一元一次方程.docx
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一元一次方程
一元一次方程
一,方程的有关概念
1.等式,用等号来表示相等关系的式子叫做等式。
2.等式的性质。
A.等式两边同时加或减同一个数(或同一个式子),结果仍然相等。
即,a=b那么a
c=b
c。
B.等式两边同时乘以或除以一个不为0的数,结果仍相等,即如果a=b(c≠0),那么a/c=b/c
【例题1】4a-11=5那么4a=5+()
ax+by=-c,那么ax=-c=()
3.含有未知数的等式叫做方程.
A方程必须是一个等式
B方程中必须有一个待定的数,即未知的字母,这个字母就是未知数.
[例题2]判断下列语句的对错.
1.方程一定是等式.()
2.等式一定是方程.()
3.含有未知数的式子是方程.()
4.含有未知数的等式一定是方程.()
二,解一元一次方程.
1.一元一次方程
A定义:
只含有一个未知数,未知数的次数都是1,等号两边都是整式,这样的方程叫做一元一次方程.
2.一元一次方程的标准形式.
ax+b=0,其中x是未知数,a,b是已知数,(并且a
0,)
[例题]:
下列方程中,哪些是一元一次方程?
A,5+4x=11b,2x+y=5c,2-x/x=3d,y-1/2+y/3=1
3.移项:
(把等式一边的某项变号后移到另一边,移项必须改边符号)
4.去括号与去分母。
当方程含有2个以上不同分母时,利用等式的性质2,同时乘以分母的最小公倍数。
当分母含有小数时,需要把分母化整(只和该项有关)。
【例题】
方法清单
1.一元一次方程概念的应用。
原方程为一元一次方程,即未知数的次数为1,系数不为0.由此来确定原方程中待定字母的值。
【例题】2xm-2+1=2是关于x的一元一次方程,则m=()
2.利用去分母解方程。
(方程的两边同时乘各分母的最小公倍数,将分母去掉,把系数为分数的方程转化为系数为整数的方程。
【例题】
,求x。
3.含小数的一元一次方程的解法。
(将小数化为整数,是根据分数的基本性质把含小数的项的分子,分母同乘一个适当的数,而不是方程所有的项都乘这个数)
【例题】
,求x。
【课堂练习】
1.已知关于x的方程a(2x-1)=3x-2无解,则a的值是______.
2.x=1是方程kx-1=0的解,则k=______.
3.方程x-(2x-a)=2的解是正数,则a的取值范围是______.
4.关于x的方程ax-4x-2=0(a≠4)的解是______.
5.
(1)4(2x-3)-(5x-1)=7
(2)
-
=-2
(3)2x-
[x-
(x-1)]=
(x-1)
(4)
=1+
(5)4-x=3(2-x)
(6)
-
=
-1.
列一元一次方程解应用题
∙列一元一次方程解应用题的一般步骤:
列方程(组)解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。
其具体步骤是:
⑴审题:
理解题意。
弄清问题中已知量是什么,未知量是什么,问题给出和涉及的相等关系是什么。
⑵设元(未知数):
找出等量关系:
找出能够表示本题含义的相等关系;
①直接未知数:
设出未知数,列出方程:
设出未知数后,表示出有关的含字母的式子,然后利用已找出的等量关系列出方程;
②间接未知数(往往二者兼用)。
一般来说,未知数越多,方程越易列,但越难解。
⑶用含未知数的代数式表示相关的量。
⑷寻找相等关系(有的由题目给出,有的由该问题所涉及的等量关系给出),列方程。
一般地,未知数个数与方程个数是相同的。
⑸解方程及检验。
⑹答题。
综上所述,列方程(组)解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题(设元、列方程),在由数学问题的解决而导致实际问题的解决(列方程、写出答案)。
在这个过程中,列方程起着承前启后的作用。
因此,列方程是解应用题的关键。
∙一元一次方程应用题型及技巧:
列方程解应用题的几种常见类型及解题技巧:
(1)和差倍分问题:
①倍数关系:
通过关键词语“是几倍,增加几倍,增加到几倍,增加百分之几,增长率……”来体现。
②多少关系:
通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现。
③基本数量关系:
增长量=原有量×增长率,现在量=原有量+增长量。
(2)行程问题:
基本数量关系:
路程=速度×时间,时间=路程÷速度,速度=路程÷时间,
路程=速度×时间。
①相遇问题:
快行距+慢行距=原距;
②追及问题:
快行距-慢行距=原距;
③航行问题:
顺水(风)速度=静水(风)速度+水流(风)速度,
逆水(风)速度=静水(风)速度-水流(风)速度
例:
甲、乙两站相距480公里,一列慢车从甲站开出,每小时行90公里,一列快车从乙站开出,每小时行140公里。
慢车先开出1小时,快车再开。
两车相向而行。
问快车开出多少小时后两车相遇?
两车同时开出,相背而行多少小时后两车相距600公里?
两车同时开出,慢车在快车后面同向而行,多少小时后快车与慢车相距600公里?
两车同时开出同向而行,快车在慢车的后面,多少小时后快车追上慢车?
慢车开出1小时后两车同向而行,快车在慢车后面,快车开出后多少小时追上慢车?
(此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义,弄清行驶过程。
)
例:
一艘船在两个码头之间航行,水流速度是3千米每小时,顺水航行需要2小时,逆水航行需要3小时,求两码头的之间的距离?
(3)劳力分配问题:
抓住劳力调配后,从甲处人数与乙处人数之间的关系来考虑。
这类问题要搞清人数的变化。
例.某厂一车间有64人,二车间有56人。
现因工作需要,要求第一车间人数是第二车间人数的一半。
问需从第一车间调多少人到第二车间?
(4)工程问题:
三个基本量:
工作量、工作时间、工作效率;
其基本关系为:
工作量=工作效率×工作时间;相关关系:
各部分工作量之和为1。
例:
一件工程,甲独做需15天完成,乙独做需12天完成,现先由甲、乙合作3天后,甲有其他任务,剩下工程由乙单独完成,问乙还要几天才能完成全部工程?
(5)利润问题:
基本关系:
①商品利润=商品售价-商品进价;
②商品利润率=商品利润/商品进价×100%;
③商品销售额=商品销售价×商品销售量;
④商品的销售利润=(销售价-成本价)×销售量。
⑤商品售价=商品标价×折扣率例.
例:
一家商店将某种服装按进价提高40%后标价,又以8折优惠卖出,结果每件仍获利15元,这种服装每件的进价是多少?
(6)数字问题:
一般可设个位数字为a,十位数字为b,百位数字为c,十位数可表示为10b+a,百位数可表示为100c+10b+a,然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程。
数字问题中一些表示:
两个连续整数之间的关系,较大的比较小的大1;
偶数用2n表示,连续的偶数用2n+2或2n—2表示;奇数用2n+1或2n—1表示。
例:
有一个三位数,个位数字为百位数字的2倍,十位数字比百位数字大1,若将此数个位与百位顺序对调(个位变百位)所得的新数比原数的2倍少49,求原数。
(7)盈亏问题:
“盈”表示分配中的多余情况;“亏”表示不足或缺少部分。
(8)储蓄问题:
其数量关系是:
利息=本金×利率×存期;:
(注意:
利息税)。
本息=本金+利息,利息税=利息×利息税率。
注意利率有日利率、月利率和年利率,年利率=月利率×12=日利率×365。
(9)溶液配制问题:
其基本数量关系是:
溶液质量=溶质质量+溶剂质量;
溶质质量=溶液中所含溶质的质量分数。
这类问题常根据配制前后的溶质质量或溶剂质量找等量关系,分析时可采用列表的方法来帮助理解题意。
(10)比例分配问题:
这类问题的一般思路为:
设其中一份为x,利用已知的比,写出相应的代数式。
常用等量关系:
各部分之和=总量。
还有劳力调配问题、配套问题、年龄问题、比赛积分问题、增长率问题等都会有涉及。
课后练习
1.甲、乙两地相距189千米,一列快车从甲地开往乙地每小时行72千米,一列慢车从乙地去甲,每小时行54千米。
若两车同时发车,几小时后两车相距31.5千米?
2.甲、乙两地相距300千米,甲车从A地出发24千米后,乙车才从B地相向而行。
已知甲车每小时行40千米,乙车每小时行52千米,若甲车是上午8时出发,两车相遇时是几时几分?
3.已知甲,乙两地相距290千米,现有一汽车以每小时40千米的速度从甲地开往乙地,出发30分钟后,另有一辆摩托车以每小时50米的速度从乙地开往甲地.问摩托车出发后几小时与汽车相遇?
4.甲、乙两人分别从A、B两地同时出发,相向而行,2小时相遇。
如果甲从A地,乙从B地同时出发,同向而行,那么4小时后甲追上乙。
已知甲速度是15千米/时,求乙的速度。
5.一架飞机在两城之间飞行,风速为24千米/小时,顺风飞行需2小时50分,逆风飞行需要3小时。
求两城之间的距离。
6.某人在规定时间内从乡政府赶到县城,如果每小时走4.5千米,那么迟到20分钟;如果每小时走6千米,那么提前1小时到达。
求乡政府到县城的距离。
7.一商店将每台彩电先按进价提高40%标出售价,然后在广告中宣传将以八折的优惠价出售,结果每台赚了300元,那么每台彩电的进价是多少元?
8.某商场在元旦期间,开展商品促销活动,将某型号的电视机按进价提高35%后,打9折另送50元路费的方式销售,结果每台电视机还可获利208元,问每台电视机的进价是多少元?
9.小圆柱的直径是8厘米,高6厘米,大圆柱的直径是10厘米,并且它的体积是小圆柱体体积的2.5倍,那么大圆柱的高是多少?
10.将一个底面直径是10厘米、高为36厘米的“瘦长”形圆柱锻压成底面直径为20厘米的“矮胖”形圆柱,高变成了多少?
小明存入100元人民币,存期一年,年利率为2%,到期应缴纳所获利息的20%的利息税,那么小明存款到期交利息税后共得款
11.小明的爸爸向银行贷了一笔款,商定两年归还,贷款年利率为6%,他用这笔款够入一批货物,以高于进价的37%出售,经过2年的时间售完,用所得收入还清贷款本息,还剩4万元,问2年前小明的爸爸贷款的金额是多少?
12.某小组计划做一批“中国结”,如果每人做5个,那么比计划多了9个;如果每人做4个,那么比计划少了15个,小组成员共有多少名?
他们计划做多少个“中国结”?
13.某文艺团体组织了一场义演为“希望工程”募捐,共售出1000张门票,已知成人票每张8元,学生票每张5元,共得票款6950元,成人票和学生票各几张?
14.甲、乙两个家具厂生产同一规格的单人课桌、椅,甲可以生产1800张桌子,乙可以生产1500个椅子一共可生产1500套课桌椅。
现在两厂联合生产,经过合理安排,尽量发挥各自特长。
现在两厂每月比过去可多生产课桌椅多少套?
15..建筑工地要运122吨水泥,用一辆载重4吨的汽车运了18次后,余下的用一辆载重2.5吨的汽车运,还要运多少次?
16.有一些相同的房间需要粉刷墙面,一天3名一级技工去粉刷8个房间,结果其中有50平方米墙面未来得及刷;同样时间内5名二级技工粉刷了10个房间之外,还多刷了另外的40平方米墙面。
每名一级技工比二级技工多刷10平方米墙面,求每个房间需要粉刷的墙面面积。
17.ab两地相距31千米,甲从a地骑自行车去b地一小时后乙骑摩托车也从a地去b地已知甲每小时行12千米乙每小时行28千米问乙出发后多少小时追上甲?
设乙出发x小时后追上甲,列方程
18.学校买回315棵树苗,计划按3∶4分给中、高年级种植,高年级比中年级多植树多少棵?
19..三、四、五年级共植树180棵,三、四、五年级植树的棵树比是3∶5∶7。
那么三个年级各植树多少棵?
20.一个三位数,百位上的数字比十位上的数字大1,个位上的数字比十位上的数字的3倍少2,若将三个数字顺序颠倒后,所得的三位数与原三位数的和是1171,求这个三位数.
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