定积分练习题.docx
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定积分练习题.docx
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定积分练习题
题型
1.定积分与极限的计算
2.计算下列定积分
3.计算下列广义积分
内容
一.定积分的概念与性质
1.定积分的定义
2.定积分的性质
3.变上限函数及其导数
4.牛顿—莱布尼茨公式
5.换元积分公式与分部积分公式
6.广义积分
题型
题型I利用定积分定义求极限
题型II比较定积分的大小
题型III利用积分估值定理解题
题型IV关于积分上限函数以及牛顿—莱布尼茨公式问题
题型V定积分的计算
题型VI积分等式证明题型VII积分不等式证明题型VHI广义积分的计算
自测题五
1•根据极限计算定积分
2•根据定积分求导
3•求极限
4•求下列定积分5•证明题
4月21日定积分练习题
基础题:
一•选择题、填空题
1•将和式的
lim
n
123
p1n
p
n-(P
0)表示成定积分
A.Tdx
0x
B.
xpdx
11
C0(;)pdx
D.0(-)pdx
0n
1一
—)表示为定积分
2n
1
A.xdx
0
B.
(X
1)dx
1
C.1dx
0
11
D.dx
02
(
)
21
22
23
A.
3
B.
3
C.
3
5.曲线
ycosx,x
[0,
2
]与坐标周围成的面积
4.1|x24|dx=
011
()
D.
25
3
A.4
B.2
C.
D.3
1
2
x
6.(e
e)dx=
(
)
1
2
1
A.e
——
B.2e
C.
D.e
—
e
e
e
1
exdx,n
e1
7若m
dx,
则
m与
n的大小关系是()
0
1x
A.mn
B.
mn
C.
mn
D.无法确定
8.按万有引力定律,两质点间的吸引力
mm2
Fk一厂,k为常数,mi,m2为两质点的质量,r
所作之功(b>a).
2
9•由曲线yx1和x轴围成图形的面积等于S.给出下列结果:
i2
①‘X21)dx;②
i2i202
则S等于(
)
A.①③
B.③④
C.②③
D.②④
)
1x2)dx;③2o(x21)dx;④2,1x2)dx•
x
10.y0(sintcostsint)dt,贝Vy的最大值是(
D.0
7
A.1B.2C.-
2
1
11.若f(x)是一次函数,且0f(x)dx
1172f(x)
0xf(x)dx17,那么1"Tdx的值是
0若F(x)在
tf(t)dt
13.F(x)02,x0,其中f(x)在x0处连续,且f(0)
x
c,x0
x0处连续,则c()。
(A).C0;
(B).C1;
(C).c不存在;
(D).C1.
14•设bf(x)dx0且f(x)在[a,b]连续,则(
(A).f(x)0;
(B)•必存在x使f(x)0;
(C)存在唯一的一点x使f(x)
(A)
(B)
20.定积分
2maXx3,x,1}dx等于()
(A)
0
(B)
4
16
97
(C)
~3
(D)
x2
_x2
+
21.设f(x)
ln(1
t)dt,g(x)arcsindt,则当x0时,f(x)是g(x)的()
0
0
2
(C)
21
(D)
2(..21)
(A)同阶无穷小,但不等价
(B)等价无穷小
(C)低价无穷小
(D)高价无穷小
x
22.F(x)etcostdt,则F(x)在[0,]上有()
0
综合题:
(1)
1x2,
2dx
0x2x2
1
°ln(1x)dx
2
2&
S4x2xcos5x)dx
edx
ex、(1lnx)lnx
2dx
(5)
0
(32x
x2
02
「4—x2dx
(8)已知函数f(x)在[0,2]上二阶可导,且:
2t12
of(x)dx4,求:
°x2f''(2x)dx
f
(2)
1,
f'
(2)0及
…、arctanx,dx
(9)1(10)1e?
^^
1210
(12)1(1x)dx
x
(13)求极限lim(丄
x0
(14)用定积分定义计算极限:
lim(
n
22
x
0_2
xx
n-2)
n
1t2dtsintdt
-)
(15)设隐函数yy(x)由方程x3
xt2
°edty
In4
0所确定,
(16)设f(x)
处可导,
2xt2
0(e1)dt
2
x
Ax0
并求出f'(0).
°,问当A为何值时,
f(x)在x
(17)设f(x)
cos4x2jf(x)dx,其中f(x)为连续函数,试求:
f(x)
2
(18)设正整数a,且满足关系lim(-―)x1xe4xdx,试求a的值。
x0axa
4月22日定积分练习题基础题:
I
1•积分中值定理af(x)dxf()(ba),其中()。
(A)
是[a,b]内任一点;
(B).
是[a,b]内必定存在的某一点;
(C).
是[a,b]内唯一的某一点;
(D).
是[a,b]的中点。
2.
1
1(1
x).1x2dx()
(A)
(B)(C)2
(D)—
2
4
3.设
f
1
C[0,1],且0f(x)dx2,
2
贝y;f(cosx)sin2xdx()
(A)
2
(B)3(C)4
(D)1
b
4.设f(x)在[a,b]上连续,且f(x)dx
a
0,则()。
(A)在[a,b]的某个子区间上,f(x)0;
(C)在[a,b]内至少有一点c,f(c)0;
(D)在[a,b]内不一定有x,使f(x)0。
2
5.x32x2xdx=()
0
(A)
(B)
15(22)
(C)
4.2
3
(D)
8.2
5
Inx
6.一ln(1t)dt=()dx2x
1
(A)-ln(1lnx)2ln(12x)x
1
(B)丄ln(1lnx)ln(12x)x
(C)ln(1lnx)ln(12x)
(D)ln(1lnx)2ln(12x)
2
2(1cosx)x
0
7.f(x)1x
x
0,则f(x)在x0点()
1cost2dtx
x0
0
(A)
连续,但不可导
(B)
可导,但导函数不连续
(C)不连续
(D)导函数连续
(A)1
(B)
(C)
1e
r~e
1e
r~e
(D)1
填空、选择题
⑴討n8xdx
02COS7xdx
⑵lim0
x0
2
⑶1
x
tsintdt
0
ln(1x)
x22xdx
x
(4)曲线yt(1t)dt的上凸区间是
1
(5)71~dx;
(6)设f(x)是连续函数,且f(x)sinxof(x)dx,
12005x
⑺1x(1x)(e
1
(8)xim芯1
则:
f(x)
ex)dx
(9)设函数y
x
ln(1
dt
2
x
0(t
2
1)etdt的极大值点为
dt
_个根
(D)3
:
[f®
(D)2
(10)设正值函数f(x)在[a,b]上连续,则函数F(x)
在(a,b)上至少有_
(A)0(B)1(C)2
2
xxr「
(11)f(t)dt,贝y:
04
(A)16(B)8(C)4
21
(12)pdx収2—
31
-(B)—
22
1dx
x、x21
(A)
(13)1
(A)
0(B)2
•计算下列定积分的值
(1)
32
1(4xx)dx;
(5)
n
22cos0
(9)
dx
1e
0
(13)
e1
1一(1nx)dxex
(17)
二求下列极限:
(D)不存在
(C)4
(D)发散
4月23日定积分练习题
(2)
(6)
25
(x1)dx;
(3)
02(x
sinx)dx;
2
(4)2cosxdx;
~2
(10)
2
(14)0
cosx
1
0(“
3)dx
(7)
11
01
2
X
—dx.
x;
(8)
e2dx
xInx;
0打an2xdx
5cos
xsin2xdx;
(11)4
1
——)dx;
x
(12)
dx
01x
(15)02
sinxdx;(16)
dx
1
0(x2x1)3/2;
1
(18)0g
dx
x
e
1x2
⑴lim;0costdt;
⑵lim
X
xt2
(°edt)
x2t2
edt
0
三•利用定积分求极限
(i)lim
n
(n1)2
(n2)2
(nn)2
(2)lim
n
n(J
n
1
(n22)
1
2n2
);
四•证明题
dx
(1设f'(x)在(,)上连续,证明:
一((xt)f'(t)dt)f(x)f(a)
dxa
・3
(2)证明:
2sinxdx
0sinxcosx
1
(4)设f(x)在[0,1]上可导,且满足f
(1)2jxf(x)dx,证明:
必存在点(0,1),
使得f'()丄。
(利用积分中值定理和Rolle定理证明)
4月24日定积分练习题
一、填空题:
b
1•如果在区间[a,b]上,f(x)1,则f(x)dx.
a
1
2.0(2x3)dx.
X2
3.设f(x)Qsint2dt,则f(x).
1t2
4.设f(x)edt,贝Uf(x)
cosx
6.
耳sin2n1xdx
2
7.
8.
比较大小,
\2dx
1
\3dx.
1
9.
由曲线y
sinx与x轴,在区间[0,]上所围成的曲边梯形的面积为
10.曲线yx2在区间[0,1]上的弧长为
二、选择题:
1.设函数
3
f(x)仅在区间[0,4]上可积,则必有°f(x)dx=[]
2
0f(x)dx
3
2f(x)dx
B.
1
0f(x)dx
3
1f(x)dx
C.
5
0f(x)dx
3
5f(x)dx
D.
10
f(x)dx
2•设Ii=
1
0xdx,I2=
22
1xdx,则[
A.1112
B.I1I2
C.I
x3
0(tD(t
2)dt则dyx0dx1
A.2B.-2
C.0
D.1
x(23x)dx
2,则a
A.2B.-1
C.0
D.1
3.y
i
112
a
4.
0
D.I1I2
5.设f(x)=
x2(x
x(x
0)
0)
f(x)dx=[
0
2xdx
1
B.
2x2dx
0
C.
D.
1
xdx
0
2dx
6.£叫
x2
sintdt
0
2
x
1
B.-
3
C.
D.1
7.F(x)
x
etcostdt,则F(x)在[0,
]上有(
(E)F(=)为极大值,F(0)为最小值
(A)2
(B)-2
1
(C)4
(D)-
4
10.定积分
1ln(1
0
(B)
(C)
In2
(D)
11.定积分
(B)
(A)
(C)
(D)
12.下述结论错误的是
(A)0
发散
七dx收敛
=dx发散
1x2
13.设函数fR[a,b],
则极限
lim
n
0
f(x)|sinnx|dx
等于()
(A)
2f(x)dx
0
(B)
-f(x)dx
0
(C)
1f(x)dx
0
(D)
不存在
14.设
f(x)为连续函数,且满足
x
0f(t
x)dt
1,则f(x)
(A)
(B)
(C)
(D)
15.设正定函数f
C[a,
b),
F(x)
x
a®*
1
bf&
dt,则F(x)
(a,b)内根的个数为
(A)0
(B)
(C)2
(D)
16.定积分的定义为
f(x)dx
lim0
f(
以下哪些任意性是错误的
(A)
随然要求当
max
Xi0时,
f(i)Xi的极限存在且有限,但极限值仍是
i
任意的。
(B)
积分区间[a,b]所分成的分数n是任意的。
(C)
对给定的份数n,如何将[a,b]分成n份的分法也是任意的,即除区间端点
ax0,bxn外,各个分点
x1x2
Xn1的取法是任意的。
17.
Inx
ln(1
dx2x
t)dt=(
1
(D)-In(1Inx)2In(12x)x
1
(E)ln(1Inx)ln(12x)x
(F)In(1Inx)In(12x)
(D)ln(1Inx)
2ln(1
2x)
18.
乎(八2、1
dx'
tdt)
()
(A)
x2、.1x
(C)
x4.、1x2
三.计算题:
1
.gx1
dx0
t2dt
3.
1dx
0.厂x2
5.
a1
dx(a
0)
°.x2a2
t2
1
2
(B)x1x、2
(D)2x51x2
2.
(
4.Iim-
x0
6.
sinxdx
xt22
etdt)2
o/
X2t2
tedt
0
4dx
7.te2dt
0
8.
exdx
5.cos5xsinxdx
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