递推数列题型归纳解析.docx
- 文档编号:13733849
- 上传时间:2023-06-16
- 格式:DOCX
- 页数:4
- 大小:18.12KB
递推数列题型归纳解析.docx
《递推数列题型归纳解析.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《递推数列题型归纳解析.docx(4页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
递推数列题型归纳解析
递推数列题型归纳解析
专题方法总结递推数列题型归纳解析各种数列问题在很多情形下,就是对数列通项公式的求解。
特别是在一些综合性比较强的数列问题中,数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。
总结出几种求解数列通项公式的方法,希望能对大家有帮助。
类型1an?
1?
an?
f(n)解法:
把原递推公式转化为an?
1?
an?
f(n),利用累加法(逐差相加法)求解。
例:
已知数列?
a11n?
满足a1?
2,an?
1?
an?
n2?
n,求an。
解:
条件知:
an?
1?
a11n?
n2?
n?
n(n?
1)?
11n?
n?
1分别令n?
1,2,3,?
?
?
?
?
?
(n?
1),代入上式得(n?
1)个等式累加之,即(a2?
a1)?
(a3?
a2)?
(a4?
a3)?
?
?
?
?
?
?
?
(an?
an?
1)?
(1?
12)?
(12?
1113)?
(3?
4)?
?
?
?
?
?
?
?
(11n?
1?
n)所以a1n?
a1?
1?
n?
a11?
2,?
a11n?
12?
1?
n?
32?
n变式:
已知数列{an}中a1?
1,且a2k=a2k-1+(-1)K,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3,…….求a3,a5;求{an}的通项公式.解:
?
ak2k?
a2k?
1?
(?
1),ak2k?
1?
a2k?
3?
akkk2k?
1?
a2k?
3?
a2k?
1?
(?
1)?
3,即a2k?
1?
a2k?
1?
3k?
(?
1)k?
a223?
a1?
3?
(?
1),a5?
a3?
3?
(?
1)…… ……a2k?
1?
a2k?
1?
3k?
(?
1)k将以上k个式子相加,得a2k22k?
1?
a1?
(3?
3?
?
?
?
?
3)?
[(?
1)?
(?
1)?
?
?
?
?
(?
1)k]?
3k2(3?
1)?
12[(?
1)k?
1]1每个学生都应该用的“超级学习笔记”专题方法总结将ak?
1k1?
1代入,得a2k?
1?
12?
3?
12(?
1)?
1,a1kk2k?
a2k?
1?
(?
1)k?
2?
3?
12(?
1)?
1。
?
n?
1?
1n?
12?
1?
(?
1)2?
1(经检验a?
?
?
2?
32n为奇数)1?
1也适合,?
an?
1nn?
2?
32?
1?
(?
1)2?
1(n为偶数?
2)类型2an?
1?
f(n)an解法:
把原递推公式转化为an?
1a?
f(n),利用累乘法(逐商相乘法)求解。
n例:
已知数列?
an?
满足a21?
3,ann?
1?
n?
1an,求an。
解:
条件知an?
1a?
nnn?
1,分别令n?
1,2,3,?
?
?
?
?
?
(n?
1),代入上式得(n?
1)个等式累乘之,即a2a3ana?
?
?
?
?
?
?
?
?
a?
12?
?
?
?
?
?
?
?
n?
11a?
a42a3n?
12?
3?
34n?
ana?
11n又?
a1?
23,?
an?
23n例:
已知a1?
3,a3n?
1n?
1?
3n?
2an(n?
1),求an。
解:
a3(n?
1)?
13(n?
2)?
13?
2?
13?
1n?
3(n?
1)?
2?
3(n?
2)?
2?
?
?
?
?
3?
2?
2?
3?
2a1?
3n?
43n?
3n?
1?
73n?
4?
?
58?
25?
3?
63n?
1。
变式已知数列{an},满足a1=1,an?
a1?
2a2?
3a3?
?
?
?
?
(n?
1)an?
1(n≥2),则{a的通项a?
11n}n?
?
n?
?
___n?
2解:
已知,得an?
1?
a1?
2a2?
3a3?
?
?
?
?
(n?
1)an?
1?
nan,用此式减去已知式,得2每个学生都应该用的“超级学习笔记”专题方法总结当n?
2时,an?
1?
an?
nan,即an?
1?
(n?
1)an,又a2?
a1?
1,?
a1?
1,a2a?
1,a33,a4?
?
?
an1a?
2a?
4,3a?
n,将以上n个式子相乘,得n?
1an!
n?
2(n?
2)类型3an?
1?
pan?
q。
解法:
把原递推公式转化为:
an?
1?
t?
p(aqn?
t),其中t?
,再利1?
p用换元法转化为等比数列求解。
例:
已知数列?
an?
中,a1?
1,an?
1?
2an?
3,求an.解:
设递推公式an?
1?
2an?
3可以转化为an?
1?
t?
2(an?
t)即an?
1?
2an?
t?
t?
?
3.故递推公式为an?
1?
3?
2(an?
3),令bn?
an?
3,则b1?
a1?
3?
4,且bn?
1?
3b?
an?
1na?
2.所以?
bn?
是以b1?
4为首项,2为公比的等比数列,则n?
3b4?
2n?
1?
2n?
1n?
所以an?
2n?
1?
3.变式:
在数列?
an?
中,若a1?
1,an?
1?
2an?
3(n?
1),则该数列的通项an?
_______________变式:
已知数列?
an?
满足a1?
1,an?
1?
2an?
1(n?
N*).求数列?
a1n?
的通项公式;若数列{bbn}滿足41?
4b2?
1?
4bn?
1?
(abnn?
1)(n?
N*),证明:
数列{bn1n}是等差数列;证明:
2?
3?
a1a?
a2n2a?
...?
an?
N*).3a?
nn?
12(解:
?
a*n?
1?
2an?
1(n?
N),?
an?
1?
1?
2(an?
1),?
?
an?
1?
是以a1?
1?
2为3每个学生都应该用的“超级学习笔记”专题方法总结首项,2为公比的等比数列nn?
an?
1?
2.即an?
2?
1(n?
N*).证法一:
?
4k1?
14k2?
1...4kn?
1?
(akn?
1)n.?
4(k1?
k2?
...?
kn)?
n?
2nkn.?
2[(b1?
b2?
...?
bn)?
n]?
nbn,①2[(b1?
b2?
...?
bn?
bn?
1)?
(n?
1)]?
(n?
1)bn?
1.②②-①,得2(bn?
1?
1)?
(n?
1)bn?
1?
nbn,即(n?
1)bn?
1?
nbn?
2?
0,nbn?
2?
(n?
1)bn?
1?
2?
0.③-④,得nbn?
2?
2nbn?
1?
nbn?
0,即bn?
2?
2bn?
1?
bn?
0,?
b*n?
2?
bn?
1?
bn?
1?
bn(n?
N),?
?
bn?
是等差数列 证法二:
同证法一,得(n?
1)bn?
1?
nbn?
2?
0令n?
1,得b1?
2.设b2?
2?
d(d?
R),下面用数学归纳法证明bn?
2?
(n?
1)d.当n?
1,2时,等式成立假设当n?
k(k?
2)时,bk?
2?
(k?
1)d,那么bkk2k?
1?
k?
1bk?
2k?
1?
k?
1[2?
(k?
1)d]?
k?
1?
2?
[(k?
1)?
1]d.这就是说,当n?
k?
1时,等式也成立 根据和,可知b*n?
2?
(n?
1)d对任何n?
N都成立 ?
bn?
1?
bn?
d,?
?
bn?
是等差数列kk证明:
?
ak1a?
2?
11k?
12k?
1?
1?
2?
2(2k?
1?
2,k?
1,2,...,n,2)?
a1a?
a2n2a?
...?
an3a?
n?
12.4每个学生都应该用的“超级学习笔记”专题方法总结k?
ak1111a?
2?
1?
1k?
12k?
1?
2?
2(2k?
1?
1)?
12?
?
2k?
2?
2?
k?
1,2,...,n,?
a1a?
a2?
...?
an2a3a?
n1111nn?
12?
3(2?
2?
11n12?
...2n)?
2?
3(1?
2n)?
2?
3,?
n?
1a223?
a1a?
?
...?
ana?
n?
N*).2a3n?
12(n变式:
递推式:
an?
1?
pan?
f?
n?
。
解法:
只需构造数列?
bn?
,消去f?
n?
带来的差异.类型4ann?
1?
pan?
q。
。
解法:
一般地,要先在原递推公式两边同除以qn?
1,得:
an?
1pqn?
1?
q?
anqn?
1q引入辅助数列?
banpn?
,得:
bn?
1?
qbn?
1再待定系数法q例:
已知数列?
an?
中,a51?
6,an?
1?
13a(1n?
1n?
2),求an。
解:
在a1n?
1?
3a(12)n?
1两边乘以2n?
1得:
2n?
1?
a2nn?
n?
1?
3(2?
an)?
1令b?
2n?
an,则b2nn?
1?
3b?
1,解之得:
b2nnn?
3?
2(3)所以an?
bn?
3(1n12n2)?
2(3)n变式:
设数列?
a1n?
的前n项的和S4n?
3an?
3?
2n?
1?
23,n?
1,2,3,?
?
?
求首项a2nn31与通项an;设Tn?
S,n?
1,2,3,?
?
?
,证明:
?
Ti?
ni?
12解:
当n?
1时,a421?
S1?
3a1?
43?
3?
a1?
2;5每个学生都应该用的“超级学习笔记”
专题方法总结6当n?
2时,an?
Sn?
Sn?
1?
n43an?
n13?
2n?
1?
23?
(43an?
1?
13?
2?
n23),即利用a?
pa?
qnn?
1n?
1n的方法,解之得:
an?
4?
2n(Ⅱ)将ann?
4?
2n代入①得S4n-2n)-1212n=×(43×2n+1+3=3×(2n+1-1)(2n+1-2)=3×(2n+13-1)(2n-1) T2n32n311n=S=×n2(2n+1-1)(2n-1)=2×(2n-1-2n+1-1)nn所以,?
T=3113113ii?
12?
(i?
12i-1-2i+1-1)=2×(21-1-2i+1-1)0,∴an-an-1=5(n≥2)当a1=3时,a3=13,a15=73a1,a3,a15不成等比数列∴a1≠3;当a1=2时,a3=12,a15=72,有a32=a1a15,∴a1=2,∴an=5n-3 变式:
(05,江西,文),已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn-Sn-1?
12=3(?
2)n(n?
3),且S1?
1,S2?
?
32,求数列{an}的通项公式.解:
?
S1n?
1n?
Sn?
2?
an?
an?
1,?
an?
an?
1?
3?
(?
2)(n?
3),两边同乘以(?
1)n,可得(?
1)na?
11n?
1n?
an?
1(?
1)n?
3?
(?
1)n(?
2)?
?
3?
(1n?
12)令b?
(?
1)na1n?
1nn?
bn?
bn?
1?
?
3?
(2)(n?
3)b1n?
212n?
1?
bn?
2?
?
3?
(2)…………b3?
b2?
?
3?
(2)1?
1?
b3?
[
(1)n?
1?
(1)n?
2?
?
?
?
?
(124?
(1n?
22)n?
b2?
222)]?
b2?
3?
41?
12?
b32?
2?
3?
(12)n?
1(n?
3)10每个学生都应该用的“超级学习笔记”
专题方法总结1135又?
a1?
S1?
1,a2?
S2?
S1?
?
2?
1?
?
2,?
b1?
(?
1)1a1?
?
1,b2?
(?
1)2a52?
?
2?
b?
?
53n2?
3?
(12)n?
1?
?
4?
3?
(12)n?
12?
(n?
1)。
?
?
?
4?
3?
(1n?
1a?
1)n?
3?
(?
1)n?
(1n?
(?
1)nbn?
?
4()n?
12?
?
?
2),n为奇数,?
?
?
?
4?
3?
(12)n?
1,n为偶数.类型7an?
1?
pan?
an?
b(p?
1、0,a?
0)解法:
这种类型一般利用待定系数法构造等比数列,即令an?
1?
x(n?
1)?
y?
p(an?
xn?
y),与已知递推式比较,解出x,y,从而转化为?
an?
xn?
y?
是公比为p的等比数列。
例:
设数列?
an?
:
a1?
4,an?
3an?
1?
2n?
1,(n?
2),求an.解:
设bn?
an?
An?
B,则an?
bn?
An?
B,将an,an?
1代入递推式,得bn?
An?
B?
3?
bn?
1?
A(n?
1)?
B?
?
2n?
1?
3bn?
1?
(3A?
2)n?
(3B?
3A?
1)?
?
A?
3A?
2?
?
?
?
A?
1?
?
?
B?
3B?
3A?
1?
B?
1?
取bn?
an?
n?
1…则bn?
3bn?
1,又b1?
6,故bnn?
6?
3n?
1?
2?
3n代入得an?
2?
3?
n?
1每个学生都应该用的“超级学习笔记”专题方法总结说明:
若f(n)为n的二次式,则可设bn?
an?
An2?
Bn?
C;
(2)本题也可an?
3an?
1?
2n?
1,an?
1?
3an?
2?
2(n?
1)?
1两式相减得an?
an?
1?
3(an?
1?
an?
2)?
2转化为bn?
2?
pbn?
1?
qbn求之.变式:
已知数列{a1n}中,a1?
2、点在直线y=x上,其中n=1,2,3…(Ⅰ)令bn?
an?
1?
an?
3,求证数列?
bn?
是等比数列;(Ⅱ)求数列?
an?
的通项;(Ⅲ)设Sn、Tn分别为数列?
an?
、?
bn?
的前n项和,是否存在实数?
,使得数列?
?
Sn?
?
Tn?
?
为等差数列?
若存在,试求出?
若不存在,则说明理?
n?
解:
已知得a131?
2,2an?
1?
an?
n,?
a4,a32?
2?
a1?
1?
?
1421?
?
34?
又bn?
an?
1?
an?
1,bn?
1?
an?
2?
an?
1?
1,an?
1?
(n?
1)?
an?
nan?
1?
an?
1?
bn?
1n?
1?
an?
121b?
a?
22nan?
2?
an?
1?
1a?
n?
1?
an?
1an?
1?
a?
2.n?
1?
{b31n}是以?
4为首项,以2为公比的等比数列知,b34?
(12)n?
1n?
?
?
?
32?
12n,?
a3,?
a1n?
1?
an?
1?
?
2?
132n2?
a1?
1?
?
2?
2,a3?
a2?
1?
?
32?
122,?
?
?
?
?
?
?
a1n?
an?
1?
1?
?
32?
2n?
1,将以上各式相加得:
12每个学生都应该用的“超级学习笔记”专题方法总结?
a3n?
a1?
(n?
1)?
?
2(12?
12?
?
?
?
12?
2n?
1),1?
a2(1?
12n?
1)n?
a1?
n?
1?
32?
?
(n?
1)?
331?
1?
122(1?
12n?
1)?
2n?
n?
2.2?
an?
32n?
n?
2.解法一:
存在?
?
2,使数列{Sn?
?
Tnn}是等差数列?
S1n?
a1?
a2?
?
?
?
?
an?
3(121?
122?
?
?
?
?
2n)?
(1?
2?
?
?
?
?
n)?
2n1?
1n)?
3?
2(12?
n(n?
1)1?
12?
2n212?
3(1?
2)?
n2?
3nnn2?
?
3n?
32n?
2?
3.?
3(1?
1Tn?
b1?
b2?
?
?
?
?
b42n)n?
1?
?
32(1?
12)?
?
33n2?
2n?
1.1?
2数列{Sn?
?
Tnn}是等差数列的充要条件是Sn?
?
Tnn?
An?
B,(A、B是常数)即S2n?
?
Tn?
An?
Bn,2又Sn2?
3nn?
?
T3n?
?
2n?
n?
3n2?
3?
?
(?
32?
32n?
1)?
2?
3(1?
?
2)(1?
12n)?
当且仅当1?
?
2?
0,即?
?
2时,数列{Sn?
?
Tnn}为等差数列解法二:
存在?
?
2,使数列{Sn?
?
Tn}是等差数列n知,an?
2bn?
n?
2n(n?
1)n?
?
Tn?
Sn(n?
1)n?
2T?
2?
2nSn?
?
Tn2?
2n?
2Tn?
n?
n?
3?
?
22?
nTn又13每个学生都应该用的“超级学习笔记”专题方法总结14?
Tn?
b1?
b2?
?
?
?
?
bn?
34(1?
1212n)?
?
32(1?
12)?
?
n32?
32n?
11?
Sn?
?
Tnn数列?
n?
32?
?
?
2n(?
32?
32)?
当且仅当?
?
2时,数列{n?
1Sn?
?
Tnn}是等差每个学生都应该用的“超级学习笔记”
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 数列 题型 归纳 解析
![提示](https://static.bingdoc.com/images/bang_tan.gif)