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集成电路可靠性讲义
第八章集成电路可靠性数学基础
§8.1可靠性的数学基础
8.1.1事件和概率
对现象的一次观察,一个试验结果的出现等等,都称为一个“事件”。
必然事件,不可能事件,随机事件,相互独立事件,相容事件,不相容事件。
8.1.2概率的乘法和加法
若事件A和事件B相互独立,则事件A和事件B同时发生的概率等于事件A发生的概率和事件B发生的概率相乘。
这一定理称为独立事件的概率乘法定理。
上述定理可以记为:
P(AB)=P(A)·P(B)
如果事件A和事件B不相容,则事件A或事件B发生的概率[记为P(A+B)]等于事件A的概率加事件B的概率。
这一定理称为不相容事件的概率加法定理。
可以记为:
P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A和事件B是相容的(即可以同时发生的),则加法定理变为:
事件A和事件B至少发生一个的概率等于事件A的概率加事件B的概率减去事件A和事件B同时发生的概率。
可以记为:
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
8.1.3随机变量及其分布
在实际工作中遇到的随机现象;当一组条件满足时出现的结果可能有很多个,甚至无穷多个,这些结果的特征常常可以用数字来表示,称之为随机变量。
随机变量又分为离散型随机变量和连续型随机变量。
对于离散型随机变量我们可以列出可能取的值xi和对应于这一值的概率pi,称为分布列。
分布列也可以写成函数形式。
对于连续型随机变量不存在分布列,它的概率分布情况只能用函数或曲线来描述。
如果我们能够找到某一函数ƒ(x),它具有下面的特性:
随机变量在x到x+dx范围内取值的概率为ƒ(x)dx,则ƒ(x)便可以描述随机变量在各个范围内取值的概率。
ƒ(x)称为这一随机变量的概率密度函数。
因为ƒ(x)的值乘以小范围的长度dx等于概率,所以ƒ(x)有概率密度的含义,它的量纲为随机变量量纲的倒数。
函数ƒ(x)的积分
也可以描述连续型随机变量取值的分布情况,称为随机变量的分布函数。
F(x)的含义是随机变量取小于x的值的概率。
随机变量在任意区间(a,b)内取值的概率为:
对于离散型随机变量,分布函数为:
8.1.4随机变量的均值和方差
在实际应用中,引入均值和方差的概念来说明分布的特征。
均值也称数学期望,对离散型随机变量,它的定义为:
对于连续型随机变量它的定义为:
均值反映了随机变量取值的平均特性,方差则反映了随机变量取值的分散程度。
§8.2可靠性的定义和数学描述
本小章的主要内容是:
①可靠性的定量表征,常用概率分布及可靠性框图;②可靠性、失效、寿命、随机变量,有关产品可靠性的数学描述;③主要有可靠度、失效概率、失效概率密度、瞬时失效率、平均寿命、可靠寿命六项(用统计概率的近似法)器件失效等级。
8.2.1可靠性的定义
可靠性:
产品在规定的条件下和规定的时间内,完成规定功能的能力。
规定条件:
环境条件(温度、湿度、气压、盐雾、辐射等气候环境和振动、冲击、碰撞、跌落、离心等机械环境)、负荷条件(电、热、力等应力条件)和工作方式(连续工作或间断工作)。
规定的时间:
可靠性是时间的函数。
8.2.2可靠度R(t)
可靠度R(t):
表示电子元器件产品在规定的条件下使用一段时间t后,还能完成规定功能的概率。
常记作R(t),也称为可靠度(函数),R(t)=P{>t}。
即t时刻仍未失效的器件数与进行试验的器件总数之比。
这一近似值常称为残存率。
8.2.3失效概率F(t)
失效概率也叫累积失效概率或不可靠度(性),是指产品在规定的条件下在时间t以前失效的概率,也就是寿命这一随机变量(t)的分布函数,记为F(t),由概率论知:
F(t)=P{t}
R(t)+F(t)=1
R(t)与F(t)随时间变化曲线
n(t=0)=0R(t=0)=1F(t=0)=0
n(t=)=nR(t=)=0F(t=)=1
8.2.4失效概率密度ƒ(t)
失效密度(失效概率密度)是指产品在t时刻的单位时间内,发生失效的概率,它用来描述在0~+∞的整个时间轴上的分布情况,说明器件在各时刻失效的可能性,是寿命这一随机变量的密度函数ƒ(t),如F(t)连续,则:
ƒ(t)=dF´(t)=>
8.2.5瞬时失效率(失效率)(t)
失效率是指在时刻t尚未失效的器件在单位时间内失效的概率,它用来描写在各个时刻仍在正常工作的器件失效的可能性,在时刻t完好的产品,在[t,t+Δt]时间内失效的概率为:
P{t
(t)为常用特征函数,单位:
1/h、%/(1000h)、10-9/h(菲特)
8.2.6平均寿命
器件寿命这一随机变量的平均值称为平均寿命,记作,也常记作tMTTF,是器件失效前的平均时间。
由概率论关于随机变量的数学期望的定义,有:
对于可修复产品,平均寿命用平均无故障工作时间tMTBF表示:
8.2.7可靠寿命
对一些电子产品,当其可靠度降到r时的工作时间(记该时间为tr)称为产品的可靠寿命。
即R(tr)=r。
当r=0.5时的tr称为产品的中位寿命,r=1/e时的可靠寿命称为产品的特征寿命。
R(t)、F(t)和(t)的关系,
在单位时间内失效的概率为:
因为事件t<被包含在事件t<<=t+Δt之中,若事件t<<=t+Δt发生,则必导致t<事件的发生,所以有:
按概率乘法公式则为:
所以有
又由
可得:
两端取积分,有:
可靠性各主要特征量之间的关系
8.2.8器件失效等级
元器件的可靠性常用失效比例来测定,比较容易理解的是平均失效率。
平均失效率等于失效产品的百分比除以工作时间。
如果失效产品为1%,工作1000小时,其失效率就是1×10-5/小时。
元器件的失效率等级中规定的失效率是在未计算元器件的环境应力、性能和结构、质量系数等因数的影响、只包括在电应力和温度应力作用下的失效率,称基本失效率,用λB表示,仅是计算温度和电应力的比(即工作应力/额定电应力)影响的失效率。
我国参照国际标准,并根据我国实际情况规定了失效率等级。
“七专”元器件:
在国产元器件质量等级表中,“补充说明”一栏有QZJ8406和7905“七专”技术条件。
“七专”元器件是在二十世纪七十年代特定的历史条件下,为了满足我国航天事业对元器件的可靠性要求,针对我国当时元器件制造技术落后,质量管理混乱而采取的一项质量控制措施。
所谓“七专”是指凡是“七专”元器件都必须专技(专门制定技术条件)、专料(经过认定合格的材料)、专线(专门设立高可靠元器件生产线)、专人(由从生产线挑选技术最好的生产人员组成)、专检(用最先进的检测方法专人进行检验)、专卡(要求每个元器件有跟踪卡片、每道工序都要在卡片上填写操作者姓名)、专筛(针对每种元器件的失效机理制定筛选条件,进行筛选)。
通过“七专”质量控制,元器件的可靠性水平提高了1~2个数量级。
基本上满足了当时航天事业的需要。
“七专”是在特定的历史条件下采取的质量控制措施,它自始至终贯彻了以责任制为核心,对提高元器件的可靠性起到了重要作用。
§8.3器件的失效规律和常用的寿命分布
8.3.1器件的失效规律:
浴盆曲线
半导体器件由于它本身的特点,例如没有热阴极,没有转动摩擦部分等,所以寿命较长。
在没有潮湿、盐雾、核辐射等恶劣的外界作用的条件下正常工作时,早期失效阶段表现明显;偶然失效阶段时间较长而且失效率常有缓慢下降的趋势;一般难以观察到明显的耗损失效阶段。
第I区(早期失效阶段):
失效率高,失效率随时间的增加而下降;由一种或几种具有一定普遍性的原因(如设计、制造中的缺陷)所造成,对不同品种、不同工艺的器件,这一阶段的延续时间和失效比例是不同的。
减少该阶段失效的办法:
严格工艺操作、半成品和成品的检验,合理筛选。
第II区(偶然失效阶段):
失效率低,近似为一常数,是器件的良好使用阶段,失效是由多种而又不太严重的偶然因素引起的。
是产品最佳的工作阶段。
第III区(耗损失效阶段):
失效率明显上升,大部分器件相继失效,失效是由带全局性的原因(老化、磨损、耗损、疲劳等)造成的。
器件的设计、制造应尽快使其进入低失效率的偶然失效期,以缩短早期失效阶段。
8.3.2器件的失效规律:
浴盆曲线
1.二项分布b(n,p)
某种随机试验只有两种可能结果。
例:
从一批器件中随机抽取一个器件,该器件可能是正品(A),也可能是次品(
),只可能是这两种情况。
它们发生的概率分别是
独立地重复做n次上述试验,若随机变量x取值为的事件(抽到的器件是次品)是k次,其概率为:
则称随机变量x服从二项分布b(n,p)。
显然
随机变量x取值为
的次数小于或等于k次的累积分布函数服从二项分布b(n,p)。
显然,
二项分布是一种离散型分布,常用于相同单元平行工作的冗余系统中,也用于成败型系统的成功概率计算中。
2.泊松分布
二项分布的p值很小,而n常很大,可根据泊松定理用泊松分布来逼近,即
式中b(k;n,p)为二项分布b(n,p)中事件发生k次的通项。
等式右边称泊松分布,并把整列{e-λλk/k!
;k=0,1,2,…,n}记为P(λ),则事件发生k次的通项为
上式表示随机变量取值为k时的概率服从参数为λ的泊松分布。
二项分布及泊松分布的情况:
常用离散型概率分布
3.正态分布(高斯分布)
若产品某特性x的概率密度为:
则称x服从参数为μ和σ的正态分布,记为X~N(μ,σ2),μ,σ分别称为位置参数和尺度参数,也称均值和标准差。
令
,就可将上式化成标准随机变量z的分布密度函数为:
正态分布曲线
可以看出,t=m时,f(t)取得极大值。
参数m反映分布的集中点,参数s反映分布分散的程度。
t越靠近m,出现的概率越大;反之…
s越小,f(t)的极大值越大;反之…
分布函数为:
f(x)为标准正态分布函数。
标准正态分布曲线
主要应用于考虑元器件耗损和工作时间延长引起的失效分布。
从元器件失效特性的浴盆曲线可以看出,耗损失效的分布往往非常接近于正态分布。
故可以用正态分布来有效地预测或估计可靠度。
正态分布的失效率与m,s2值无关,随时间呈上升趋势,属递增型。
正态分布反映了产品失效模式的多样性和失效机理的复杂性。
正态分布主要用于制造过程中工艺过程控制及质量管理。
4.对数正态分布
随机变量t的对数服从对数正态分布时,其概率密度函数为:
称随机变量t服从对数正态分布。
μ:
对数均值,σ2:
对数方差(或对数标准差),若lnt换成lgt,规律相同,结果仅差一系数。
相应的各有关特征量为:
对数正态分布常用于设备维修时间的分布及材料的疲劳寿命方面,在半导体器件的寿命分布中也有应用。
注:
从数理统计可知,若某一随机变量受许多随机因素之和的影响,则它服从正态分布;若其受许多随机因素乘积的影响,则它服从对数正态分布。
对数正态分布的密度函数曲线和对数正态分布的失效率曲线
5.威布尔分布
威布尔分布适用范围较广,在分析半导体器件的寿命分布时应用较多,它的失效密度函数为:
6.指数分布
威布尔分布中,在=l的情况下为指数分布。
它虽然是威布尔分布中的一个特例,但在实际工作中得到了最广泛的应用。
因为此时失效率(t)=1/为一常数,正好与器件的偶然失效阶段相符。
而偶然失效阶段是器件的正常使用阶段。
同时,指数分布的数学处理特别简单,在很多情况下,仅是近似于1,或比l小得不多,为取其简便仍技指数分布处理。
常用连续型概率分布
§8.4可靠性框图和数学模型
8.4.1基本概念及其意义
可靠性数学模型,用数学方法对系统可靠性关系加以描述,以便能准确地计算出它的可靠度(从而也可求出其他特征量或函数)。
物理关系和功能关系的区别在于:
1.可靠性框图与电气联接相区别,属于功能关系;
2.在建立可靠性框图时要注意其所完成的功能。
LC振荡回路及其可靠性框图,其中(a)电路,(b)可靠性框图
系统可靠性框图的分类
8.4.2串连系统
串联系统的可靠性框图
系统中任何一个单元(部件)出故障都会导致整个系统出故障,或者说只有当系统中所有单元都正常工作时系统才能正常工作的系统,称为可靠性串联系统。
系统寿命s等于各单元寿命i中的最小者,设单元ei的可靠度为Ri(t),且1,2,…n相互独立,系统可靠度为:
Rs(t)=P{s>t}=P{mini>t}
=P{1>t,2>t,…,n>t}
=P{1>t}P{2>t}…P{n>t}=Ri(t)
即系统可靠度Rs(t)是组成该系统的各单元可靠度Ri(t)的连乘积,此即串联系统可靠性的数学模型。
利用F(t)+R(t)=1可得系统的失效分布为:
系统的失效分布密度为:
系统的失效率
为:
当n个单元均工作在偶然失效期时,即
=
是一常数,于是有:
上式说明:
系统中各单元均遵从指数分布时,串联系统也遵从指数失效时间分布。
因指数分布的tMTTF(均值,q)等于失效率的倒数,可得系统与各单元之间的关系为:
当n个单元均工作在偶然失效期时:
s=iRs(t)=e-nt
当各单元的失效率相等时:
s=nRs(t)=e-nt
串联系统的特点:
(1)串联系统的可靠度要低于组成该系统的每个单元的可靠度,且随串联数量增大而迅速降低
(2)串联系统的平均寿命,也比单元的平均寿命要降低
(3)串联系统的失效率比单元的失效率增大
串联下图的系统可靠度与串联单元数关系
要提高串联系统的可靠度必须减少串联中的单元数或提高单元的可靠度。
8.4.3并连系统
并联系统又称并联冗余系统。
它可分为工作贮备(平行冗余)和非工作贮备(开关系统)两种情况。
工作贮备系统:
是使用多个单元来完成同一任务的组合,在该系统中所有单元同时工作,但只要其中有任一个单元工作,就能独立地支撑整个系统的运行。
有的工作贮备系统要求有两个以上单元(如k个)正常工作,系统才能正常工作,这种情况称为“表决”或“n中取k”系统。
非工作贮备系统:
是指系统中一个或多个单元处于工作状态,其它单元处于“待命”状态,当工作单元出现故障后,处于“待命”状态的单元立即转入“工作状态”。
一般来说,非工作贮备系统的可靠度要高于工作贮备系统。
非工作贮备系统又可分为理想开关和非理想开关两种情况。
(1)纯并联系统:
系统是由n个单元组成,只要其中有一个单元没有失效,系统就能正常工作。
系统寿命s等于各单元寿命i的最大者。
假定单元i的失效分布为Fi(t),且1,2,…,n相互独立,系统失效分布为:
Fs(t)=P{st}=P{maxit}=P{1t,2t,…,nt}
=P{1t}P{2t}…P{nt}=Fi(t)
系统的可靠度为Rs(t)=1-[1-Ri(t)]
对给定可靠度,增加并联单元数,使系统可靠度的临界增量迅速下降。
单元数n>4时,系统可靠度增量很有限;且n增加结构复杂,成本昂贵。
因此,不是并得越多越好。
(2)表决系统:
由n个并联单元组成的系统中,至少有k个单元正常工作系统s才正常工作,叫n中取k系统k/n(G)。
k/n(G)系统可靠度的计算方法如下(以2/3(G)为例):
设三个单元相互独立,各单元的寿命分别为x1,x2,x3。
则相应的可靠度为:
Ri(t)=P{xi>t},i=1,2,3
系统正常工作时有四种可能的组合:
三个部件都正常工作;e1和e2正常工作而e3失效;e1,e3正常,e2失效;e2,e3正常,e1失效。
因此:
若单元寿命服从指数分布,Ri(t)=exp(-λi)(i=1,2,3),则
平均寿命为:
当λ1=λ2=λ3时:
比较一个单元、两个单元组成串联及纯并联,和2/3G表决系统的可靠度。
假若各单元的可靠度相同均为R,且各单元相互独立,则有
四种组成方式系统可靠性的比较
结论:
两个单元并联后系统的可靠性最高,两个单元串联的可靠性最小,当R>0.5时,表决系统的可靠性大于一个单元的可靠性。
一般情况下,系统由相同单元组成,各单元可靠度相等为R0(t),则k/n(G)系统的可靠度为:
8.4.4混连系统
(1)串-并联系统
将nj个单元并联,再串联m个,构成n-m串-并联系统。
设各单元可靠度为Rij,i=1,2,…,nj,j=1,2,…,m,且所有单元的寿命相互独立.则由串联和并联公式得:
若nj=n,且各单元可靠度相等,Rij(t)=R(t),则
串-并联系统
(2)并-串联系统
将mi个单元串联,再并联n个,构成n-m并-串联系统,设各单元可靠度分别为Rij(t),i=1,2,…,n,j=1,2,…,m,且各单元相互独立,有
若mj=m,且各单元可靠度相等,Rij(t)=R(t),则
并-串联系统
8.4.5混连系统冷储备系统
贮备系统的结构是仅用一个单元工作的并联形式,当工作的单元失效,则备用部件立即代替投入工作,保证了系统的正常运行。
贮备系统的结构
若系统由2个单元组成,单元寿命分别为1和2,且它们相互独立,其分布函数分别为F1(t)和F2(t),则系统约工作寿命为
若单元的寿命服从指数分布,即
则,
若系统S由n+1个部件组成,其中一个部件工作,n个部件备用,则系统的可靠度为
其中
i为第i个部件的工作寿命,Fi(t)为
i的分布函数,i=1,2,…,n+1,
式中
i为第i个单元的平均寿命。
若所有单元均服从指数分布,第i个单元的失效率为
i,则
结论:
串联系统的寿命为单元中最小的寿命,并联系统的寿命为单元中最大的寿命,而理想开关冷贮备系统寿命为所有单元寿命之和,说明冷贮备系统的可靠性最佳。
§8.5分布的检验
从可靠性试验得到的数据要确定它服从何种分布时,通常有两种方法。
(1)直观的作图法:
根据试验数据进行一定的处理,看它是否服从假设的分布。
(2)解析检验法:
在总体中抽取子样,分析子样的随机性引起的偏差,先确定一个偏差的界限,若偏差大于界限,则假设的分布就不正确,需要放弃;否则应予以接受。
第九章可靠性效应和物理机理
§9.1氧化层中的电荷
9.1.1氧化层电荷的性质和来源
MOS器件的界面特性影响着器件的成品率、工作的稳定性和可靠性。
在Si-SiO2界面的SiO2一侧存在着多种形式的电荷或能量状态,一般归纳为以下四种基本类型:
①二氧化硅层中的可动离子
②二氧化硅中的固定电荷
③界面态
④二氧化硅层中的电离陷阱电荷
可动离子电荷Qm:
主要是SiO2中存在的K+、Na+、Li+等正离子引起的,其中对器件稳定性影响最大的是钠离子。
钠离子来源于所使用的化学试剂、玻璃器皿、高温器材以及人体沾污等。
钠离子易于在二氧化硅中迁移,调制器件表面的电势,从而器件参数的不稳定。
对可动离子电荷的测量采用以下方式:
1、在实际的MOS系统中,膜层中的可动离子是致使半导体器件不稳定的一个重要原因,膜层中的正电荷包含固定正电荷、Si界面态电荷和一部分靠近Si界面的可动离子电荷,因此,要确定膜层中的可动离子电荷,就必须把它和固定电荷区分开来。
把可动离子和固定电荷区分开来的办法是利用正,负偏压温度实验,简称B-T试验。
2、在MOS电容上先加一负偏压,后把样品加温,由于膜层中的可动电荷在较高温度下具有较大的迁移率,因此,它们将在高温负偏压下向金属-SiO2界面移动,经过一定时间以后可以认为SiO2膜层中的可动电荷基本上全部漂移至金属-SiO2界面处。
3、保持偏压不变,将样品冷却到室温,然后去掉偏压,测量高频C-V特性,曲线所对应的平带电压值减小,C-V特性曲线向右移动,得到图中的曲线2。
接着,改变偏压极性,作正BT处理。
加热时间和温度与负BT相同。
正BT处理后,SiO2中的可动正电荷又全部漂移到Si-SiO2界面附近,测量高频C-V特性,C-V曲线向左方移动,得到图中的曲线3。
4、这样,通过正负偏压温度实验测量出平带电压的移动,就可计算出可动离子的面密度:
上式中,VFB是平带电压,Cox是氧化层的电容量,o是真空电容率,rs是介质的相对介电常数。
表中所列的可动离子面密度是国内典型亚微米CMOS工艺线上的测量数据。
MIS结构序号
可动离子面密度(/cm2)
1
7.12E+10
2
7.19E+10
3
1.06E+10
4
7.12E+10
5
1.12E+10
6
6.70E+10
7
4.06E+10
8
5.75E+08
9
5.33E+08
10
6.23E+09
氧化层中的固定电荷是分布在SiO2一侧距Si-SiO2界面小于2.5nm的氧化层内的电荷,起源于硅材料在热氧化过程中引入的缺陷。
固定电荷主要具有以下特性:
1、固定电荷的面密度是固定的;
2、位于Si-SiO2界面的2.5nm范围以内;
3、面密度的值不明显地受氧化层厚度或硅中杂质类型及浓度的影响;
4、与氧化和退火条件,以及硅晶体的取向有很显著的关系。
对氧化层中的固定电荷进行测量时,近似地认为分布在硅-二氧化硅界面处,故平带电压为:
考虑到金属和半导体功函数的影响,平带电压修正为:
于是可以得到固定电荷的计算公式为:
界面态又称为界面陷阱电荷,是指Si-SiO2界面处位于禁带中的能级或能带,它们可以很短时间内和衬底交换电荷。
1、除了未饱和的悬挂键外,硅表面的晶格缺陷和损伤以及界面处杂质等也可以界面态。
2、退火可以有效地降低界面态密度
3、界面态密度按(111)晶面大于(110)晶面、(110)晶面大于(100)晶面的顺序而变。
氧化层陷阱电荷是由于各种辐射如X射线、射线、电子射线等产生的,可以是正电荷,也可以是负电荷,取决于氧化层陷阱中俘获的是电子还是空穴。
1、二氧化硅中产生的电子空穴对,如果没有电场,电子和空穴将复合掉,不会产生净电荷。
2、存在由正栅压引起的电场时,电子被拉向栅极,而空穴由于在二氧化硅中很难移动,可能陷于陷阱中,这些被俘获的空穴就表现为正的空间电荷。
3、辐射感应的空间电荷通过在300C以上进行退火可以很快地消去。
9.1.2对可靠性的影响
上述四种氧化层存在的电荷,会调制硅的表面电势,凡是与表面电势有关的各种电参数均受到影响。
主要表现在以下几个方面:
1、增加PN结的反向漏电,降低了结的击穿电压。
2、引起MOS器件阈值电压漂移,跨导和截止频率下降。
3、对电流增益及噪声的影响:
降低小电流下的电流增益,产生叠加在基极和集电极电流上的噪声电流。
§9.2热载流子效应
9.2.1热载流子效应示意图
可热载流子注入效应是MOSFET的一个重要失效机理。
高能载流子,也称为热载流子:
热载流子注入效应是指能量达到甚至超过SiO2-Si势垒(3.2eV)便会注入到SiO2中去,当能量等于或大于4.2eV时就会打断共价键而产生界面陷阱,主要会产生以下影响:
1、产生于漏极的大沟道电场
2、有效温度高于晶格的温度
3、通过声子发射把能量传递给晶格,这会造成在硅-二氧化硅界面处能键的断裂
4、热载流子也会注入到SiO2中而被俘获
5、键的断裂和被俘获的载流子会产生氧化层电荷和界面态,这会影响沟道载流子的迁移率和有效沟道势能。
热载流子注入效应示意图
9.2.2热载流子效应的性质
热载流子注入效应具有以下特性:
1、热载流在运动过程中,因碰撞电离而产生电子空穴对,产生的多数空穴流
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