高中数学 第一章 122空间中的平行关系二基础过关训练 新人教B版必修2.docx
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高中数学第一章122空间中的平行关系二基础过关训练新人教B版必修2
2019-2020年高中数学第一章1.2.2空间中的平行关系
(二)基础过关训练新人教B版必修2
一、基础过关
1.以下说法(其中a,b表示直线,α表示平面)
①若a∥b,b⊂α,则a∥α;
②若a∥α,b∥α,则a∥b;
③若a∥b,b∥α,则a∥α;
④若a∥α,b⊂α,则a∥b.
其中正确说法的个数是( )
A.0B.1
C.2D.3
2.a,b是两条异面直线,P是空间一点,过P作平面与a,b都平行,这样的平面( )
A.只有一个B.至多有两个
C.不一定有D.有无数个
3.两条直线都和一个平面平行,则这两条直线的位置关系是( )
A.平行B.相交
C.异面D.以上均可能
4.
如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是棱AA1和BB1
的中点,过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G、H,则HG
与AB的位置关系是( )
A.平行
B.相交
C.异面
D.平行和异面
5.
如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1的面中:
(1)与直线AB平行的平面是__________________;
(2)与直线AA1平行的平面是_______________________________;
(3)与直线AD平行的平面是_____________________________________________.
6.
如图所示,ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体,M、N分别是
下底面的棱A1B1,B1C1的中点,P是上底面的棱AD上的一点,AP
=
,过P,M,N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,则PQ=
____________.
7.如图所示,
ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC
的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH,
求证:
AP∥GH.
8.如图所示,三棱锥A—BCD被一平面所截,截面为平行四边形EFGH.
求证:
CD∥平面EFGH.
二、能力提升
9.过平行六面体ABCD-A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线,其中与平面DBB1D1平行的直线共有( )
A.4条B.6条
C.8条D.12条
10.
如图所示,平面α∩β=l1,α∩γ=l2,β∩γ=l3,l1∥l2,下列说法正确的
是( )
A.l1平行于l3,且l2平行于l3
B.l1平行于l3,且l2不平行于l3
C.l1不平行于l3,且l2不平行于l3
D.l1不平行于l3,但l2平行于l3
11.如图所示,已知A、B、C、D四点不共面,且AB∥平面α,CD∥α,AC∩α=E,AD∩α=F,BD∩α=H,BC∩α=G,则四边形EFHG的形状是________.
12.如图,过正方体ABCD—A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1.
求证:
BB1∥EE1.
三、探究与拓展
13.
如图所示,P为平行四边形ABCD所在平面外一点,M、N分别为
AB、PC的中点,平面PAD∩平面PBC=l.
(1)求证:
BC∥l;
(2)MN与平面PAD是否平行?
试证明你的结论.
答案
1.A 2.C 3.D 4.A
5.
(1)平面A1C1和平面DC1
(2)平面BC1和平面DC1 (3)平面B1C和平面A1C1
6.
a
7.证明 如图所示,连接AC交BD于O,连接MO,
∵ABCD是平行四边形,
∴O是AC中点,又M是PC的中点,
∴AP∥OM.
根据直线和平面平行的判定定理,
则有PA∥平面BMD.
∵平面PAHG∩平面BMD=GH,
根据直线和平面平行的性质定理,
∴PA∥GH.
8.证明 ∵四边形EFGH为平行四边形,∴EF∥GH.
又GH⊂平面BCD,EF⊄平面BCD.
∴EF∥平面BCD.
而平面ACD∩平面BCD=CD,EF⊂平面ACD,
∴EF∥CD.
而EF⊂平面EFGH,CD⊄平面EFGH,
∴CD∥平面EFGH.
9.D 10.A
11.平行四边形
12.证明 ∵BB1∥CC1,BB1⊄平面CDD1C1,CC1⊂平面CDD1C1,
∴BB1∥平面CDD1C1,
又BB1⊂平面BEE1B1,且平面BEE1B1∩平面CDD1C1=EE1,
∴BB1∥EE1.
13.
(1)证明 因为BC∥AD,AD⊂平面PAD,
BC⊄平面PAD,所以BC∥平面PAD.
又平面PAD∩平面PBC=l,BC⊂平面PBC,所以BC∥l.
(2)解 MN∥平面PAD.
证明如下:
如图所示,取PD中点E.
连接EN、AE.
又∵N为PC中点,
∴EN綊
AB,
∴EN綊AM,
∴四边形ENMA为平行四边形,
∴AE∥MN.
又∵AE⊂平面PAD,MN⊄平面PAD,
∴MN∥平面PAD.
2019-2020年高中数学第一章1.2.3函数的极值与导数练习新人教B版选修2-2
1.下列函数存在极值的是( ).
A.y=
B.y=x-exC.y=x3+x2+2x-3D.y=x3
2.函数y=1+3x-x3有( ).
A.极小值-1,极大值1B.极小值-2,极大值3
C.极小值-2,极大值2D.极小值-1,极大值3
3.函数f(x)的定义域为R,导函数f′(x)的图象如图所示,则函数f(x)( ).
A.无极大值点,有四个极小值点
B.有三个极大值点,两个极小值点
C.有两个极大值点,两个极小值点
D.有四个极大值点,无极小值点
4.函数f(x)=2x3-6x2-18x+7( ).
A.在x=-1处取得极大值17,在x=3处取得极小值-47
B.在x=-1处取得极小值17,在x=3处取得极大值-47
C.在x=-1处取得极小值-17,在x=3处取得极大值47
D.以上都不对
5.三次函数当x=1时有极大值4,当x=3时有极小值0,且函数过原点,则此函数是( ).
A.y=x3+6x2+9xB.y=x3-6x2+9x
C.y=x3-6x2-9xD.y=x3+6x2-9x
6.设方程x3-3x=k有3个不等的实根,则常数k的取值范围是________.
7.已知函数y=
,当x=________时取得极大值________;当x=________时取得极小值________.
8.函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3既有极大值又有极小值,则实数a的取值范围是________.
9.函数y=x3-6x+a的极大值为________,极小值为________.
10.求函数f(x)=x2e-x的极值.
11.已知函数y=ax3+bx2,当x=1时函数有极大值3,
(1)求a,b的值;
(2)求函数y的极小值.
12.设函数f(x)=
x3+bx2+cx+d(a>0),且方程f′(x)-9x=0的两个根分别为1,4.
(1)当a=3且曲线y=f(x)过原点时,求f(x)的解析式;
(2)若f(x)在(-∞,+∞)内无极值点,求a的取值范围.
1.下列函数存在极值的是( ).
A.y=
B.y=x-ex
C.y=x3+x2+2x-3D.y=x3
解析 A中f′(x)=-
,令f′(x)=0无解,且f(x)为双曲函数,∴A中函数无极值.B中f′(x)=1-ex,令f′(x)=0可得x=0.当x<0时,f′(x)>0;当x>0时,f′(x)<0.∴y=f(x)在x=0处取极大值,f(0)=-1.C中f′(x)=3x2+2x+2,Δ=4-24=-20<0.∴y=f(x)无极值,D也无极值.故选B.
答案 B
2.函数y=1+3x-x3有( ).
A.极小值-1,极大值1B.极小值-2,极大值3
C.极小值-2,极大值2D.极小值-1,极大值3
解析 f′(x)=-3x2+3,由f′(x)=0可得x1=1,x2=-1.
由极值的判定方法知f(x)的极大值为f
(1)=3,极小值为f(-1)=1-3+1=-1,故选D.
答案 D
3.函数f(x)的定义域为R,导函数f′(x)的图象如图所示,则函数f(x)( ).
A.无极大值点,有四个极小值点
B.有三个极大值点,两个极小值点
C.有两个极大值点,两个极小值点
D.有四个极大值点,无极小值点
解析 f′(x)的符号由正变负,则f(x0)是极大值,f′(x)的符号由负变正,则f(x0)是极小值,由图象易知有两个极大值点,两个极小值点.
答案 C
4.设方程x3-3x=k有3个不等的实根,则常数k的取值范围是________.
解析 设f(x)=x3-3x-k,则f′(x)=3x2-3.令f′(x)=0得x=±1,且f
(1)=-2-k,f(-1)=2-k,又f(x)的图象与x轴有3个交点,故
∴-2 答案 (-2,2) 5.已知函数y= ,当x=________时取得极大值________;当x=________时取得极小值________. 解析 y′=( )′= = .y′>0⇒x>2,或x<0;y′<0⇒0<x<2,且x≠1,∴y= 在x=0处取得极大值0,在x=2处取得极小值4. 答案 0 0 2 4 6.求函数f(x)=x2e-x的极值. 解 函数的定义域为R,f′(x)=2xe-x+x2·e-x·(-x)′=2xe-x-x2·e-x=x(2-x)e-x.令f′(x)=0,即x(2-x)·e-x=0;得x=0或x=2.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x (-∞,0) 0 (0,2) 2 (2,+∞) f′(x) - 0 + 0 - f(x) 极小值0 极大值4e-2 因此,当x=0时,f(x)有极小值,并且极小值为f(0)=0;当x=2时,f(x)有极大值,并且极大值为f (2)=4e-2= . 7.函数f(x)=2x3-6x2-18x+7( ). A.在x=-1处取得极大值17,在x=3处取得极小值-47 B.在x=-1处取得极小值17,在x=3处取得极大值-47 C.在x=-1处取得极小值-17,在x=3处取得极大值47 D.以上都不对 解析 f′(x)=6x2-12x-18,令f′(x)=0,解得x1=-1,x2=3.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x (-∞,-1) -1 (-1,3) 3 (3,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) 极大值 极小值 ∴当x=-1时,f(x)取得极大值,f(-1)=17;当x=3时,f(x)取得极小值,f(3)=-47. 答案 A 8.三次函数当x=1时有极大值4,当x=3时有极小值0,且函数过原点,则此函数是( ). A.y=x3+6x2+9xB.y=x3-6x2+9x C.y=x3-6x2-9xD.y=x3+6x2-9x 解析 三次函数过原点,可设f(x)=x3+bx2+cx,则f′(x)=3x2+2bx+c.由题设有 解得b=-6,c=9.∴f(x)=x3-6x2+9x,f′(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3).当x=1时,函数f(x)取得极大值4,当x=3时,函数取得极小值0,满足条件. 答案 B 9.函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3既有极大值又有极小值,则实数a的取值范围是________. 解析 ∵f′(x)=3x2+6ax+3(a+2),令3x2+6ax+3(a+2)=0,即x2+2ax+a+2=0,∵函数f(x)有极大值和极小值,∴方程x2+2ax+a+2=0有两个不相等的实数根,即Δ=4a2-4a-8>0,解得a>2或a<-1. 答案 (-∞,-1)∪(2,+∞) 10.函数y=x3-6x+a的极大值为________,极小值为________. 解析 ∵y′=3x2-6,令y′=0,得x=± ,当x<- 或x> 时,y′>0;当- <x< 时,y′<0,∴函数在x=- 时取得极大值a+4 ,在x= 时取得极小值a-4 . 答案 a+4 a-4 11.已知函数y=ax3+bx2,当x=1时函数有极大值3, (1)求a,b的值; (2)求函数y的极小值. 解 (1)y′=3ax2+2bx,当x=1时,y′=3a+2b=0,又y=a+b=3,即 解得 经检验,x=1是极大值点,符合题意,故a,b的值分别为-6,9. (2)y=-6x3+9x2,y′=-18x2+18x, 令y′=0,得x=0或x=1. ∴当x=0时,函数y取得极小值0. 12.(创新拓展)设函数f(x)= x3+bx2+cx+d(a>0),且方程f′(x)-9x=0的两个根分别为1,4. (1)当a=3且曲线y=f(x)过原点时,求f(x)的解析式; (2)若f(x)在(-∞,+∞)内无极值点,求a的取值范围. 解 由f(x)= x3+bx2+cx+d, 得f′(x)=ax2+2bx+c. ∵f′(x)-9x=ax2+(2b-9)x+c=0的两个根 分别为1,4,∴ (*) (1)当a=3时,由(*)式得 解得b=-3,c=12,又因为曲线y=f(x)过原点, 所以d=0,故f(x)=x3-3x2+12x. (2)由于a>0,∵f(x)= x3+bx2+cx+d在(-∞,+∞)内无极值点, ∴f′(x)=ax2+2bx+c≥0在(-∞,+∞)内恒成立. 由(*)式得2b=9-5a,c=4a, 又Δ=(2b)2-4ac=9(a-1)(a-9).解 得a∈[1,9],即a的取值范围为[1,9].
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