
830
1110
1370
1650
实验中测得临界电阻Rc=390Ω。
(1)RC电路
6 数据处理及结果
由于所测的为半衰时长,并非是所要求的τ,所以我们需将作进一步计算将结果转换为τ。
由公式
(1)有:
所以根据表中的数据可以算得:
①当R=200Ω时
0.5E=Ee−t/τ
τ=
t
ln2
(14)
τ=40.78µ
sστ=0.38µ
所以τ=40.78±
0.38µ
算得理论值为τ=RC=40µ
s。
从实验结果来看,还是较为准确的,误差为2%。
②当R=2kΩ时
τ=413.6µ
sστ=5.1µ
所以τ=413.6±
5.1µ
算得理论值为τ=RC=400µ
s,误差为3.4%。
③当R=20kΩ时
τ=3.85msστ=0.02ms
所以τ=3.85±
0.02ms
算得理论值为τ=RC=4ms,误差为3.8%。
(2)RL电路
τ的计算方法和RC电路是一样的。
①当R=20Ω时
τ=198µ
sστ=2µ
所以τ=198±
2µ
算得理论值为τ=RC=227µ
s,误差为12.7%。
这一个数据误差相当之大,在后面我们将对其进行讨论。
②当R=200Ω时
τ=41.4µ
sστ=0.2µ
所以τ=41.4±
0.2µ
算得理论值为τ=RC=44.6µ
s,误差为7.2%。
这一数据也与理论值有一定的偏差。
(3)RLC电路
①欠阻尼情况。
利用所测得的时间t进行线性拟合,得下图:
Equation y=a+b*x
Adj.R-Squ 0.99992
B
Value
Intercep 3.21429
Slope
274.642
StandardEr
3.59634
0.99745
1600
t/s
800
-1 0 1 2 3 4 5 6 7
从图中可以看到曲线的线性关系非常好,由此可以得到周期T=275µ
s,σT=1µ
下面我们利用n和uc的关系进行指数型拟合,得到下图:
0.14599
2.7097
0.04164
1.9825
A1
0.04363
0.0186
y0
StandardErr
0.99871
Adj.R-Squar
y=A1*exp(-x/t1)+y0
Equation
2.4
1.6
uc(V)
0.8
0.0
0 3 6
从图中我们可以得到:
1 T
=
t1 τ
τ=T·
t1得τ=745.2µ
sστ=40µ
进一步算得理论值τ=2L=833µ
s,相对误差有10.6%,这说明精度上存在很大的问题。
②临界阻尼情况。
C
测得Rc=390Ω,理论值Rc=4L=447Ω,相对误差12.8%,误差仍然很大。
(3)各uR,uc,uL波形图如下:
1.RC电路uc波形图:
从图中可以看出,随着R的增大,uc上升或下降的速度越来越慢,以至于当R=20kΩ时,uc没
有上升到峰值便开始下降。
2.RC电路uR波形图:
从图中可以看出,随着R的增大,uR上升或下降的速度越来越慢,当R=20kΩ时,uR没有下降到最低值便反向上升。
3.RL电路uc波形图:
从图中可以看出,随着R的增大,电压上升或下降的速度增大,并且R越大,其最大值越大,这是因为电感L本身带有电阻的缘故。
4.RL电路uR波形图:
从图中可以看出,随着R的增大,电压上升或下降的速度增大,并且R越大,电压下降阶段所能达到的最小值越小,原因和上面所述是一致的,电感L本身带有电阻。
5.RLC电路(欠阻尼情形)时uc波形图:
从图中可以看出,在欠阻尼情形时,将发生阻尼振荡。
6.RLC电路(临界阻尼情形)uc波形图:
从图中可以看出,当趋于临界阻尼时,不会发生阻尼振荡,电压将很快降为零。
7.RLC电路(过阻尼情形)uc波形图:
从图中可以看出,随着R的增大,其衰减到零的速度将变得缓慢。
7 讨论
此次实验为本学期最后一次实验,从实验难度上来看,操作难度和数据处理都具有一定的难度,也是本人所做的第一个需要非线性拟合的实验。
从实验结果来看,部分实验的实验精度难以令人满意,下面对这些细节进行讨论。
RC实验的数据精度还是较为满意的,相对误差在3%左右,但对于RL电路和RLC电路,误差有10%,这一误差还是相当大的。
在实验过程中,个人还是较为精确的测量,也并没有伪造实验数据。
比较RC电路和RL电路,以及RLC电路,最大的不同在于是否包含电感。
在RL电路中我们利用uL测得数据,但是在测量中,我们测到的并非是纯粹的uL,因为电感本身包含电阻(并且不可忽略),所以我们测到的是纯粹的uL和一部分电阻的电压,从RL电路的相关公式便可以看到,这两部分电压相加后,会仍然满足指数型增长或下降趋势,也同样可以理解,当R=200Ω时误差将会小于R=20Ω。
对于RLC电路,其同样存在这个问题,分析也是类似的。
8 思考题
(1)试说明RC电路组成的延时开关的工作原理。
答:
从RC电路的充放电电压随时间变化曲线上可以看到,uc是从零指数型逐渐上升到E,然后再按指数规律下降到0,利用这一特性便可以设计延时电路,我们可以将uc作为采样电压,可以设定一个触发电平,只有当电压值高于触发电平时,工作电路才工作,这样做应该是完全可以实现的,类似的也可以用uR作为采样电压。
(2)电容电感均为储能元件,试从能量转换观点分析解释RLC阻尼振荡波形的原理及特点。
RLC的阻尼振荡是通过电容和电感能量周期性转移来实现的。
当电容能量达到最大时,能量向电感转移,反之亦然,由此形成周期性的振动状态。
在能量的转移过程中,能量会逐渐耗散在电阻上,最终会使振动状态消失。
由上也可以看到RLC振荡电路的两个特点,第一是周期性,阻尼振动具有固定的周期。
第二是振幅递减性,随着振荡的持续,能量会逐渐被耗散。
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- RLC 电路 过程