高数二重积分习题解答.docx
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高数二重积分习题解答
第9章重积分及其应用
1.用二重积分表示下列立体的体积:
(1)上半球体:
{(x,y,z)|x2+y2+z2R2;z>0};
⑵由抛物liiz=2-x2-y2,柱而xOyM及xOy平而所围成的空间立体解答:
(1)V=jf7R2-x2-y2dxdy,D={(x,y)|x2+y2 D (2)V=j|(2-x2-y2)dxdy,D={(x,y)|x2+y2<1} D 所属章节: 第九章第一节 难度: 一级 2.根据二重积分的几何意义,确定下列积分的值: (1)其中D为x^y2 D (2)jj(b-y/x2+y2)dcr,其中D为x^y2 D 解答: (1) JJ^a2-x2-y2dcr=—zrad3 所属章节: 难度: 一级 jj(b_Jx,+y,)d b--na3d3 第九章第一节 3.一带电薄板位于xOy平面上,占有闭区域D,薄板上电荷分布的面密度为〃=“(x,y),且“(X,力在D上连续,试用二重积分表示该板上的全部电荷Q. 解答: Q=JJ//(x,y)da D 所属章节: 第九章第一节 难度: 一级 4.将一平面薄板铅直浸没于水中,取x轴铅直向下,y轴位于水平面上,并设薄板占有xOy平面上的闭区域D,试用二重积分表示薄板的一侧所受到的水压力 解答: p二Qgjjxdb D 所属章节,第九章第一节 难度: 一级 5.利用二重积分性质,比较下列各组二重积分的大小 ⑴Ij=jj(x+y)2dcr与l2=JJ(x+y)'db,其中D是由x轴,y轴及直线x+尸1所用成的区域: DD ⑵I]=jjln(x+y+l)db与I]=111(x2+y2+l)db,其中D是矩形区域: 0 DD ⑶I]=jjsin'(x+y)db与I》=JJ(x+y)'db,其中D是任一半面有界闭区域; DD ⑷Ij=JJe^dcr与l2=JJe*db,其中D是矩形区域: -l DD 解答: (1)在区域D内部,x+yvl,所以Ii>I2; (2)在区域D内部,x ? (3)由于sin2(x+y)v(x+y),,所以Ii (4)在区域D内部,xy<0,故e5"->e2x>,,所以IQR 所属章节: 第九章第一节 难度: 一级 6.利用二重积分性质,估计下列二重积分的值 “险点^D={(x,y)|Oggy劭 I=jjsin(x2+y2)dcr,D=^(x,y)| "叭00+cJx+E严亠{(")l|x|+|y|6 I=JJex*"ydcr,D={(x,y)|x,+y,<£ 解答: (1)由于D={(x,y)|0 lnl6ln(4+x+y)ln4 而等号不恒成立,故— ln21112 ⑵由于D=((X,y)|- 44I22 ⑶由于D={(x,y)||x|+|y| 102100+cos~x+cos-y100 不恒成立,故丄vlv丄: 5150 注: 原题有误? 还是原参考答案有误? 如将D={(x,y)||x|+|y| D={(x,y)|>|刃,则区域面积为200,结论为—<1<2 51 ⑷由于D=^(x,y)|x2+y2的而积为£兀,在其中1 1 .,JrTzre4 故一vl<——• 44 所属章节: 第九章第一节 难度: 二级 解答: 先用积分中值定理,再利用函数的连续性,即得 limAfff(x,y)db=lim丄f(f,〃)b=limf(§,〃)=f(0,0).ME宀%』MK3 所属章节: 第九章第一节 难度: 二级&设f(x,y)在有界闭区域D上非负连续,证明: ⑴若我x,y)不恒为零,则||f(x,y)db>0; D ⑵若JJf(x,y)dcr=0,则f(x,y)三0D 解答: (1)若Rx,y)不恒为零,则存在(Xo,yo)6D,f(Xo,yo)>O,利用连续函数的保号性,存在(氏,%)的一个邻域puD,在其上恒有f(x,y)>0,于是Jjf(x,y)d">,而 jjf(x,y)(t>,所以Jjf(x,y)dcr=jjf(x,y)dcr+jjf(x,y)dcr>0; D-qDRD-R ⑵假若Qx,y)不恒为零,则由上题知f(x,y)dcr>0,矛盾,故f(x,y)三0・ 所属章节: 第九章第一节难度: 一级 (3) ffxye'-do-=J;dxj;xye^)dy=J^-(ex-l)dx=-|-1D2~ (4)JJx2ysi^xy2)db=/dxjjx2ysii^xy2)dy=£2—(x-xcos4x)dx=——r>216 (5)xda=£dyfxdx=fi|. 所属章节: 第九章第二节难度: 一级 10.画出下列各题中给出的区域D,并将二重积分JJf(x,y)do-化为两种次序不同的二次积分: D (1)D由曲线尸lnx,直线x=2及x轴所围成; (2)D由抛物线尸X2与直线2x+尸3所用成; (3)D由y=Q及尸siiix(O (4)D由曲线尸丘,尸x所围成: (5)D由直线y=0,y=l,y=x,尸x-2所围成 解答: 本题图略,建议画出 ⑴I血丿二f(&丫川丫=J: dyj;f(x,y)dx: M anx「1冲一arcsiny f(x,y)dy=jodyLyf(x,y)dx; ⑷ 注: 原题有误? 还是原参考答案有误? 如将“D由曲线尸x3,尸x所围成”改为“D由曲线 y=x3,y=l,x=-l所围成”,则答案为原参考答案 J: 空(;f(凡y)dy=J: dyff(x,y)dx: ⑸JoMof(兀刃⑪+』^Jof(兀刃⑪+f时: 我仪刃⑪=J;f(人y)dx 所属章节: 第九章第二节难度: 一级 11・计算下列二重积分: ⑴JJ^dcr,D由曲线戸2,y=x,xy=l所围成; dy (2)JJxcos(x+y)dxdy.D由点(0,0),(7T,0),(7i,兀)为顶点的三角形区域: D ⑶||Xyfyda»D由抛物线y=丘和丫=丘围成: D ⑷JJxydxdy,D由抛物线y^x与直线尸x_2所围成; D 、 (5)||sin—dcr,D由直线尸x,尸2和曲线py3所围成 d\y/ 解答: (1)JJ*db=『dxfy=f(x—x)dx=专; jjxcos(x+y)dxdy=£dxj;xcos(x+y)dy=£(xsin2x-xsinx)dx=-—;D2 ⑶Jjx7yda=^dxj^x7ydy=j(;|(x: r-x4)dx=^; jjxydxdy=J[dy]xydx=J[—y(y2+4y+4-y4)dx=—d_旷_28 jjsin(—)dcr=『dy『sin(—)dx=[(ycos1一ycosy^dy=38“+血1__ 12.画出下列各题中的积分区域,并交换积分次序(假定Rx,y)在积分区域上连续): (1)fdyff(x,y)dx; ⑵f(兀y)dy+『dxj;xf(x,y)dy: ⑶'f(x,y)dx: ⑷加禮心刃切 (5)J;dx£jf(x,y)dy (6)f(x,y)dx 解答: 木题图略,建议画出 (1)二血匸f(耳y)dy; (2)J^dyP'f(x,y)dx; 匚时: f区刃切J&J;f仪刃切 ⑷Jodyj;Ef(兀刃血+J;dyj陽f(x,y)dx+J: dyj仟f(x,y)dx;(5)J: dyjJf(x,y)dx+J;dyF7f(x,y)dx; (6) fMo"f(爼y)w+J: eJFf(兀『畸 所属章节: 第九章第二节难度: 一级 13・计算下列二次积分: ⑴J;dyJ;7r7dx; (2)何「%; £dx|2y2siii(xy)dy: W : cosxVl+cos2xdx; Mcsiny (6)fdxj;si唠dy+J: dxJ;sin釜dy 解答: (1)J;dyJ;3Jl-x,dx=J;dxJ: Jl-x"dy=J;x,Jl-x4dx=右;f,dy=J: dyjJe"dxye"dy=£(1-ej; G) (6) 1? dy『dx=fdxXdy=£2sillxdx=1; J,dx|2y2sin(xy)dy=dyjj2y2sin(xy)dx[2y-2ycos(y2)]dy=4-sin4: £dyj2$cosxjl+cos,xdx=£2dx£cosxjl+cos'xdy=£2sinxcosxjl+cos11xdx 『2fx.f4f2.龙x」f2・7TX2f2n.8+4^- I呵&沁看dy+LdxJf石dy=[dyj,sm-dx=--jiycos-ydy=— 所属章节: 第九章第二节难度: 二级 14.利用积分区域的对称性和被积函数关于x或y的奇偶性,计算下列二重积分: (1)jj|xy|do-,D: x2+y2 D (2)jj(x2tanx+y3+4)dxdy,D: x2+y2<4; D (3)jj(1+x+x2)arcsin—der,D: (x-R)2+y2 DR ⑷JJ(|x|+|y|)dxdy,D: |x|+|y| D 解答: (1)设D^x'+y2WR,,xnO,ynO,则 /rr4 jj|xyldb=4皿xy|da=4£2d£r3sin0cos^dr=—DD°°2 (2)jj(x2tanx+y3+4)dxdy=jj4dxdy=16^: DD (3)由于积分区域关于X对称,被积函数是关于y的奇函数,故JJ(1+x-bx2)arcsin—dcr=O: DR (4)®: x+y<1,x>0,y>0,则 Jj(|x|4-1y|)dxdy=2jj|xdxdy=8JJxdxdy=8『dxf%xdy= DDR 所属章节: 第九章第二节 难度: 二级 15・利用极坐标化二重积分Jjf(x,y)d(r为二次积分,其中积分区域D为: D (1)Dix-^+y2 (2)D: l (3)D: 0 (4)D: x2+y2<2(x+y) (5)DdxWx'+y2S4 解答: (1)『罰肝。 0"f(rcos8,Tsin&)Tdr: 2 J。 d&Jf(rcos0,rsin0rdi' "4 f(rcossiii0rdi-: J;d&J&f(rcos&,rsin0rdi'+J,df(rcosrsin0rdi* 55 所属章节: 第九章第二节难度: 一级 16.利用极坐标计算下列二重积分: (1)JJjRZ—x'—bdxdy’Dix'+y2 D (2)jj(x24-rJdxd^D: (x2+y2)2^a2(x2-y2): D (3)aictan—dxdy,D: 1 DX JJxdxdy.D: x2+y2>2,x24-y2<2x;D 一y arcun— [J! _d(7,D: 1 d収+y2 (6) J'x'+y^dxdy,D: 第一象限中由圆x2+y2=2y,x2+y2=4y及直线x=>/Ty,y=JJx所D 围成. 解答: JJ-ic-ydxdy=Jr? -Frdr=j;r-R3(l-sin30)(X0=-R3(^--); D-2 JJ(x2+y2)dxdy=°'^r3dr=a4jjcos22^d^=—a4; d000* JJaictaii—dxdy=J;处dr=齐~ (4)jjxdxdy=Fd&U&r,cos&dr=(-cos40-cos0)60=— d~47332 注: 本小题与第9大题第(5)小题相同. *>5L =jjd&[e&dr=G-e了 17. 设r,&为极坐标,在下列积分中交换积分次序: (•—pacosd Rd牡f(r,^)dr(a>0); "5 fd&J;7^f(r,O)dr(a>0);J。 d&J。
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