归纳推理递推法.docx
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归纳推理递推法
第十二讲归纳推理
人们在探索某一类事物的性质或它们之间的关系的时候,经常从观察具体事物入手,通过分析、猜测、验证,找出这类事物的一般属性。
这种“从特殊到一般的推理方法”,叫做归纳法。
在研究某个问题的过程中,经过对若干次出现的现象的观察,有的人经过分析思考能很快地找到其中的某种规律,有的人却熟视无睹。
这就反映他们的归纳能力不同。
希望小同学们养成细观察、勤思考的习惯,不断提高归纳能力。
例1把1~1993这1993个自然数,按顺时针方向依次排列在一个圆圈上,如图12—1,从1开始沿顺时针方向,保留1,擦去2;保留3,擦去4;……(每隔一个数,擦去一个数),转圈擦下去。
求最后剩的是哪个数?
分析:
如果依照题意进行操作,直到剩下一个数为止,实在是很困难。
我们先从简单情况研究,归纳出解决问题的规律,再应用规律解题。
如果是2个数1、2,最后剩下1;如果是3个数1、2、3,最后剩3;如果是4个数1、2、3、4,最后剩1;如果是5个数1、2、3、4、5,最后剩的是3;如果是6个数1、2、3、4、5、6,最后剩的是5;如果是7个数1、2、3、4、5、6、7,最后剩的是7;如果是8个数1~8,最后剩的是1。
我们发现当数的个数是2,4,8时,最后剩的都是1(操作的起始数)。
这是为什么呢?
以8个数为例,数一圈,擦掉2,4,6,8,就相当于从1开始,还有4个数的情况,4个数时,从1开始,数一圈,又擦掉2个,还剩从1开始的两个数,擦掉1以外的数,最后剩1。
这样,数的个数是16,32,64,……,2n时,最后剩的都是起始数1。
当数的个数是3时,擦去2,就剩2个数,最后应剩下一步的起始数3;数的个数是5时,擦去2,剩4个数,最后也应剩下一步的起始数3。
根据以上规律,如果有18个数,擦去2、4,剩下16个数,再擦下去,最后还应剩下一步的起始数5。
就是说,擦去若干个数后,当剩的数的个数是2”时,下一步起始数就是最后剩下的数。
解:
因为1024=210,2048=211,
2110<1993<211,
1993-1024=969,
就是说,要剩210个数,需要擦去969个数,按题意,每两个数擦去一个数,当擦第969个数时,最后擦的是:
969×2=1938
下一个起始数是1939,那么最后剩的就应该是1939。
练习按照例1的操作规则
(1)如果是1~900这900个自然数,最后剩的是哪个数?
(2)如果是1~1949这1949个自然数,最后剩的是哪个数?
说明:
这道例题的解题思路是:
特殊→一般→特殊
(简单情况)(一般规律)(较复杂情况)
一般规律:
把1~n这n个自然数,按顺时针方向依次排列在一个圆圈上,从1开始,顺时针方向,隔过1,擦去2,隔过3,擦去4,……(每隔一个数,擦去一个数)。
最后剩下的数x是哪个数?
解:
设2k≤n≤2k+1,k是自然数。
x=(n-2k)×2+1
1.一个楼梯共有l2级台阶,规定每步可以迈二级台阶或三级台阶走完这12级台阶,共有多少种不同的走法?
2.上一段12级楼梯,规定每一步只能上一级或两级或三级楼梯,要登上第12级楼梯,不同的走法共有种。
题目解析:
递推法。
上1级台阶只有1种走法,上2级台阶有
和2两种走法,上3级台阶有1+1+1,1+2,2+1,3共4种走法,上4级台阶有:
1+1+1+1;1+1+2;1+2+1;2+1+1;2+2;1+3;3+1共7种;走5级台阶有2+4+7=13种走法,走6级台阶有4+7+13=24种走法……
事实上,上第
阶台阶,跨最后一步前,人所在的台阶一定是在第
级台阶或
级台阶或n-3级台阶上,所以跨上第
级台阶的走法数相当于跨上第
级台阶和第
级台阶以及第n-3级台阶的总和。
依照这一规律,列表写出跨1到12级各级的走法数。
最后递推得到登上第12级楼梯有927种走法。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
4
7
13
24
44
81
149
274
504
927
1、有l0个蛋黄派,萱萱每天吃l个或2个,那么共有多少种不同的吃法?
例2在平面上,有10条直线,问它们最多把平面分割成多少部分?
分析:
我们还是从简单的情况入手,归纳出一般结论。
一条直线,显然把平面分割成2部分(情况是唯一的)。
2条直线,如果重合,还是把平面分成2部分,如果平行,把平面分成3部分,如果相交,把平面分成4部分,相交时平面被分的部分数最多,3条直线呢?
实验的结果是两者相交,并且交点不重合时:
平面被分成的部分数最多。
(如图12—2)共有7部分……。
下面我们来看这其中的规律。
一条直线把平面分成2部分,两条直线相交,第二条直线被第一条直线截成两段,每一段把原有的一部分“一分为二”,因此,增加2部分。
三条直线两两相交,并且交点不重合,第三条直线被前两条直线分成三部分(一条线段和两条射线),每部分把原来的平面中的某一部分“一分为二”,因此,增加3部分。
依次类推,每增加一条直线,平面增加的部分数依次是4,5,6,……。
n条直线把平面分割成的部分数最多是:
答:
10条直线最多把平面分成56部分。
练习
(1)平面上有15条直线,最多把平面分成多少部分?
(2)平面上两两不重合的4条直线,最少把平面分割成多少部分?
例3平面上10个圆,最多把平面分成多少部分?
分析:
一个圆把平面分割成内、外两部分;两个圆(不重合)可能把平面分割成3部分或4部分。
如图12—3,三个圆最多把平面分割成8部分。
如图12—4。
如果我们设n个圆,最多把平面分成an部分。
a1=2,a2=4,a3=8。
能不能肯定a4=16,a5=32呢?
如图12—5,数的结果是a4=14。
一个圆把平面分成2部分。
两个圆相交,第二个圆c2被第一个圆c1(图12—3)相交后分成两部分(两个交点)。
每一段圆弧把原来一部分“一分为二”,增加2部分。
三个圆两两相交,第三个圆c3被前两个圆c1,c2最多分成四段圆弧(四个交点),每段圆弧把原来某一部分“一分为二”,增加4部分。
同样道理,第四个圆c4,被前三个圆c1、c2、c3分为6段圆弧(六个交点),每段圆弧把原来平面的某一部分“一分为二”,增加6部分。
依次类推,以后每增加一个圆,增加的部分数是:
4×2,5×2,6×2,……。
an=2+1×2+2×2+3×2+4×2+…+(n-1)×2
解:
2+1×2+2×2+…+9×2
答:
平面上10个圆,最多把平面分成92部分。
练习
(1)平面上15个圆,最多把平面分成多少部分?
(2)平面上x个圆,最多把平面分成212个部分,求x。
例4在平面上有5个三角形,最多把平面分割成多少部分?
分析:
一个三角形把平面分成内、外两部分。
两个三角形(不重合)可以把平面分成3、4、5、6、7、8部分(如图12—6)。
把平面分割的部分最多的情况是经二个三角形每边与第一个三角形的两条边相交且交点均不在三角形顶点。
一个三角形把平面分成内、外两部分。
第二个三角形每边被分成三段,中间一段把原来的一部分“一分为二”,多出一块,三边共多出1×3块。
每边的两端的部分又构成三个“角”,又多出3部分。
2+1×3+3=8
三个三角形,把平面分成部分数最多的情况,是第三个三角形每边和前两个三角形中每个三角形两条边相交(且均不在顶点处相交)。
如图12—7,两个三角形把平面最多分成了8部分。
第三个三角形每边被前两个三角形分成5段,中间三段,每段把原来的某一部分“一分为二”,多出3部分,3边共多出3×3部分,再加上第三个三角形的三个角,又多出3部分。
8+3×3+3=20
同理,四个三角形把平面分割的部分数最多是:
20+5×3+3=38。
依次类推,n个三角形最多把平面分成x部分;
x=2+[1×3+3]+[3×3+3]+[5×3+3]+…+[(2n-3)×3+3]
=2+3×[1+3+5+…+(2n-3)]+3(n-1)
(n大于1)
解:
2+(1×3+3)+(3×3+3)+(5×3+3)+(7×3+3)
=2+6+12+18+24
=62
答:
平面上5个三角形,最多把平面分成62部分。
练习
(1)平面上10个三角形,最多把平面分割成多少部分?
(2)平面上2个四边形,最多把平面分割成多少部分?
例5用“1×2”纸牌(如图12—8)若干张,放在一个图形上,要求“不空、不超、不重叠”,满足这种条件的叫做一种“完全覆盖”。
例如,用“1×2”纸牌覆盖“2×2”图形(如图12—9),有两种方法。
问用“1×2”纸牌,覆盖“2×10”图形(如图12—10)有多少种覆盖方法?
分析:
直接画出所有“完全覆盖”方法,是很困难的。
我们还是从简单情况入手,归纳规律。
用“1×2”纸牌覆盖“2×1”图形,只有一种覆盖方法;用“1×2”纸牌覆盖“2×2”图形,有两种覆盖方法。
用“1×2”纸牌覆盖“2×3”图,有3种方法,如图12—11。
“竖、竖、竖”,“竖、横、横”,“横、横、竖”。
通过分析发现,“2×3”的覆盖方法数正好等于“2×1”与“2×2”的覆盖方法数之和。
这是为什么呢?
当第一张牌竖放时,剩下“2×2”图,有两种方法;当第一张横放时,第二张也必须横放,剩下“2×1”图形,有一种放法,这说明“2×3”图形可以转化为“2×2”或2×1”图形。
同理,“2×4”图形可转化成“2×3”图形(第一张竖放)或“2×2”图形(第一、二张横放),依此类推。
设“2×n”图形用“1×2”纸牌覆盖有an种方法。
那么有an=an-2+an-1。
根据这个规律,不难计算n=10(“2×10”图形)的覆盖数。
解:
设用“1×2”纸牌,覆盖“2×n”图形有an种方法。
根据an=an-2+an-10。
a1=1,a2=2,a3=1+2-3,a4=2+3=5,a5=3+5=8,a6=5+8=13,a7=8+13=21,a8=13+21=34,a9=21+34=55,a10=34+55=89。
答:
用“1×2”纸牌,覆盖“2×10”图形,有89种方法。
练习
(1)用“1×2”纸牌,覆盖“2×12”图形,有多少种方法?
(2)用“1×2”纸牌,覆盖“2×15”图形,有多少种方法?
(3)用10个l×3的长方形纸片覆盖一个10×3的方格表,共有多少种覆盖方法?
结束语这一讲主要让大家初步熟悉归纳推理。
当解决一个比较复杂问题时,可先从最简单的若干情况入手,寻找一般规律,再运用规律解决较复杂情况。
习题十二
1.在一个圆圈上,逆时针标上1、2、3、…、19,从某个数起取走该数,然后沿逆时针方向每隔一个数取走一个数,如果最后剩下数1。
求从哪个数起?
2.把1~1992为1992个数,按逆时针方向排在一个圆圈上,从1开始逆时针方向,保留1,涂掉2;保留3,涂掉4,……。
(每隔一个数涂去一个数),求最后剩下哪个数?
3.把1~1987这1987个数,均匀排成一个大圆圈。
从1开始数,隔过1,划掉2,3;隔过4,划掉5,6;……,(每隔一个数,划掉两个数)一直划下去,问最后剩下哪个数?
4.在平面上有20条直线,最多把平面分割成多少部分?
5.平面上8个圆,最多把平面分成多少部分?
6.平面上8个三角形,最多把平面分成多少部分?
7.在平面上有5个四边形,最多把平面分割成多少部分?
8.某人上楼梯,一步可以上一阶或二阶,问12阶的楼梯,有多少种上法?
9.某人上楼梯,一步可以上一阶或三阶,问10阶楼梯,有多少种上法?
10.某人上楼梯,一步可以上一阶、二阶或三阶,问10阶楼梯,有多少种上法?
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