二重积分部分练习题.docx
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二重积分部分练习题.docx
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二重积分部分练习题
题目部分,(卷面共有100题,405.0分,各大题标有题量和总分)一、选择(16小题,共53.0分)(2分)[1]
(3分)[2]二重积分xydxdy(其中D:
0≤y≤x,0≤x≤1)的值为D
(A)1(B)1(C)1(D)1
61224
答()(3分)[3]若区域D为0≤y≤x2,|x|≤2,则xy2dxdy=
D
A)0;(B)32(C)64(D)256
33
答()
f是区域D:
|x|+|y|
(3分)[4]设D1是由ox轴,oy轴及直线x+y=1所圈成的有界闭域,≤1上的连续函数,则二重积分
f(x2,y2)dxdyf(x2,y2)dxdy
DD1
(A)2(B)4(C)8(D)1
2
答()
(3分)[5]设f(x,y)是连续函数,则二次积分
1y12y21
(A)0dy1f(x,y)dx1dy1f(x,y)dx
1y1
(B)0dy1f(x,y)dx
精心整理
次积分为
0x20x2
(A)1dxxf(x,y)dy(B)1dxxf(x,y)dy1y21y2
(C)0dyyf(x,y)dx(D)0dyyf(x,y)dx答()
(3分)[7]设f(x,y)为连续函数,则二次积分1dy132yf(x,y)dx可交换积分次序为02y
12x33x
(A)0dx0f(x,y)dy1dx0f(x,y)dy
12x2133x2
(B)02dx0f(x,y)dy1dx0f(x,y)dy2dx0f(x,y)dy
002020
13x2
(C)0dx2xf(x,y)dy
(D)2d2cosf(rcos,rsin)rdr
0sin2
答()
(3分)[8]设f(x,y)为连续函数,则积分可交换积分次序为
1y22y
(A)0dy0f(x,y)dx1dy0f(x,y)dx
2
1x222x
(B)0dy0f(x,y)dx1dy0f(x,y)dx
12y
(C)0dyyf(x,y)dx
12x
(D)0dyx2f(x,y)dx
0x
答()
(4分)[9]若区域D为(x-1)2+y2≤1,则二重积分f(x,y)dxdy化成累次积分为
D
2cos2cos
(A)0d0F(r,)dr(B)d0F(r,)dr
2cos2cos
(C)2d0F(r,)dr(D)202d0F(r,)dr
2
其中F(r,θ)=f(rcosθ,rsinθ)r.精心整理
精心整理
答()
(3分)[10]若区域D为x+y2≤2x,则二重积分(xy)x2y2dxdy化成累次积分为
D
2cos
(A)2d(cossin)2rcosrdr
2
2cos3
(B)(cossin)drdr
2cos
(C)2(cossin)drdr
2cos
(D)2(cossin)dr3dr
20
答()
(4分)[11]设I1[ln(xy)]dxdy,I2(xy)7dxdy,I3sin7(xy)dxdy其中D是由
DDD
x=0,y=0,xy1,x+y=1所围成的区域,则I1,I2,I3的大小顺序是(A)I1 (C)I1 答() (5分)[12]设Id2xdy2,则I满足 xy11cosxsiny 精心整理 (3分)[14]设有界闭域D1与D2关于oy轴对称,且D1∩D2=,f(x,y)是定义在D1∪D2上的连续函数,则二重积分 (A)2f(x2,y)dxdy(B)4f(x2,y)dxdy D1D2 212 (C)4f(x2,y)dxdy(D)2f(x2,y)dxdy D12D2 答() (3分)[15]若区域D为|x|≤1,|y|≤1,则xecos(xy)sin(xy)dxdy D -1 (A)e;(B)e-1; (C)0;(D)π. 答() (4分)[16]设D: x2+y2≤a2(a>0),当a=时,a2x2y2dxdy. D 3331 (C)4(D)2 答() 二、填空(6小题,共21.0分) (4分)[1]设函数f(x,y)在有界闭区域D上有界,把D任意分成n个小区域Δσi(i=1,2,⋯,n),在每一个小区域Δσi任意选取一点(ξi,ηi),如果极限 n lim0f(i,i)i(其中入是Δσi(i=1,2,⋯,n)的最大直径)存在,则称此极限值为 的二重积分。 (4分)[2]若D是以(0,0),(1,0)及(0,1)为顶点的三角形区域,由二重积分的几何意义知(1xy)=. D (3分)[3]设D: 0ya2x2,0x0,由二重积分的几何意义知精心整理 精心整理 a2x2y2dxdy. D (3分)[4]设D: x2+y2≤4,y≥0,则二重积分 sin(x3y2)d。 D (4分)[5]设区域D是x2+y2≤1与x2+y2≤2x的公共部分,试写出f(x,y)dxdy在极坐标 D 系下先对r积分的累次积分_3d2cosF(r,)dr3d1F(r,)dr2d2cosF(r,)dr_. 20303 (3分)[6]设D: 0≤x≤1,0≤y≤2(1-x),由二重积分的几何意义知 三、计算(78小题,共331.0分) (3分)[1]设f(x,y)为连续函数,交换二次积分的积分次序。 (3分)[2]设f(x,y)为连续函数,交换二次积分的积分次序。 (3分)[3]设f(x,y)为连续函数,交换二次积分的积分次序。 (3分)[4]设f(x,y)为连续函数,交换二次积分的积分次序。 (4分)[5]计算二重积分其中D: 0≤y≤sinx,0≤x≤π. (3分)[6]计算二重积分 其中D是由曲线y=x2,直线y=0,x=2所围成区域 (3分)[7]计算二重积分 其中D为由y=x,y=2x,x=4所围成的区域。 精心整理 精心整理 (3分)[8]计算二重积分其中D: x≤y≤x,1≤x≤2. (3分)[9]计算二重积分 其中D是由直线x=0,y=π和y=x围成的区域。 (4分)[10]计算二重积分 其中D是由直线y=x,y=x+1,y=1及y=3所围成的区域。 (3分)[11]计算二重积分 其中D: 0x,1y1 4 (3分)[12]计算二重积分 其中D为由y=x,x=0,y=1所围成的区域。 (3分)[13]计算二重积分 其中D是由直线y=x,y=5x及x=1所围成的区域。 (3分)[14]计算二重积分 其中D是由双曲线y1,直线y=x及x=2所围成的区域x (3分)[15]计算二重积分 其中D是由直线y=2x,y=x,x=2及x=4所围成的区域。 (3分)[16]计算二重积分其中D: |x|+|y|≤1. (3分)[17]计算二重积分其中D: |x|+|y|≤1. (4分)[18]计算二重积分其中D: 1yx,1x2 x (4分)[19]计算二重积分精心整理 精心整理 其中D是由直线y=x,y=x+a,y=a及y=3a(a>0)所围成的区域。 (4分)[20]计算二次积分 (4分)[21]计算二重积分其中D是由y=x,xy=1,x=3所围成的区域。 (4分)[22]计算二重积分其中D是由y=2,y=x,y=2x所围成的区域。 (4分)[23]计算二重积分 其中D是由曲线x1y,y=1-x及y=1所围成的区域。 (4分)[24]计算二重积分 其中D是由y=x,y=0,x=1所围成的区域。 (4分)[25]计算二重积分其中D为与x=0所围成的区域。 (4分)[26]计算二重积分 其中D是由抛物线y21x2及直线y=x+4所围成的区域。 (4分)[27]计算二重积分其中D为由y=x,y=0,x=1所围成的区域。 (4分)[28]计算二重积分其中D是由曲线xy=1,y=x2与直线x=2所围成的区域。 (5分)[29]计算二重积分 其中D是由x=0,y2,y=x所围成的区域。 (4分)[30]计算二重积分其中D: 0≤y≤sinx,. 精心整理 精心整理 (5分)[31]计算二重积分其中D: 0≤y≤2. (4分)[32]计算二重积分 其中D是由抛物线yx及y=x2所围成的区域。 (4分)[33]计算二重积分 22 其中D: x2y21 a2b2 (4分)[34]计算二重积分 其中D: 2xy11x2,0x1 (5分)[35]计算二重积分 其中D: acosra,0(a0) 2 24x2 (4分)[36]利用极坐标计算二次积分2dx0x2y2dy (5分)[37]利用极坐标计算二重积分其中D: 1≤x2+y2≤4,y≥0,y≤x. (4分)[38]利用极坐标计算二重积分 其中D: a2≤x2+y2≤1,x≥0,y≥0,a>0,x=0处广义。 (5分)[39]试求函数f(x,y)=2x+y在由坐标轴与直线x+y=3所围成三角形内的平均值。 (6分)[40]试求函数f(x,y)=x+6y在由直线y=x,y=5x和x=1所围成三角形内的平均值。 (4分)[41]由二重积分的几何意义,求 (4分)[42]计算二重积分其中D: x2+y2≤2及x≥y2. 原式= 精心整理 其中D是第一象限中由y=x和y=x3所围成的区域。 (4分)[44]计算二重积分 其中D: x2+(y-1)2≥1,x2+(y-2)2≤4,y≤2,x≥0. (5分)[45]计算二重积分 其中D: x2+y2≤5,x-1≥y2. (5分)[46]计算二重积分 其中D是由(x-2)2+y2=1的上半圆和x轴所围成的区域 (4分)[47]计算二重积分 其中D是由直线x=0,y=1及y=x所围成的区域。 (3分)[48]计算二重积分 其中D: x2+y2≤R2. (5分)[49]计算二重积分 x2 其中区域D1x2,xyx 2 (4分)[50]计算二重积分 其中D是由直线x=2,y=x和双曲线xy=1所围成的区域。 (4分)[51]计算二重积分 其中D: x2+y2≤a2,y≥0. (5分)[52]计算二重积分 22 其中D: x2y21 ab (5分)[53]计算二重积分 其中D为由y=0,x=1,y=2x围成的区域。 精心整理 其中D是由y=ln2,y=ln3,x=2,x=4所围成的区域。 (5分)[55]计算二重积分 其中D是由抛物线y2=2px和直线x=p(p>0)所围成的区域。 (6分)[56]计算二重积分 D是由抛物线y=x2和y2=x所围成的区域。 (6分)[57]计算二重积分 其中D是由抛物线y=(x≥1)和直线y=x,y=2所围成的区域。 (5分)[58]计算二重积分 其中D是以O(0,0),A(10,1)和B(1,1)为顶点的三角形区域。 (5分)[59]计算二重积分 其中D是由x=1,y=x3,y=所围成的区域。 (8分)[60]计算二重积分 其中D是以O(0,0),A(1,-1)和B(1,1)为顶点的三角形区域。 (3分)[61]计算二重积分 其中D是由y=x,y=0,x=1所围成的区域。 (4分)[62]计算二重积分 其中D是由y=x2,y=0,x=1所围成的区域。 (5分)[63]计算二重积分 其中D: x2+y2≤4,x≥0,y≥0. (5分)[64]计算二重积分 其中D: x2+y2≥2x,x2+y2≤4x. (5分)[65]计算二重积分 其中D: x2+y2≤2x. 精心整理 精心整理 (4分)[66]利用极坐标计算二重积分其中D: π2≤x2+y2≤4π2(4分)[67]计算二重积分其中D: x2+y2≤1,x≥0,y≥0. (7分)[68]设区域D: x2+y2≤a2(a>0),计算二重积分 当x0,y0 其它点 22ex2y2其中f(x,y)e0 (4分)[69]利用极坐标计算二重积分其中D: x2+y2≤a2,x≥0,y≥0.(a>0) (3分)[70]利用极坐标计算二重积分其中D: 1≤x2+y2≤8. (3分)[71]计算二重积分其中D: x2+y2≤4. (5分)[72]计算二重积分其中D: x2+y2≥1,x2+y2≤2x,y≥0. (5分)[73]计算二重积分xyex2y2d,其中区域D为x2+y2≤1在第一象限部分。 D (5分)[74]将二重积分f(x,y)d化为在极坐标系中先对r积分的累次积分,其中D: 0 D ≤x≤,0≤y≤1. (6分)[75]利用极坐标计算二重积分其中D: x2+y2≤2x,x2+y2≥x. (5分)[76]计算二重积分 其中D: y≤x≤16y2,0≤y≤22,y≥0. (6分)[77]计算二重积分 精心整理 其中D: x2+y2≤R2(R>0),x≥0,y≥0. (5分)[78]利用极坐标计算二重积分 其中D: 1≤x2+y2≤4,x≥0,y≥0. ====================答案====================答案部分,(卷面共有100题,405.0分,各大题标有题量和总分) 一、选择(16小题,共53.0分) (2分)[1][答案] B. (3分)[2][答案] B. (3分)[3][答案] A. (3分)[4][答案] (B). (3分)[5][答案] (C). (3分)[6][答案] C. (3分)[7][答案] B. (3分)[8][答案] C (4分)[9][答案] 精心整理 精心整理 C. (3分)[10][答案] D. (4分)[11][答案] C. (5分)[12][答案] A. (4分)[13][答案] B. (3分)[14][答案](A). (3分)[15][答案] C. (4分)[16][答案]B. 二、填空(6小题,共21.0分) (4分)[1][答案]函数f(x,y)在D上 (4分)[2][答案](3分)[3][答案] 1 πa(3分)[4][答案]0.精心整理 精心整理 (4分)[5][答案] 记F(r,θ)=f(rcosθ,rsinθ)r, (3分)[6][答案] 三、计算(78小题,共331.0分)(3分)[1][答案]原式=0dxxf(x,y)dy1dxxf(x,y)dy (3分)[2][答案] 2y42原式=dy1f(x,y)dxdy1f(x,y)dx 02y22y (3分)[3][答案] 0x2 原式=1dxx22f(x,y)dy (3分)[4][答案] 1ey原式=0dy1yf(x,y)dx (4分)[5][答案]原式(3分)[6][答案]原式 (3分)[7][答案]原式 (3分)[8][答案]原式 (3分)[9][答案]原式 (4分)[10][答案] 精心整理 精心整理 原式 (3分)[11][答案] 原式 (3分)[12][答案] 原式 或解原式 (3分)[13][答案] 原式 (3分)[14][答案] 原式 (3分)[15][答案] 原式 (3分)[16][答案] 原式 (3分)[17][答案] 原式 (4分)[18][答案] 原式 (4分)[19][答案] 原式 (4分)[20][答案]原式 (4分)[21][答案]精心整理 精心整理 原式(4分)[22][答案] 原式 (4分)[23][答案] 原式 (4分)[24][答案] 原式 (4分)[25][答案] 原式 (4分)[26][答案] 原式 (4分)[27][答案] 原式 (4分)[28][答案] 交点为(1,1)2,1(2,4) 2 原式 (5分)[29][答案] 原式 (4分)[30][答案] 原式 (5分)[31][答案] 原式 精心整理 (4分)[32][答案] 交点为(0,0),(1,1) 原式 (4分)[33][答案] 由对称性知,此积分等于D域位于第一象限中的部分D1上积分的4倍,在第一象限|y|=y. 原式 (4分)[34][答案] 原式 (5分)[35][答案] 原式 (4分)[36][答案] 原式 (5分)[37][答案] 原式 (4分)[38][答案] 原式 (5分)[39][答案] 而D的面积=9 2 ∴所求平均值=3. (6分)[40][答案] 精心整理 15x f(x,y)dxdydx(xby)dyD 122 ∵(4x272x2)dx 76 3而D的面积∴所求平均值=122 3 (4分)[41][答案] 原式=1x2y2dxdy x2y21x2y21 (4分)[42][答案] (3分)[43][答案] (4分)[44][答案] (5分)[45][答案]交点为(2,1)与(2,-1)(5分)[46][答案] (4分)[47][答案] (3分)[48][答案]原式=Ry2dyR2y2x3dx ∴积分为零故原式=0. (5分)[49][答案] 精心整理 2xx 1dxx222dy 12xy 2x 原式= 1(arctan)dxarctan1ln8 254 (4分)[50][答案] (4分)[51][答案] (5分)[52][答案] 由对称性知,此积分等于D域位于第一象限中的部分D1上的积分的4倍,在第一象限|x|=x. (5分)[53][答案] (5分)[54][答案] (5分)[55][答案] (6分)[56][答案](6分)[57][答案] (5分)[58][答案] (5分)[59][答案] (8分)[60][答案] (3分)[61][答案] (4分)[62][答案] (5分)[63][答案] (5分)[64][答案](5分)[65][答案] (4分)[66][答案] 精心整理 原式=dsinr2rdr 0 22=π(cosπ2-cos4π2). (4分)[67][答案] (7分)[68][答案] (4分)[69][答案] (3分)[70][答案] (3分)[71][答案] (5分)[72][答案] (5分)[73][答案] (5分)[74][答案] 3secces 原式=6df(rcos,rsin)rdr2df(rcos,rsin)rdr 6 (6分)[75][答案] (5分)[76][答案] (6分)[77][答案] (5分)[78][答案] 用直线xi,yj(i,j=0,1,2,⋯,n-1,n)把矩形D: 0≤x≤1,0≤y≤1分割成一系列小正nn 方形,则二重积分xydxdy D 答()
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