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概率论第三章答案docx
习题3T
1.已知随机变量X和為的概率分布分別为
-1
0
1
P
1
1
1
4
2
4
x2
0
1
P
1
1
2
2
而且戶{尤/=0}=1・求&和及的联合分布律.
解由P{X}X2=0}=1知P{XxX2H0}=0.因此K和基的联合分布必形
1
1
Pi
—
—1
2
2
⑵注意到P{/=0,%.=()}=(),而戶{尤=()}・P{A\=()}=-^0,所以X和星4
不独立.
2.-盒子中有3只黑球、2只红球和2只白球,在其中任取4只球.以X表示取到黑球的只数,以丫表示取到红球的只数.求/和丫的联合分布律.
解从7只球中取4球只有=35种取法.在4只球中,黑球有Z只,红
球有丿只(余下为白球4一,一j只)的取法为
C;C扌CjT,i=0,1,2,3,丿=0,1,2,,+丿W4.
于是有
c\c\c\
-J—z_
6
-35_
■35'
广2x^r()
_3
「35
-35'
gc;
3
35
~35'
厂3「l「0c3c2c2
2
C°c2c21
P{X=0yY=2}=322=—tP{X=l,Y=l}:
3535
p{x=i,y=2}=CCG==2,y=o}:
3535
F{X=2,Y=1}=WG=!
£p{x=2,y=2}:
3535
P{X=3,Y=0}=宝O,P{X=3,Y=l]
35353535
P{x=o,y=o}=p{x=o,y=i}=p{x=i,y=0}=p{x=3,y=2}=o.
xp(/f—x—9)100wpv
tuhmx)vuhmVx5:
(d)」IOOIPr.—A、—9)LrEJICImJI
一rI
xp(\Ix19)1000
=
yvK
=p「vipxp(\H)/・=丄dvxsrQ)
Z20ilA、—9)「Txp(亠—x—9)亠Tv一
・In(亠—寸)I寸)1Ie〒iirrL
Z二8
•s'尸(4—寸)T+(亠—寸)el」
Z二8ip〔M—寸)7—(4—寸)(4—9)1」
r-—x(\—9)」l00
ip
(owcrx)s7H(寸wx+xs:
MEloo—en剧MG—寸v/亠V07VXVWOS-•£>黑*«匣(寸ox(zo)w凶论畏gONEH)、m逐凶心H-镒泗去皂床•寸H\+X®M址(寸)
图3-8第4题积分区域
kxy,十
0,其它.
4.二维随机变量(X,Y)的概率密度为
/(X』)=
试确定并求P[(X,Y)eG},G:
x2WyWx,0WxWl.
解由1=Jjf(x,y)dxdy=drj,kxydy=—j0-^(1-x4)dx=—t
os2o6
解得k=6.
因而
F{(X,Y)wG}=J;drJ:
6xydy=3j\(x2
5・设二维随机变量(X丫)概率密度为
求关于X和丫边缘概率密度.
解(儿Y)的概率密度/(xj)在区域G:
OWxWl,OWyWx外取零值•因而,
试求:
(i)x和丫的联合概率分布;
(2)P{X+Y^1}.
解
(1)见本章第三节三(4).
(2)P{X+yWl}=\-P{X+Y>\}=\-P{X=\,Y=\}=1--=-.
44
p(r^2}=P{r=i}+P{y=2}=o.i+o.3+o+o+o.2=o.6.
P[X^2,Y^2}=P[X=2,Y=}}+P[X=2JY=2}
+P{X=3,Y=l}+P{X=3yY=2}=0.3+0+0+0.2=0.5・
因此
2.设平面区域D由曲线_y=丄及直线y=0,x=l,x=e2所围成,二维随机变量3,X)
X
在区域Q上服从均匀分布,求(XX)关于X的边缘概率密度在x=2处的值・
解由题设知D的面积为丄dx=lnx|"=2.
—,(x,y)eDy因此(XX)的密度为/(x,y)=<2
0,其它.
f
+8
11
—dy=—・故°2「2x
f(x.y)dy・
显然,当XW1或兀头2时,厶,(兀)=0;当1vjcvM时,厶d)=F
A
(2)=~-
3.设二维随机变戢(X,K)的概率密度为
1,0 0,其它. 求: ⑴区”的边缘概率密度fxMJr(y^ (2)F{YW 22 解 (1)当0vxvin寸,fx(x)=f(x,y)dy=£dy=2x;当xWO时或x$l时,/y(x)=0. fxM= 2x,0vxv1, 0,其它. f(x9y)dx=(ydx=l-^- 22 当yWO吋或y$2时,/;(y)=O. y亠 I——,0 故fy(y)=2 0,其它. (2)当zWO时,巧(z)=o;当z$2时,巧(Z)=l; 当()VV2时,F7(z)=P{2X-Y^z}=JJ/(x,y)d.xdy z 胡dxfl.dy+關仁1.® 2 Z" =Z・ 4 1—90 厶⑵=FXz)=2 0,其它. 4.设G是由直线尸X,尸3,x=\所围成的三角形区域,二维随机变fi(X,y)在Gt服从二维均匀分布.求: (1)(X7)的联合概率密度; (2)P{Y-X^\};(3)关于X的边缘概率密度. 解⑴由于三角形区域G的面积等于2,所以(X,Y)的概率密度为 ⑵记区域D={(x,y)\y-x^\]与G的交集为G(),则 其中Sg°为Go的面积. 当X.1,3]时,几(x)=「: ⑪J(3-X). Jx22 当xv1或x>3时,/丫(x)=0.因此./\W=<2(1_%),XE卩⑶’ 0,其它. 习题3-3 1.设X与Y柑互独立,且分布律分别为下表: X -1 1 ~2 0 Y 0 2 5 6 P 1 1 1 1 1 2 1 —— —— —— P — — — 2 3 6 4 4 5 10 求二维随机变最(儿Y)的分布律. 解由于X与丫相互独立,所以冇 P{X=Xi,Y=y.}=P{X=xi}-P{Y=yj},i==0,2,5,6. J 因此可得二维随机变量(X.Y)的联合分布律 -1 1 2 0 0 1 1 1 8 12 24 1 1 1 2 8 12 24 5 1 2 1 5 15 15 1 1 1 6 20 30 乔 2.设(X,K)的分布律如下表: 9 1 18 PirA-〃•丿(匸12丿二123)・ 2 —G+#=匕 故可得方程组3 11z1 _=_•(□+_)・ 1939 21 解得ex=—,0=—. 99 匚因此当 21 经检验,当CX=—,P=—吋,对于所有的匸1,2;7=1,2,3均有Pij=Pi,p.jbX.i 21 a=_,p=—时.x与y相互独立•• 99 0 3.设随机变量Y的概率密度为\be(x+y\ (1)试确定常数b・ (2)求边缘概率密度fx(x)yfY(y). (3)问X与Y是否相互独立? 解⑴由 1=jJf(x,y)dxdy=j^e_ l-e_, e~v ⑵人⑴=f/(X,y)dy J—8 其它. 0 0, .7x(^)=J/(兀丿)血= J—8 e_y,_y>0, 0,其它. ⑶由于f(x,y)=fx(x)*fY(y)f所以x与Y相互独立. 4. 设X和Y是两个相互独立的随机变量,X在(0,1)上服从均匀分布,Y的概率密度为 r 了/、丄e2,y>0, 0, 求X和Y的联合概率密度. 设关于a的二次方程为a2+2Xa+Y=0t试求。 有实根的概率. (1)由题设知X和丫的概率密度分别为 (2)方程有实根的充要条件是判别式大于等于零.即 △=4屮-4丫POoX*因此事件{方程冇实根}={X23Y}・ 下面计算P{X22Y](参见图3-3). ]X21l P{X2^Y}=jj/(x,y)6xdy=dvj(j—e2dy=£(l-e2)dx d0。 2 =l-[1e'Td.r=l->/2^[0(l)一0(0)]-0.1445.J0 习题3-4 1.设二维随机变®(XD的概率分布为 若随机事件{用0}与{x+y=i}相互独立,求常数°,h. 解首先,由题设知0.4+G+b+0.1=1.由此得G+b=0.5.此外, P{X=0}=0.4+q, />{x+r=i}=p{Ar=o,r=i}+P{Ar=i,y=o)=^+/? =o.5, P{X=0,X+Y=\}=P{X=0.Y=]}=CI. 根据题意冇 P{X=0,X-^-Y=\]=P{X=0}P{X+Y=1}, 即a=(0.4+a)x0.5.解得q=0.4"=0.1. 2. 设两个相互独立的随机变量的分布律分别为 求随机变9.z=x+y的分布律. 解随机变MZ=A^+Y的可能取值为3,5,7. Z的分布律为 P{Z=3}=P{X=l,y=2}=03.x0.6=0」8, P{Z=5}=P{X=^Y=4}-^-P{X=3,Y=2} =0.3x0.4+07x0.6=0.54' P{Z=7}=P{X=3,7=4}=0.7X0.4=0.28, 或写为 Z 3 5 7 Pz 0.18 0.54 0.28 3.随机变量X与Y相互独立,且均服从区间[0,3]上的均匀分布,求P{max{X,丫冋. 解由题意知,X与丫的概率密度均为 —,0WxW3,fM=3 0,其它. 乂由独立性,有 P{max{A>K}W1}=P{XW1}=P{X^1}P{YW1}. P{XW1戶P{YW1}= 111 故P{max{AF+y)^1}=-X-=一. 339 4.设X和Y是两个相互独立的随机变量,RX服从正态分布N@,办Y服从均匀分布U(P")(Q0),试求随机变量和Z=X+Y的概率密度. 解已知X和Y的概率密度分别为 1 xg(-oo,+oo);= 0, 1"Z-〃+q、*z_p_a、\ =—IO(—-——)-。 (一-—)I・ 2a(7(7 10.设随机变量X和丫的联合分布是正方形G={(x』)|lWxW3,lWyW3}上的均匀分布,试求随机变量U=\x-Y\的概率密度M. 解由题设知,X和丫的联合概率密度为 —,lWxW3,lWyW3, /(x,尹)=]4“ 0,其它. ■ 记F(u)为U的分布函数,参见图3-7,则有 当穴0时,F(w)=P{\X-Y\W“}=0; 当心2时,F(u)=1; 当0 F(u)=P{U^: u}=jjf(x,y)dxdy Ay|Wu 11, =-[4-2x-(2-w)-] 42 =1--(2-汀. 4 故随机变量U=\X-Y\的概率密度为 —(2—u),0v%v2,"(“)=(2 0,其它. 总习题三 1.设随机变Y)的概率密度为 1,Iy\<兀0vxv1, 0,其它. 求条件概率密度fYlx(y|兀)利几|y(兀I尹)•解首先 2x, 0, 0 1-刃 1+尹, 0, 0<^<1,-1<応0,其它. 图3-9第1题积分区域 1,y 当0vyv1时,fx^x\y)=V\-y 0,兀取其它值. 1 -y 当一IvyWOn寸,f^Y(x\y)=<\+y 0,兀取其它值. 1 当0vxv1时,厶丫(尹|兀)={2x 0, 、 P[Y=yi}=P{X=xrY=yl}^P{X=x2,Y=yl}1 所以有 P{X=xl,Y=yl}=P{Y=yl}-P{X=x2,Y=yi}=^-^=^. 在此基础上利用X和丫的独立性,有 于是 f、13 P[X=x2}=l-P{X=x.}=l__=-44 再次,利用x和丫的独立性,有 -P{X=x{}12 4 于是P{Y=y.}=l-P(Y=yx}-P{Y=y2}=\-^-^=^. 623 最后,利用/和Y的独立性,有 313 P{X=x2,Y=y2}=P{X=x2}P{Y=y2}=-x-=-; 428 P[X=x2JY=y3}=P{X=x2}P{Y=y3}=-x-=-; 〜〜434 P{X=x^Y=y.}=P{X=x.]P{Y=yy}=-x-=丄. 312 因此得到下表 ■vi 兀2 P{Y=yi}=p. y\ 1 1 1 24 8 6 1 3 1 y2 8 8 2 1 1 1 旳 — — — 12 4 3 P{X=xi)=pi. 1 4 3 4 I 3•设随机变量的概率密度为 屁一⑴+4匕兀>0,尹>0, 0,其它. (1)求常数《;⑵求(XD的分布函数;⑶计算P{0vXWl,0vYW2}; (4)计算fx(x\fy(y);(5)问随机变量X与Y是否相互独立? 解⑴由1=「8「°°/O,y)dxdy=耳「尹(1寸「e"®=卷,可得k=n. f'ff(u,v)dxdy. J—8J—8 当xWO或yWO时,有F(x,y)=0; 匸町: e*山=(1一e$)(l_ef) (1-尹)(l-e*),x>0』>0,0,其它. (3)P{0 ⑵(XX)的分布函数 当x>0,y>0时,F(x,y)=\2 F(x,y)= 4严,y>0, 0,其它. 显然y)=fx(x)-fY(j^),V(x,j;)gF,故X与Y相互独立. 4.解己知(x,y)的分布律为 1 2 3 1 0 1 6 1 12 2 1 6 1 6 1 6 3 1 12 1 6 0 注意到p{^=i}=p{y=i}=o+-+^=|,而P{x=i,Y=i}=o,可见 p{x=i,r=i)^P{y=i)P{r=i).因此X与丫不相互独立. (2)Z=X+Y的可能取值为3,4,5,6,且 p{z=3}=P{x=i,y=2}+P{x=2,y=i}=-+-=-, 663 P{Z=4}=P{X=^Y=3}+P{X=2,Y=2}+P{X=3,Y=1} 1111 =—+—i—=—、 126123 P{Z=5}=P{X=2,Y=3}+P{X=3.Y=2}=丄+丄=丄. 663 即Z=X+Y的分布律为 Z 3 4 5 P 1 1 1 1 3 3 3 (3)V=max{JV,Y]的可能取值为2,3,且 p{v=2}=p{x=1,r=2}+=2,r=1}+P{x=2,y=2}=丄, p(r=3}=i-p(r=2}=丄. 2 即V=max(X,Y)的分布律为 V 23 p 11 22 (4)U=min{X,Y}的可能取值为1,2,且 P{U=\}=P{X=\.Y=2}^P{X=\.Y=3} +P{x=3,r=i}+P{x=2,y=i}=^, P[U=2}=\-P{U=\}=-. 2 即U=min[X,Y]的分布律为 u 12 p 11 22 (5)W=U+V的可能取值为3、4,5、且 p{jr=3}=p{t/=i,r=2}=p{x=i,y=2}+P{x=2,y=i}=-, P{w=4}=P{U=l,V=3}P{U=2,V=2} =P{X=1,Y=3}+P{X=3,Y=1}+P{X=2,y=2} F{"=5}=FQ=2〃=3}=F{X=2,Y=3}+P{X=3,Y=2}=—. W 345 P 111 333 5•设二维随机变量(X,y)的概率密度为 [2-x-y,0 /(x,y)=b其它. (1)求P{X>2Y}\ (2)求Z=X+Y的概率密度.Zz(z)・ 解⑴P{X>2Y}=口/(x,^)dxdj;=JJdy^(2-x-y)dx=—.x>2y°1)? 24 (2)方法一: 先求Z的分布函数: 代(z)二P(X+YWZ)=JJ/(x,y)dxdv. x+y^z 当z<0时,FXz)<0; 当OWzvl时, 代⑵=JJ/(兀』)dvdp=£dy£'(2-兀一刃dx D\八• 当iWz<2时,巧(z)=l-JJ/(x,尹)drdy=1-Jdyj(2-x-y)dx =1—(2~z)3; 3 当zM2时,Fz⑵=1. 故Z=X+Y的概率密度为 2z-z2,0 £(z)=尺(z)=<(2-z)2,lWz<2, 0,其它. [2-x-(z-x),0 金―)%,其它 2-z,0 i0,其它. 当zWO或z? 2时,./Xz)=0; 当0 当iWz<2吋,fz(z)=f(2-z)dx=(2-z)2. Jz—1 故z=%+r的概率密度为 2z-z2,0 厶⑵=(z—2)2,1Wzv2,. 0,其它. 6.设随机变Y)得密度为 x2-\-—xy,OWxWl,0WyW2, =|3 0,其它. 试求: (1)(Xy)的分布两数; (2)(X的的两个边缘分布密度;(3)(XX)的两个条件密度;(4)概 11 率P{X+Y>\],P{Y>X}及尸{«-险一|. 22 解 (1)当xWO或)W0时,(p(x,y)=0,所以F(x,y)=0. 当() 3・ 所以F(x,y)=jJ^(w,v)dwdv=[£(w2+—wv)dv]dtz 131。 2 =—x’p兀丁二 312 当gWl』>2吋, F(x,y)=d曲,v)dwdv=J;[J;(p(u,v)dv]dii=v)dv]dw =I[J(/+-i/v)dv]du=-(2x+l)x2. 当Ql,0 F(x,y)=jj(p(u,v)dudv=£[£(p(u.v)dv]dw =£[£"(/+|wv)dv]du詁(4+. 当Ql』>2时, (z/2+如‘)du]du=1. 综上所述,分布函数为 F(x,y)=< 0, 1x2(2x4-1), A(4+y), 1, x>1,0 x>1,y>2. (2)当0WxWl吋, 久(兀) (Px(x)=匸(p(x,y)dy=£(x2+y)dy=2x2+|x,^2x2+—x,OW兀Wl, 0,其它. 当0W)W2吋, ®(y)=匚^(x,y)(ix=J;(x2+y)dx=*+*尹, (Py(P)= —+—v,0WyW2, 36 ⑶当0W)W2时,X关于Y=y的条件概率密度为 0(x』)6x2+2xy 0,其它. 0(x|y)= (PY(y)2+尹当OWxWl时,Y关于%=x的条件概率密度为0(刃力=如卫=4 (Px36x+2 ⑷参见图3-10. P{X+Y>1}=JJ(p(x.y)dxdy=j'dx£(x2=-^| x+y>\ 同理,参见图3-11. P{Y>X}=°(x,y)dxdy=J;dx£(x2++xy)dy=g. y>x 11P{Xv丄,丫<丄}F(丄丄) P{Y<-\X<-}==—2-2_ 2 32 2p{x £2^(x)dx
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