自主招生华约数学试题解析.doc
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2011年华约试题解析
一、选择题
(1)设复数z满足|z|<1且则|z|=()
解:
由得,已经转化为一个实数的方程。
解得|z|=2(舍去),。
(2)在正四棱锥P-ABCD中,M、N分别为PA、PB的中点,且侧面与底面所成二面角的正切为。
则异面直线DM与AN所成角的余弦为()
[分析]本题有许多条件,可以用“求解法”,即假设题中的一部分要素为已知,利用这些条件来确定其余的要素。
本题中可假设底面边长为已知(不妨设为2),利用侧面与底面所成二面角可确定其他要素,如正四棱锥的高等。
然后我们用两种方法,一种是建立坐标系,另一种是平移其中一条线段与另一条在一起。
解法一:
如图,设底面边长为2,则由侧面与底面所成二面角的正切为得高为。
如图建立坐标系z
O
N
M
D
C
B
A
P
y
x
,则A(1,-1,0),B(1,1,0),C(-1,1,0),D(-1,-1,0),P(0,0,),则,。
设所成的角为θ,则。
解法二:
如图,设底面边长为2,则由侧面与底面所成二面角的正切为得高为。
平移DM与AN在一起。
即M移到N,D移到CD的中点Q。
于是QN=DM=AN。
而PA=PB=AB=2,所以QN=AN=,而AQ=,容易算出等腰ΔAQN的顶角。
解法三:
也可以平移AN与DM在一起。
即A移到M,N移到PN的中点Q。
以下略。
N
M
D
C
B
A
P
Q
(3)过点(-1,1)的直线l与曲线相切,且(-1,1)不是切点,则直线l的斜率为()
此题有误,原题丢了,待重新找找。
(4)若的最小值和最大值分别为()
[分析]首先尽可能化简结论中的表达式,沿着两个方向:
①降次:
把三角函数的平方去掉;②去角:
原来含两个角,去掉一个。
解:
,可见答案是B
[分析]题目中的条件是通过三个圆来给出的,有点眼花缭乱。
我们来转化一下,就可以去掉三个圆,已知条件变为:
ΔOO1O2边O1O2上一点C,OO1、OO2延长线上分别一点A、B,使得O1A=O1C,O2B=O2C。
解法一:
连接,C在上,则,,,故
,
,。
解法二:
对于选择填空题,可以用特例法,即可以添加条件或取一些特殊值,在本题中假设两个小圆的半径相等,则,
,
,。
(6)已知异面直线a,b成60°角。
A为空间一点则过A与a,b都成45°角的平面()
A有且只有一个B有且只有两个C有且只有三个D有且只有四个
[分析]已知平面过A,再知道它的方向,就可以确定该平面了。
因为涉及到平面的方向,我们考虑它的法线,并且假设a,b为相交直线也没关系。
于是原题简化为:
已知两条相交直线a,b成60°角,求空间中过交点与a,b都成45°角的直线。
答案是4个。
(7)已知向量则的最小值为()
解:
由得
由于,可以用换元法的思想,看成关于x,y+z,y-z三个变量,变形,代入
,答案B
(8)AB为过抛物线y2=4x焦点F的弦,O为坐标原点,且,C为抛物线准线与x轴的交点,则的正切值为()
解法一:
焦点F(1,0),C(-1,0),AB方程y=x–1,与抛物线方程y2=4x联立,解得,于是
,,答案A
解法二:
如图,利用抛物线的定义,将原题转化为:
在直角梯形ABCD中,∠BAD=45°,EF∥DA,EF=2,AF=AD,BF=BC,求∠AEB。
B
G
C
E
D
A
F
。
类似的,有
,,
,答案A
解:
,,
,于是。
将,暂时将x看成常数,欲使yz取得最大值必须,于是,解这个一元函数的极值问题,时取极大值。
(10)将一个正11边形用对角线划分为9个三角形,这些对角线在正11边形内两两不相交,则()
A存在某种分法,所分出的三角形都不是锐角三角形
B存在某种分法,所分出的三角形恰有两个锐角三角形
C存在某种分法,所分出的三角形至少有3个锐角三角形
D任何一种分法所分出的三角形都恰有1个锐角三角形
解:
我们先证明所分出的三角形中至多只有一个锐角三角形。
如图,假设ΔABC是锐角三角形,我们证明另一个三角形ΔDEF(不妨设在AC的另一边)的(其中的边EF有可能与AC重合)的∠D一定是钝角。
事实上,∠D≥∠ADC,而四边形ABCD是圆内接四边形,所以∠ADC=180°-∠B,所以∠D为钝角。
这样就排除了B,C。
F
E
D
B
C
A
下面证明所分出的三角形中至少有一个锐角三角形。
D
B
C
A
假设ΔABC中∠B是钝角,在AC的另一侧一定还有其他顶点,我们就找在AC的另一侧的相邻(指有公共边AC)ΔACD,则∠D=180°-∠B是锐角,这时如果或是钝角,我们用同样的方法继续找下去,则最后可以找到一个锐角三角形。
所以答案是D。
二、解答题
解:
(I),整理得
(II)由已知,与(I)比较知。
又,,,而,
,代入得,
,,
(12)已知圆柱形水杯质量为a克,其重心在圆柱轴的中点处(杯底厚度及重量忽略不计,且水杯直立放置)。
质量为b克的水恰好装满水杯,装满水后的水杯的重心还有圆柱轴的中点处。
(I)若b=3a,求装入半杯水的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值;
(II)水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低?
为什么?
解:
不妨设水杯高为1。
(I)这时,水杯质量:
水的质量=2:
3。
水杯的重心位置(我们用位置指到水杯底面的距离)为,水的重心位置为,所以装入半杯水的水杯的重心位置为
(II)当装入水后的水杯的重心最低时,重心恰好位于水面上。
设装x克水。
这时,水杯质量:
水的质量=a:
x。
水杯的重心位置为,水的重心位置为,水面位置为,于是,解得
(13)已知函数。
令。
(I)求数列的通项公式;
(II)证明。
解:
由
(I)先求出,猜想。
用数学归纳法证明。
当n=1显然成立;假设n=k显然成立,即,则,得证。
(II)我们证明。
事实上,
。
我们注意到
,于是
(14)已知双曲线分别为C的左右焦点。
P为C右支上一点,且使。
(I)求C的离心率e;
(II)设A为C的左顶点,Q为第一象限内C上的任意一点,问是否存在常数λ(λ>0),使得恒成立。
若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由。
F
E
P
F1
2a
P
2c
F22
x
解:
如图,利用双曲线的定义,将原题转化为:
在ΔPF1F2中,,E为PF1上一点,PE=PF2,EF1=2a,F1F2=2c,求。
设PE=PF2=EF2=x,FF2=,
,,。
ΔEF1F2为等腰三角形,,于是,。
(II)
(15)将一枚均匀的硬币连续抛掷n次,以pn表示未出现连续3次正面的概率。
(I)求p1,p2,p3,p4;
(II)探究数列{pn}的递推公式,并给出证明;
(III)讨论数列{pn}的单调性及其极限,并阐述该极限的概率意义。
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