概率论习题第三章答案.docx
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概率论习题第三章答案
第三章连续型随机变量
设随机变量的分布函数为F(x),试以F(x)表示下列概率:
(1)P(a);
(2)P(a);(3)P(a);(4)P(a)。
解:
(1)P(a)F(a0)F(a);
(2)P(
a)
F(a0);
⑶P(
a)
1F(a);
(4)P(
a)
1F(a0)。
函数F(x)
1
1
2是否可以作为某一随机变量的分布函数,如果
x
(1)
x
⑵0x
在其它场合恰当定义;
(3)
x
0,在其它场合恰当定义。
解:
(1)F(x)
在(,
)内不单调,因而不可能是随机变量的分布函数;
(2)F(x)
在(0,
)内单调下降,因而也不可能是随机变量的分布函数;
(3)F(x)
在(一
0)内单调上升、连续且,若定义
F(X)
—x0
F(x)
1
x0
则l~(x)可以是某一随机变量的分布函数。
函数sinx是不是某个随机变量的分布函数如果的取值范围为
(1)0,;
(2)0,;(3)0,3。
22
解:
⑴当x0,时,sinx0且2sinxdx1,所以sinx可以是某个随机变量的分布
20
密度;
(2)因为°sinxdx21,所以sinx不是随机变量的分布密度;
3
(3)当x,时,sinx<=0所以sinx不是随机变量的分布密度。
2
设随机变量具有对称的分布函数p(x),即p(x)=p(-x)证明:
对任意的a>0,有
(1)F(a)
&)P(
(3)P(
a)
a)
证:
1)F(
a)
F(a)土
2F(a)1;
21F(a).
a
p(x)dx
a
0p(x)dx;
1p(x)dx
1F(a)
p(x)dx
a
0
p(x)dx
p(x)dx
a
p(x)dx
&)P(
a)
a
ap(x)dx
2o
p(x)dx,由
(1)知1F(a)
1
2
1
2
a
0P(x)dx;
a
0P(x)dx
故上式右端=
⑶P(丨a)
2F(a)-1;
1-P(|a)
1-2F(a)1。
设F,x)与
F2(x)都是分布函数,证明
F(x)=aF(x)+bF(x)
也是一个分布函数,并由此讨论,分布函数是否只有离散型和连续型这两种类型证:
因为f'x)与f2(x)都是分布函数,于
F(x1)=aF1(x1)+bF2(x2)<=aF1(x1)+bF2(x2)=F(x2)
又
F(x-0)=aF1(x1-0)+bF2(x2-0)
=aF1(x)+bF2(x)=F(x)所以,F(x)也是分布函数。
取a=b=1/2,又令
F1(x)=0x<=0,1x>0F2(x)=0x<=0x0
此时
0x0
F(x)
(1x)/20x1
1x1
既然,与
F(x)对应的随机变量不是取有限个或可列个值,故
F(x)不是离散型的,而F(x)不
是连续函数,所以它也不是连续型的。
设随机变量的分布函数为
1
(1
x
x)e
x0
F(x)
0
x0
求相应的密度函数,
并求
P
(1)。
解:
d[1
(1
x
x)e]xe
x,所以相应的密度函数为
dx
xe
1)F
(1)1
0
0
2
e
设随机变量
的分布函数为
0x<0
F(x)
Ax20
x<1
0x
1
求常数A及密度函数。
解:
因为F(1-0)=F
(1)
,所以A=1,密度函数为
P(x)
2x0x<1
0其他
随机变量
的分布函数为
F(x)=A+Barctg(x).
常数A与B及相应的密度函数。
解:
因为
lim
lim
x
x
r)
因而
所以
F(x)=
arctg
p(x)
(x)
(1
x2)
已知崔机变量
的分布函数为
x0 p(x)= 2-x1 其他 (1) 求相应的分布函数F(x); 求P( 0.5),p( 1.3), P(0.2 1.2) 解: F(x) ydy ydy 12 x 2 x 1(2 y)dy x>2 1 1 (1)p(x) Ae P( 0.5) F(0.5) 1 8, P( 1.3) 1P( 1.3)1F(1.3)0.245, P(0.2 1.2)F (1.2)F(0.2)0.66 确定下列函数仲的常数 A使该函数成为一兀分布的密度函数。 0 2 hx x 1 在半径为R,球心为O的球内任去一点P,求 OP的分布函数 (2) p(x) Acos 0 x 一x一 2 其他 2 Ax 2 1 x2 (3) p(x) Ax 2 0 其他 解: (1)_ Ae 凶dx 2A exdx 0 2A1, 所以A-; 2 (2) 2A cos xdx 2A 2cosxdx 2A 1,所以A1 T 0 2 2 2 8 29 (3) Ax 2dx Axdx A 1,所以 A6。 1 2 6 29 在厶ABC中任取一点 P,P到AB的距离为,求 的分布函数 解: 作厶ABC的高CD,设CD=h当0 当0 F(x)=P(vx)=S^FBA=1-汪=1-(U)2, SABCSABCh 因此 F(x)= 43 一X3 F(x)=P( 4R3R 3 0x0 3 X F(x)=0xR R 1xR 某城市每天用电量不超过一百万度 表示每天的耗电率(即用电量除以一百万度 ),它具 有分布密度为 (x) 2 12x(1x)0x1 0其他 若该城市每天的供电量仅有80万度,求供电量不够需要的概率是多少如每天供电量为又是怎样呢 P(0.8)0812x(1x)2dx0.0272, 解: P(0.9)0912x(1x)2dx0.0037. 90万度 因此,若该城市每天的供电量为80万度,供电量不够需要的概率为,若每天的供电量为 则供电量不够需要的概率为. 设随机变量服从(0,5)上的均匀分布,求方程 90万度, 4x24x20 有实根的概率. 解: 当且仅当 (4)16 (2)0 (1) 成立时,方程4x24x 20有实根.不等式 (1)的解为: 2或1因此,该方程有实根的概率 513 P (2)P (1)P (2)5~dx-. 55 设随机变量服从正态分布N(0,1),求 (1)P(0.02 2.33); (2)P 1.85 0.04; (3)2.80 1.21 解: (1)P(0.02 2.33) (2.33) (0.02) 0.4901 0.00800.4821; ⑵P(1.85 0.04) (0.04) (1.85) (0.04)1(1.85) 0.5160(1097678) (3)P(2.80 1.21) (1.21)(2.80)1(1.21)1 (2.80) (2.80) (1.21)0.99740.88690.1105 设随机变量E服从正态分布N(108,9), (1)求P(<;
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