复数代数形式的乘除运算文档格式.docx
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类型一 复数代数形式的乘除运算
例1 计算:
(1)(1+i);
(2);
(3).
考点 复数的乘除法运算法则
题点 乘除法的运算法则
解
(1)(1+i)
=(1+i)
=+i
=-+i.
(2)=
===+i.
(3)=
==
===1-i.
反思与感悟
(1)按照复数的乘法法则,三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算,混合运算和实数的运算顺序一致,在计算时,若符合乘法公式,则可直接运用公式计算.
(2)根据复数的除法法则,通过分子、分母都乘以分母的共轭复数,使“分母实数化”,这个过程与“分母有理化”类似.
跟踪训练1 计算:
(1)(4-i)(6+2i)-(7-i)(4+3i);
(2)+;
解
(1)(4-i)(6+2i)-(7-i)(4+3i)
=(24+8i-6i+2)-(28+21i-4i+3)
=(26+2i)-(31+17i)=-5-15i.
(2)+
=+=i-i=0.
===-1+i.
类型二 i的运算性质
例2 计算:
(1)+2016;
(2)i+i2+…+i2017.
考点 虚数单位i及其性质
题点 虚数单位i的运算性质
解
(1)原式=+1008
=i(1+i)+(-i)1008
=i+i2+(-1)1008·
i1008
=i-1+i4×
252
=i-1+1
=i.
(2)方法一 原式==
===i.
方法二 因为in+in+1+in+2+in+3=in(1+i+i2+i3)=0(n∈N*),
所以原式=(i+i2+i3+i4)+(i5+i6+i7+i8)+…+(i2013+i2014+i2015+i2016)+i2017
=i2017=(i4)504·
i=1504·
i=i.
反思与感悟
(1)等差、等比数列的求和公式在复数集C中仍适用,i的周期性要记熟,即in+in+1+in+2+in+3=0(n∈N*).
(2)记住以下结果,可提高运算速度
①(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i;
②=-i,=i;
③=-i.
跟踪训练2
(1)2017=________.
答案 i
解析 2017=2017=2017
(2)化简i+2i2+3i3+…+100i100.
解 设S=i+2i2+3i3+…+100i100,①
所以iS=i2+2i3+…+99i100+100i101,②
①-②得
(1-i)S=i+i2+i3+…+i100-100i101
=-100i101=0-100i=-100i.
所以S===
=50-50i.
所以i+2i2+3i3+…+100i100=50-50i.
类型三 共轭复数及其应用
例3 把复数z的共轭复数记作,已知(1+2i)=4+3i,求z.
考点 共轭复数的定义与应用
题点 利用定义求共轭复数
解 设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,
由已知得(1+2i)(a-bi)=(a+2b)+(2a-b)i=4+3i,
由复数相等的定义知,得a=2,b=1,
所以z=2+i.
引申探究
例3条件改为(z+2)=4+3i,求z.
解 设z=x+yi(x,y∈R).则=x-yi,
由题意知,(x-yi)(x+yi+2)=4+3i.
得
解得或
所以z=-i或z=-i.
反思与感悟 当已知条件出现复数等式时,常设出复数的代数形式,利用复数相等的充要条件转化为实数问题求解.
跟踪训练3 已知复数z满足|z|=1,且(3+4i)z是纯虚数,求z的共轭复数.
解 设z=a+bi(a,b∈R),则|z|==1,
即a2+b2=1.①
因为(3+4i)z=(3+4i)(a+bi)=(3a-4b)+(3b+4a)i是纯虚数,所以3a-4b=0,且3b+4a≠0.②
由①②联立,解得或
所以=-i或=-+i.
1.设复数z满足iz=1,其中i为虚数单位,则z等于( )
A.-iB.i
C.-1D.1
题点 利用乘除法求复数中的未知数
答案 A
解析 z==-i.
2.若z=4+3i(i为虚数单位),则等于( )
A.1B.-1
C.+iD.-i
答案 D
解析 z=4+3i,|z|=5,=-i.
3.已知=1+i(i为虚数单位),则复数z等于( )
A.1+iB.1-i
C.-1+iD.-1-i
考点 复数四则运算的综合应用
题点 复数的混合运算
解析 因为=1+i,
所以z====-1-i.
4.设i是虚数单位,是复数z的共轭复数,若z=,则=________.
答案 -1+i
解析 z===-1-i,
所以=-1+i.
5.已知复数z满足:
z·
+2zi=8+6i,求复数z的实部与虚部的和.
题点 与共轭复数有关系的综合问题
解 设z=a+bi(a,b∈R),
则z·
=a2+b2,
∴a2+b2+2i(a+bi)=8+6i,
即a2+b2-2b+2ai=8+6i,
∴解得
∴a+b=4,
∴复数z的实部与虚部的和是4.
1.复数代数形式的乘除运算
(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式,复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律.
(2)在进行复数代数形式的除法运算时,通常先将除法写成分式的形式,再把分子、分母都乘以分母的共轭复数,化简后可得,类似于以前学习的分母有理化.
2.共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题.
3.复数问题实数化思想.
复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法,其桥梁是设复数z=a+bi(a,b∈R),利用复数相等的充要条件转化.
一、选择题
1.i为虚数单位,+++等于( )
A.0B.2i
C.-2iD.4i
解析 =-i,=i,=-i,=i,
∴+++=0.
2.复数(1+i)2(2+3i)的值为( )
A.6-4iB.-6-4i
C.6+4iD.-6+4i
解析 (1+i)2(2+3i)=2i(2+3i)=-6+4i.
3.已知复数z满足(z-1)i=1+i,则z等于( )
A.-2-iB.-2+i
C.2-iD.2+i
答案 C
解析 由(z-1)i=1+i,两边同乘以-i,则有z-1=1-i,所以z=2-i.
4.已知复数z1=3-bi,z2=1-2i,若是实数,则实数b等于( )
A.6B.-6
C.0D.
解析 ∵==
=是实数,
∴6-b=0,∴实数b的值为6,故选A.
5.已知i为虚数单位,图中复平面内的点A表示复数z,则表示复数的点是( )
A.MB.N
C.PD.Q
题点 运算结果与点的对应关系
解析 由图可知z=3+i,
所以复数====2-i表示的点是Q(2,-1).故选D.
6.设复数z满足=i,则|z|等于( )
A.1B.
C.D.2
解析 由=i,
得z====i,
|z|=|i|=1.
7.若z+=6,z·
=10,则z等于( )
A.1±
3iB.3±
i
C.3+iD.3-i
题点 与共轭复数有关的综合问题
答案 B
解析 设z=a+bi(a,b∈R),
则=a-bi,
所以解得则z=3±
i.
8.计算+的值是( )
A.0B.1
C.2iD.i
解析 原式=+
=+
=+i=+i
=+i=2i.
二、填空题
9.已知a,b∈R,i是虚数单位,若(1+i)(1-bi)=a,则的值为________.
答案 2
解析 因为(1+i)(1-bi)=1+b+(1-b)i=a,
又a,b∈R,所以1+b=a且1-b=0,
得a=2,b=1,所以=2.
10.若复数z满足(3-4i)z=4+3i(i是虚数单位),则|z|=________.
答案 1
解析 因为(3-4i)z=4+3i,
所以z====i.
则|z|=1.
11.定义一种运算:
=ad-bc.则复数
的共轭复数是________.
答案 -1-3i
解析 =3i(1+i)+2=-1+3i,
∴其共轭复数为-1-3i.
三、解答题
12.已知z,ω为复数,(1+3i)z为纯虚数,ω=,且|ω|=5,求ω.
题点 乘除法的综合应用
则(1+3i)z=a-3b+(3a+b)i.
由题意得a-3b=0,3a≠-b.
因为|ω|==5,
所以|z|==5,
将a=3b代入,解得a=15,b=5或a=-15,b=-5,
故ω=±
=±
(7-i).
13.已知复数z=1+i.
(1)设ω=z2+3-4,求ω;
(2)若=1-i,求实数a,b的值.
题点 与混合运算有关的未知数求解
解
(1)因为z=1+i,
所以ω=z2+3-4=(1+i)2+3(1-i)-4=-1-i.
(2)因为z=1+i,
所以==1-i,
即=1-i,
所以(a+b)+(a+2)i=(1-i)i=1+i,
所以解得
四、探究与拓展
14.投掷两颗骰子,得到其向上的点数分别为m和n,则复数(m+ni)(n-mi)为实数的概率为________.
答案
解析 易知(m+ni)(n-mi)=mn-m2i+n2i+mn=2mn+(n2-m2)i.
若复数(m+ni)(n-mi)为实数,
则m2=n2,即(m,n)共有(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),6种情况,
所以所求概率为=.
15.设z是虚数,ω=z+是实数,且-1<
ω<
2.
(1)求|z|的值及z的实部的取值范围;
(2)设μ=,求证:
μ为纯虚数.
题点 与四则运算有关的问题
(1)解 因为z是虚数,
所以可设z=x+yi(x,y∈R,且y≠0),
则ω=z+=(x+yi)+=x+yi+=+i.
因为ω是实数,且y≠0,
所以y-=0,
即x2+y2=1.
所以|z|=1,此时ω=2x.
又-1<
2,所以-1<
2x<
所以-<
x<
1,
即z的实部的取值范围是.
(2)证明 μ==
=
=.
又x2+y2=1,所以μ=-i.
因为y≠0,所以μ为纯虚数.
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- 关 键 词:
- 复数 代数 形式 乘除 运算