高中数学新湘教版选修21 充分条件和必要条件.docx
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高中数学新湘教版选修21充分条件和必要条件
1.1.3 充分条件和必要条件
[读教材·填要点]
充分条件与必要条件
命题真假
“若p,则q”是真命题
“若p,则q”是假命题
“若p,则q”和“若q,则p”都是真命题
推出关系
p⇒q
p
q
p⇔q
条件关系
p是q的充分条件q是p的必要条件
p不是q的充分条件q不是p的必要条件
p是q的充分必要条件,p和q称为互相等价
[小问题·大思维]
1.如果p是q的充分条件,则p是唯一的吗?
提示:
不唯一,如x>3是x>0的充分条件,x>5,x>10等都是x>0的充分条件.
2.若“x∈A”是“x∈B”的充要条件,则A与B的关系怎样?
提示:
A=B.
3.p是q的充要条件,q是s的充要条件,p是s的充要条件吗?
提示:
是.∵p是q的充要条件,∴p⇔q.又q是s的充要条件,∴q⇔s.故p⇔s,即p是s的充要条件.
充分条件、必要条件的理解
下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的p是q的充分条件:
(1)若x=1,则x2-4x+3=0;
(2)若f(x)=x,则f(x)在(-∞,+∞)上为增函数;
(3)若x为无理数,则x2为无理数;
(4)若两条直线平行,则这两条直线的斜率相等.
[自主解答]
(1)当x=1时,x2-4x+3=1-4+3=0,因此命题是真命题,即p⇒q,故p是q的充分条件.
(2)易知函数f(x)=x在(-∞,+∞)上是增函数,因此命题是真命题,即p⇒q,故p是q的充分条件.
(3)当x=
时,x2=(
)2=2不是无理数,因此命题是假命题,即p
q,故p不是q的充分条件.
(4)两条垂直于x轴的直线平行,但是斜率都不存在,因此命题是假命题,即p
q,故p不是q的充分条件.
p是q的充分条件是由命题“若p,则q”为真来定义的,因此理解时也需回归定义,从相应命题入手,若命题“若p,则q”为真,则p是q的充分条件,q是p的必要条件;若命题“若p,则q”为假,则p不是q的充分条件,q不是p的必要条件.
1.下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的q是p的必要条件?
(1)若b2=ac,则a,b,c成等比数列;
(2)若有且只有一个实数λ,使a=λb,则a∥b;
(3)若l∥α,则直线l与平面α所成角大小为0°;
(4)若函数f(x)=ax(a>0且a≠1),则f(x)是单调增函数.
解:
命题
(2)(3)是真命题,命题
(1)(4)是假命题,所以命题
(2)(3)中的q是p的必要条件.
充分条件与必要条件的判断
(1)(2017·天津高考)设x∈R,则“2-x≥0”是“|x-1|≤1”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)(2017·北京高考)设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
(3)如果x,y是实数,那么“x≠y”是“cosx≠cosy”的( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
[自主解答]
(1)由2-x≥0,得x≤2,
由|x-1|≤1,得0≤x≤2.
∵0≤x≤2⇒x≤2,x≤2⇒/0≤x≤2,
故“2-x≥0”是“|x-1|≤1”的必要而不充分条件.
(2)∵m=λn,∴m·n=λn·n=λ|n|2.
∴当λ<0,n≠0时,m·n<0.
反之,由m·n=|m||n|cos〈m,n〉<0⇔cos〈m,n〉<0⇔〈m,n〉∈
,
当〈m,n〉∈
时,m,n不共线.
故“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件.
(3)命题“若x≠y,则cosx≠cosy”等价于命题“若cosx=cosy,则x=y”,这个命题是假命题,故x≠y
cosx≠cosy;命题“若cosx≠cosy,则x≠y”等价于命题“若x=y,则cosx=cosy”,这个命题是真命题,故cosx≠cosy⇒x≠y.故“x≠y”是“cosx≠cosy”的必要不充分条件.
[答案]
(1)B
(2)A (3)C
充要条件的判断方法
(1)定义法:
①分清条件p和结论q:
分清哪个是条件,哪个是结论;②找推式:
判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假;③下结论:
根据定义下结论.
(2)等价法:
将命题转化为另一个与之等价的、又便于判断真假的命题.
(3)集合法:
写出集合A={x|p(x)}及B={x|q(x)},利用集合之间的包含关系加以判断.用集合法判断时,要尽可能用Venn图、数轴、直角坐标平面等几何方法,图形形象、直观,能简化解题过程,降低思维难度.
2.在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,则“a≤b”是“sinA≤sinB”的( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
解析:
由正弦定理,得
=
,
故a≤b⇔sinA≤sinB,选A.
答案:
A
3.指出下列各组命题中,p是q的什么条件.
(1)p:
四边形的对角线相等,q:
四边形是平行四边形;
(2)p:
(x-1)2+(y-2)2=0,q:
(x-1)(y-2)=0.
解:
(1)∵四边形的对角线相等
四边形是平行四边形,四边形是平行四边形
四边形的对角线相等,
∴p是q的既不充分也不必要条件.
(2)∵(x-1)2+(y-2)2=0⇒x=1且y=2⇒(x-1)·(y-2)=0,
而(x-1)(y-2)=0
(x-1)2+(y-2)2=0,
∴p是q的充分不必要条件.
充要条件的证明
求证:
一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
[自主解答] 充分性:
(由ac<0推证方程有一正根和一负根)
∵ac<0,
∴一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式
Δ=b2-4ac>0.
∴方程一定有两不等实根.
设为x1,x2,则x1x2=
<0,
∴方程的两根异号.
即方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根.
必要性:
(由方程有一正根和一负根推证ac<0)
∵方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根,
设为x1,x2,
则由根与系数的关系得x1x2=
<0,
即ac<0.
综上可知:
一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
充要条件的证明思路
(1)在证明有关充要条件的问题时,通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明.在证明时,要注意:
若证明“p的充要条件是q”,那么“充分性”是q⇒p,“必要性”是p⇒q;若证明“p是q的充要条件”,则与之相反.
(2)证明充要条件问题,其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立.若不易直接证明,可根据命题之间的关系进行等价转换,然后加以证明.
4.已知x,y都是非零实数,且x>y,求证:
<
的充要条件是xy>0.
证明:
(1)必要性:
由
<
,得
-
<0,即
<0,
又由x>y,得y-x<0,所以xy>0.
(2)充分性:
由xy>0及x>y,
得
>
,即
<
.
综上所述,
<
的充要条件是xy>0.
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已知p:
-2≤x≤10,q:
x2-2x+1-m2≤0(m>0),若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.
[巧思] 先求不等式的解集,然后根据充分条件以及必要条件的意义,将命题间的关系转化为集合间的关系即可求解.
[妙解] p:
-2≤x≤10.
q:
x2-2x+1-m2≤0⇔[x-(1-m)][x-(1+m)]≤0(m>0)⇔1-m≤x≤1+m(m>0).
q是p的充分不必要条件,
即{x|1-m≤x≤1+m}{x|-2≤x≤10}.
故有
或
解得m≤3.
又m>0,所以实数m的取值范围为(0,3].
1.“x=1”是“x2-2x+1=0”的( )
A.充要条件 B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件D.既不充分又不必要条件
解析:
因为x2-2x+1=0有两个相等的实数根,为x=1,所以“x=1”是“x2-2x+1=0”的充要条件.
答案:
A
2.设集合A={x∈R|x-2>0},B={x∈R|x<0},C={x∈R|x(x-2)>0},则“x∈A∪B”是“x∈C”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分又不必要条件
解析:
A∪B={x∈R|x<0或x>2},
C={x∈R|x<0或x>2},
∵A∪B=C,
∴x∈A∪B是x∈C的充分必要条件.
答案:
C
3.设a,b是实数,则“a+b>0”是“ab>0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分又不必要条件
解析:
特值法:
当a=10,b=-1时,a+b>0,ab<0,故a+b>0
ab>0;当a=-2,b=-1时,ab>0,但a+b<0,所以ab>0
a+b>0.故“a+b>0”是“ab>0”的既不充分又不必要条件.
答案:
D
4.“a和b都是偶数”是“a+b是偶数”的________条件.
解析:
a和b都是偶数⇒a+b是偶数;
a+b是偶数
a和b都是偶数.
答案:
充分不必要
5.设α,β,γ为平面,m,n,l为直线,则对于下列条件:
①α⊥β,α∩β=l,m⊥l;
②α∩γ=m,α⊥β,γ⊥β;
③α⊥γ,β⊥γ,m⊥α;
④n⊥α,n⊥β,m⊥α.
其中为m⊥β的充分条件的是________(将你认为正确的所有序号都填上).
解析:
由线面垂直的判定定理可知,②④为m⊥β的充分条件.
答案:
②④
6.如果p:
x(x-3)<0是q:
2x-3 解: p: x(x-3)<0,即0 2x-3 .由题意知p⇒q,q p,则在数轴上表示不等式如图所示,则 ≥3,解得m≥3. 即实数m的取值范围为[3,+∞). 一、选择题 1.“x>1”是“|x|>1”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 解析: x>1⇒|x|>1,而|x|>1⇒x>1或x<-1,故“x>1”是“|x|>1”的充分而不必要条件. 答案: A 2.设a,b为实数,则“0<ab<1”是“b< ”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 解析: 一方面,若0<ab<1,则当a<0时,0>b> , ∴b< 不成立;另一方面,若b< ,则当a<0时,ab>1, ∴0<ab<1不成立,故选D. 答案: D 3.方程“ax2+2x-1=0至少有一个正实根”的充要条件是( ) A.-1≤a<0 B.a>-1 C.a≥-1D.-1≤a<0或a>0 解析: a=0时,方程ax2+2x-1=0有一正根,排除A、D两项;a=-1时,方程化为x2-2x+1=0,即(x-1)2=0,x=1>0. 答案: C 4.使|x|=x成立的一个必要不充分条件是( ) A.x≥0B.x2≥-x C.log2(x+1)>0D.2x<1 解析: ∵|x|=x⇔x≥0, ∴选项A是充要条件.选项C,D均不符合题意. 对于选项B,∵由x2≥-x得x(x+1)≥0, ∴x≥0或x≤-1. 故选项B是使|x|=x成立的必要不充分条件. 答案: B 二、填空题 5.如果命题“若A,则B”的否命题是真命题,而它的逆否命题是假命题,则A是B的________________条件. 解析: 因为逆否命题为假,所以原命题为假,即A⇒/B. 又因否命题为真,所以逆命题为真,即B⇒A, 所以A是B的必要不充分条件. 答案: 必要不充分 6.条件p: 1-x<0,条件q: x>a,若p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是________. 解析: p: x>1,若p是q的充分不必要条件,则p⇒q,但q p,也就是说,p对应集合是q对应集合的真子集,所以a<1. 答案: (-∞,1) 7.下列命题: ①“x>2且y>3”是“x+y>5”的充要条件; ②b2-4ac<0是一元二次不等式ax2+bx+c<0解集为R的充要条件; ③“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的充分不必要条件; ④“xy=1”是“lgx+lgy=0”的必要不充分条件. 其中真命题的序号为______________. 解析: ①x>2且y>3时,x+y>5成立,反之不一定,如x=0,y=6.所以“x>2且y>3”是“x+y>5”的充分不必要条件; ②不等式解集为R的充要条件是a<0且b2-4ac<0,故②为假命题; ③当a=2时,两直线平行,反之,若两直线平行,则 = ,∴a=2.因此,“a=2”是“两直线平行”的充要条件; ④lgx+lgy=lg(xy)=0,∴xy=1且x>0,y>0. 所以“lgx+lgy=0”成立,xy=1必成立,反之不然. 因此“xy=1”是“lgx+lgy=0”的必要不充分条件. 综上可知,真命题是④. 答案: ④ 8.已知“-1 y+k2=0表示圆”的充分条件,则实数m的取值范围是________. 解析: 当方程x2+y2+kx+ y+k2=0表示圆时, k2+3-4k2>0,解得-1 所以-1 即实数m的取值范围是(-1,1]. 答案: (-1,1] 三、解答题 9.判断下列结论是否正确,并说明理由. (1)已知α,β是两个不同的平面,m为α内一条直线,则“α⊥β”是“m⊥β”的充分条件; (2)“a2>b2”是“a>b”的必要条件; (3)直线l1: ax+y=3,l2: x+by-c=0, 则“ab=1”是l1∥l2的必要条件; (4)条件p: b=0,条件q: 函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数,则q是p的充分条件. 解: (1) m⊥β, (反例: m可能与β平行), ∴“α⊥β”不是“m⊥β”的充分条件. (2)∵a>b a2>b2, (反例: 0>-2但02<(-2)2), ∴“a2>b2”不是“a>b”的必要条件. (3)∵l1∥l2,l1的斜率为-a, ∴l2的斜率存在且与l1的斜率相等. ∴- =-a, ∴ab=1. 即“l1∥l2”⇒ab=1, ∴“ab=1”是“l1∥l2”的必要条件. (4)∵f(x)=ax2+bx+c为偶函数, ∴由f(-x)=f(x)得b=0. ∴q是p的充分条件. 10.是否存在实数p,使4x+p<0是x2-x-2>0的充分条件? 如果存在,求出p的取值范围;否则,说明理由. 解: 由x2-x-2>0,解得x>2或x<-1. 令A={x|x>2或x<-1}, 由4x+p<0得B= . 当B⊆A时,即- ≤-1,即p≥4. 此时x<- ≤-1⇒x2-x-2>0, 所以p的取值范围为[4,+∞).
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