正弦定理应用教案.docx
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正弦定理应用教案
正弦定理应用教案
【篇一:
正弦定理、余弦定理应用举例教案】
第7讲正弦定理、余弦定理应用举例
【考查要点】利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题.
【基础梳理】
1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型。
如测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、
物理问题等.
2.实际问题中的常用角
(1)仰角和俯角:
在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下方的角叫俯角(如图
(1)).
(2)方位角:
指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如b点的方
(4)坡度:
坡面与水平面所成的二面角的度数.
3、解三角形应用题的一般步骤:
(1)阅读理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与未知,理清量与量
之间的关系.
(2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题的模型.
(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解.
(4)将三角形问题还原为实际问题,注意实际问题中的有关单位问题、近
似计算的要求等.
4、解三角形应用题常有以下两种情形
(1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解.
(2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解.
【例题分析】
一、基础理解
a..3mc.m2
解:
如图.答案
b
例4.一船向正北航行,看见正西方向相距10海里的两个灯塔
恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船
a.5海里b.3海里c.10海里d.海里
5里),于是这艘船的速度是=10(海里/时).答案c0.5
二、测量距离问题
例1、如图所示,为了测量河对岸a,b两点间的距离,在这岸
[分析]在△bcd中,求出bc,在△abc中,求出ab.
例2、如图,a,b,c,d
都在同一个与水平面垂直的平面内,
b、d为两岛上的
试探究图中b、d间距离与另外哪两点间距离相等,然后求b,
d的距离.
故cb是△cad底边ad的中垂线,所以bd=ba.
2+同理,bd(km).故b、dkm.2020
三、测量高度问题
[分析]过点c作ce∥db,延长ba交ce于点e,在△aec中
解得x=10(33)m.故山高cd为10(33
)m.
总结:
(1)测量高度时,要准确理解仰、俯角的概念;
(2)分清已知和待求,分析(画出)示意图,明确在哪个三角形内应用正、余弦定理.
,
cd
cdx
ab解:
在△abc中,ab=5,ac=9,∠bca=sin∠acb
9同理,在△abd中,ab=5,sin∠bad10
abbd∠adb=,sin∠bdasin∠bad
22解得bd故bd的长为22
总结:
要利用正、余弦定理解决问题,需将多边形分割成若干个三角形,在分割时,要注意有利于应用正、余弦定理.
点,ad=10,ac=14,dc=6,求ab的长.
解:
在△adc中,ad=10,ac
=
14,dc=6,
【篇二:
《正弦定理》教学设计】
《正弦定理》教学设计
一、教材分析
正弦定理是高中新教材人教a版必修⑤第一章1.1.1的内容,是使学生在已有知识的基础上,通过对三角形边角关系的研究,发现并掌握三角形中的边与角之间的数量关系。
通过创设问题情景,从而引导学生产生探索愿望,激发学生学习的兴趣,并指出解决问题的关键在于研究三角形中的边、角关系。
在教学过程中,要引导学生自主探究三角形的边角关系,先由特殊情况发现结论,再对一般三角形进行推导证明,并引导学生分析正弦定理可以解决两类关于解三角形的问题:
(1)已知两角和一边,解三角形;
(2)已知两边和其中一边的对角,解三角形。
二、学情分析
本节授课对象是高一学生,是在学生学习了必修④基本初等函数Ⅱ和三角恒等变换的基础上,由实际问题出发探索研究三角形边角关系,得出正弦定理。
高一学生对生产生活问题比较感兴趣,由实际问题出发可以激起学生的学习兴趣,使学生产生探索研究的愿望。
根据上述教材结构与内容分析,立足学生的认知水平,制定如下教学目标和重、难点。
三、教学目标:
1.知识与技能:
通过创设问题情境,引导学生发现正弦定理,并推证正弦定理。
会初步运用正弦定理与三角形的内角和定理解斜三角形的两类问题。
2.过程与方法:
引导学生从已有的知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角正弦的比值之间的关系,培养学生通过观察,猜想,由特殊到一般归纳得出结论的能力和化未知为已知的解决问题的能力。
3.情感、态度与价值观:
面向全体学生,创造平等的教学氛围,通过学生之
间、师生之间的交流、合作和评价,调动学生的主动性和积极性,给学生成功的体验,激发学生学习的兴趣。
四、教学重点与难点:
重点:
正弦定理的探索和证明及其基本应用。
难点:
①正弦定理的证明;
②了解已知两边和其中一边的对角解三角形时,解的情况不唯一。
五、学法与教法
,
sinsinsin接着就一般斜三角形进行探索,发现也有这一关系;分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导,让学生发现向量知识的简捷,新颖,培养学生“会观察”、“会类比”、“会分析”、“会论证”的能力。
教法:
运用“发现问题—自主探究—尝试指导—合作交流”的教学模式
(1)新课引入——提出问题,激发学生的求知欲。
(2)掌握正弦定理的推导证明——分类讨论,数形结合,动脑思考,由特殊到一般,组织学生自主探索,获得正弦定理及证明过程。
(3)例题处理——始终从问题出发,层层设疑,让他们在探索中自得知识。
(4)巩固练习——深化对正弦定理的理解。
六、教学过程
创设问题情境:
如图,设a、b两点在河的两岸,要测量两点之间的距离。
测量者在a的同侧,在所在的河岸边选定一点c,测出两点间a、c的距离55m,∠acb=600,∠bac=450求a
、b两点间的距离。
b
学法:
引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系:
a
=
b
=
c
引导学生理清题意,研究设计方案,并画出图形,探索解决问题的方法.启发学生发现问题实质是:
已知△abc中∠a、∠c和ac长度,求ab距离.即:
已知三角形中两角及其夹边,求其它边.
新知探究
1.提出问题:
我们知道,在任意三角形中有大边对大角,小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角关系的准确量化的表示呢?
2.解决问题:
回忆直角三角形中的边角关系:
根据正弦函数的定义有:
sina=
ab
sinb=,sinc=1。
cc
b
经过学生思考、交流、讨论得出:
abc,==
sinasinbsinc
c
a
b
问题1:
这个结论在任意三角形中还成立吗?
(引导学生首先分为两种情况,锐角三角形和钝角三角形,然后按照化未知为已知的思路,构造直角三角形完成证明。
)
①当?
abc是锐角三角形时,设边ab上的高是cd,根据锐角三角函数的定义,有cd=asinb,cd=bsina。
由此,得同理可得故有
a
sina
c
a
sina
=
b
sinb,
bc
sinc=
=
b
sinb=
,ba
d
b
sinb
c
sinc.
从而这个结论在锐角三角形中成立.
②当?
abc是钝角三角形时,过点c作ab边上的高,交ab的延长线于点d,根据锐角三角函数的定义,有cd=asin∠cbd=asin∠abc,cd=bsina。
由此,得同理可得故有
a
sina
a
sina
=
b
sin∠abc,
abd
c
sinc=
=
b
sin∠abc
=
b
sin∠abc
c
sinc.
由①②可知,在?
abc中,
a
sina
=
b
sinb
=
c
sinc
成立.
从而得到:
在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比值相等,即
a
sina
=
b
sinb
=
c
sinc.
这就是我们今天要研究的——正弦定理思考:
你还有其它方法证明正弦定理吗?
(由学生讨论、分析)证明一:
(等积法)在任意斜△abc当中s△abc=absinc=acsinb=bcsina两边同除以abc即得:
1
212
12
12
abc
==sinasinbsinc
证明二:
(外接圆法)
如图所示,∠A=∠D∴a=a=cd=2r
sina
sind
同理
bc
=2r,=2rsinbsinc
证明三:
(向量法)
过a作单位向量垂直于由ac+cb=ab
两边同乘以单位向量得?
(+)=?
则?
+?
=?
∴|j||ac|cos90?
+|j||cb|cos(90?
-c)=|j||ab|cos(90?
-a)∴asinc=csina∴
ac
=sinasinc
cb
=sincsinb
同理,若过c作垂直于得:
∴
abc
==。
sinasinbsinc
正弦定理:
abc
===2r(r是?
abc外接圆的半径)sinasinbsinc
变形:
a:
b:
c=sina:
sinb:
sinc。
接着给出解三角形的概念:
一般地,把三角形的三个角a、b、c和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素,已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做
解
三角形.
问题2:
你能否从方程的角度分析一下,解三角形需要已知三角形中的几个元素?
问题3:
我们利用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题呢?
(1)已知三角形的任意两个角与一边,求其他两边和另一角。
(2)已知三角形的两边与其中一边的对角,计算另一边的对角,进而计算出其他的边和角。
3.应用定理:
例1.应用正弦定理解决提出的求河岸两侧两点间距离问题.题目见创设问题情境,引导学生给出解决方法
例2.
(1)在?
abc中,b=3,b=600,c=1,求a和a,c.
(2)在?
abc中,c=,a=450,a=2,求b和b,c.
bccsinb1?
sin6001
解:
(1)∵=,∴sinc===,
sinbsincb2bc,b=600,∴cb,c为锐角,∴c=300,b=900∴a=2+c2=2(∴c=300或c=1500,而c+b=21001800)
(2)a=c,∴sinc=csina=6?
sin45=3
sinasinca22
csinaac,∴c=600或1200
csinb
∴当c=60时,b=75,b==
sinccsinb
∴当c=1200时,b=150,b==
sinc
6sin750
=+1,0
sin606sin150
=-1
sin600
∴b=+1,b=750,c=600或b=3-1,b=150,c=1200变式训练:
根据已知条件,求解三角形
【篇三:
正弦定理教学设计】
《正弦定理》教学设计
一、教材分析
《正弦定理》是人教版教材必修五第一章《解三角形》的第一节内容,也是
三角形理论中的一个重要内容,与初中学习的三角形的边和角的基本关系有密切
的联系。
在此之前,学生已经学习过了正弦函数和余弦函数,知识储备已足够。
它是后续课程中解三角形的理论依据,也是解决实际生活中许多测量问题的工
具。
因此熟练掌握正弦定理能为接下来学习解三角形打下坚实基础,并能在实际
应用中灵活变通。
二、教学目标
根据上述教材内容分析,考虑到学生已有的认知结构心理特征及原有知识水
平,制定如下教学目标:
知识目标:
理解并掌握正弦定理的证明,运用正弦定理解三角形。
能力目标:
探索正弦定理的证明过程,用归纳法得出结论,并能掌握多种证明方
法。
情感目标:
通过推导得出正弦定理,让学生感受数学公式的整洁对称美和数学的
实际应用价值。
三、教学重难点
教学重点:
正弦定理的内容,正弦定理的证明及基本应用。
教学难点:
正弦定理的探索及证明,已知两边和其中一边的对角解三角形时判断
解的个数。
四、教法分析
依据本节课内容的特点,学生的认识规律,本节知识遵循以教师为主导,以
学生为主体的指导思想,采用与学生共同探索的教学方法,命题教学的发生型模
式,以问题实际为参照对象,激发学生学习数学的好奇心和求知欲,让学生的思
维由问题开始,到猜想的得出,猜想的探究,定理的推导,并逐步得到深化,且
运用例题和习题来强化内容的掌握,突破重难点。
即指导学生掌握“观察——猜
想——证明——应用”这一思维方法。
学生采用自主式、合作式、探讨式的学习
方法,这样能使学生积极参与数学学习活动,培养学生的合作意识和探究精神。
五、教学过程
1、问题情境
有一个旅游景点,为了吸引更多的游客,想在风景区两座相邻的山之间搭建
一条观光索道。
已知一座山a到山脚c的上面斜距离是1500米,在山脚测得两
座山顶之间的夹角是450,在另一座山顶b
300。
求需要建多长的索道?
可将问题数学符号化,抽象成数学图形。
即已知,∠c=450,∠b=300。
求ab=?
此题可运用做辅助线bc边上的高来间接求解得出。
提问:
有没有根据已提供的数据,直接一步就能解出来的方法?
思考:
我们知道,在任意三角形中有大边对大角,小边对小角的边角关系。
那我们能不能得到关于边、角关系准确量化的表示呢?
2、归纳命题
我们从特殊的三角形
在如图rt三角形abc
a
=
sina,c
b=sin
b
.cab==c.所以,sinasinb
又sinc=1,所以abc==.sinasinbsinc
在直角三角形中,得出这一关系。
那么,对于一般的三角形,以上关系式是否仍然成立呢?
3、命题证明
首先考虑锐角三角形,要找到边与角正弦之间的关系,就要找到桥梁,那就是构造出直角三角形——作高线。
a
作ab上的高cd,根据三角函数的定义,cd=asinb,
cd=bsina,
所以,asinb=bsina.
bc=.sinbsinc
abc==于是在锐角三角形中,也成立。
sinasinbsinc
当?
abc是钝角三角形时,以上等式仍然成立吗?
同理,在?
abc中,
c
dacb
由学生类比锐角三角形的证明方法,同样可以得出。
于是,从以上的讨论和探究,得出定理:
正弦定理(lawsofsines)在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即
abc==sinasinbsinc
分析此关系式的形式和结构,一方面便于学生理解和识记,另一方面,让学生去感受数学的间接美和对称美。
正弦定理描述了任意三角形中边与角的一种数量关系。
我们把三角形的三边和三个角叫做三角形的元素,已知几个元素求其他元素的过程叫解三角形。
分析正弦定理的应用范围,定理形式可知,如果已知三角形的两角和一边,或者已知两边和其中一边所对的角,都可以解出这个三角形。
4、命题应用
讲解书本上两个例题:
边长精确到1cm)。
例1简单,结果为唯一解。
总结:
如果已知三角形两角两角所夹的边,以及已知两角和其中一角的对边,都可利用正弦定理来解三角形。
例2较难,使学生明确,利用正弦定理求角有两种可能。
要求学生熟悉掌握已知两边和其中一边的对角时解三角形的各种情形。
接着回到课堂引入未解决的实际问题。
在△abc中,已知ac=1500m,∠c=450,∠b=300。
求ab=?
b
a
在已经学习过正弦定理和例1例2的运用之后,此题就显得非常简单。
接着,课堂练习,让学习自己运用正弦定理解题。
1.在△abc中,已知下列条件,解三角形(角度精确到10,边长精确到1cm):
2.在△abc中,已知下列条件,解三角形(角度精确到10,边长精确到1cm):
学生板演,老师巡视,及时发现问题,并解答。
5、形成命题域、命题系
开始我们运用分类讨论平面几何三角形的情况证明了正弦定理。
那么正弦定理的证明还有没有其他的证法?
学生可以自主思考,也可以合作探究。
学生思考出来就更好,如果没有思考出来,提示两种方法
(1)几何法,作三角形的外接圆;
(2)向量法。
先让学生思考。
结束后,重点和学生一起讨论几何法,作外接圆的证法。
一方面是让学生体会到证明方法的多样,进行发散性思维,但更主要的是为了得出abc===2r。
即得正弦定理中这一比值等于外接圆半径的2倍的结sinasinbsinc
论,让学生能更深刻地理解到这一定理的,也方便以后的解题。
而提到的向量法,则让学生课后自己思考,可以查阅资料证明。
c
六、课堂小结与反思
这节课我们学到了什么?
(正弦定理的形式?
正弦定理的适应范围?
正弦定理的证明方法?
)
1、我们从直角、锐角、钝角三类三角形出发,运用分类的方法通过猜想、abc==证明得到了正弦定理,它揭示了任意三角形边和其所对的角sinasinbsinc
的正弦值的关系。
2、运用正弦定理解决了我们所要解决的实际问题。
在解三角形中,若已知两角和一边,或者已知两边和其中一边所对的角可以用正弦定理来解决。
但在第二种情况下,运用正弦定理需要考虑多解的情况。
3、正弦定理的证明还可以运用向量法和作三角形的外接圆来证明。
其中通过作外接圆可以得到a
sina=b
sinb=c
sinc=2r.这是对正弦定理的补充。
七、作业布置
教材第10页,习题1.1,a组第一题、第二题。
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- 正弦 定理 应用 教案