1、概率论第三章答案docx习题3T1.已知随机变量X和為的概率分布分別为-101P111424x201P1122而且戶尤/=0 = 1求&和及的联合分布律.解 由PXX2 =0 = 1知PXxX2 H 0 = 0.因此K和基的联合分布必形11Pi 122注意到P/ = 0, %. =() =(),而戶尤=()PA = () = - 0,所以X和星 4不独立.2.-盒子中有3只黑球、2只红球和2只白球，在其中任取4只球.以X表示取到黑球 的只数，以丫表示取到红球的只数.求/和丫的联合分布律.解 从7只球中取4球只有=35种取法.在4只球中，黑球有Z只，红球有丿只（余下为白球4 一,一 j只）的取法
2、为C；C扌 CjT, i = 0,1,2,3,丿=0,1,2, + 丿 W 4.于是有ccc- J z _6-35 _35广2 xr()_ 3 35-35 gc； 33535厂 3l0 c3c2c22Cc2c2 1PX = 0yY = 2= 3 2 2 = tPX = l,Y = l： 35 35px = i,y = 2 = CCG = = 2,y = o：35 35FX = 2,Y = 1= WG =! px = 2,y = 2： 35 35PX = 3,Y = 0 =宝O, PX = 3,Y = l35 35 35 35Px = o,y = o = px = o,y = i = px =
3、i,y = 0 = px = 3,y = 2 = o.xp(/f x 9)1 00 wpvtuh mx) vuh m V x5:(d )IOOIPr.A、9) Lr E J I CI m J I一 r Ixp( I x 19)1000=yvK=pvipxp(H)/=丄dvxsrQ)Z 2 0 ilA、 9)Txp (亠 x 9)亠Tv一 I n (亠 寸) I 寸)1 I e i i rr LZ 二 8s尸(4寸)T+(亠寸)elZ 二 8 ip M 寸)7 (4 寸)(4 9)1r-x( 9)l00ip(o wcrx)s7H (寸 wx + xs:MElooen剧 MG 寸v/亠 V07 V
4、XVWOS- 黑*匣(寸ox(zo) w凶论畏gONEH)、m逐凶心H-镒泗去皂床寸H + XM址(寸)图3-8第4题积分区域kxy,十0, 其它.4.二维随机变量（X, Y）的概率密度为/（X）=试确定并求P（X,Y）e G,G:x2WyWx,0WxWl.解 由 1 = J j f (x, y)dxdy = drj , kxydy = j0 -(1 - x4)dx = to s 2 o 6解得k = 6.因而F (X, Y) w G = J； dr J ： 6xydy = 3j(x25设二维随机变量（X 丫）概率密度为求关于X和丫边缘概率密度.解（儿Y）的概率密度/（x j）在区域G:OWx
5、Wl,OWyWx外取零值因而,试求：（i）x和丫的联合概率分布；（2）PX + Y 1.解（1）见本章第三节三（4）.（2）PX + y Wl = -PX + Y = -PX = ,Y = =1- = -.4 4p(r 2 = Pr = i+Py = 2 = o.i+o.3+o+o+o.2 = o.6.PX2,Y2 = PX = 2,Y = + PX = 2JY = 2+ PX = 3,Y = l + PX = 3yY = 2 =0.3+ 0 + 0 +0.2 = 0.5 因此2.设平面区域D由曲线_y =丄及直线y = 0,x = l,x = e2所围成，二维随机变量3, X)X在区域Q上服
6、从均匀分布，求(X X)关于X的边缘概率密度在x=2处的值解 由题设知D的面积为丄dx = lnx| =2.,(x, y)e Dy 因此(XX)的密度为 /(x, y) = 20,其它.f+81 1dy =故 2 2xf(x.y)dy 显然,当XW1或兀头2时，厶，(兀)= 0；当1 vjcvM时，厶d) = FA(2)= -3.设二维随机变戢(X, K)的概率密度为1, 0 x 1,0 j/ 2x,0,其它.求：区”的边缘概率密度fxMJr(y(2)FYW2 2解(1)当0vxvin寸,fx(x) = f(x,y)dy = dy = 2x； 当 xWO 时或x$l 时，/y(x)= 0.fx
7、 M =2x, 0 v x v 1,0, 其它.f(x9y)dx= (ydx = l-2 2当y WO吋或y $2时，/；(y) = O.y 亠I , 0 v 2,故 fy (y) = 20, 其它.(2)当 zWO 时，巧(z) = o； 当 z$2 时，巧(Z)= l;当()VV2 时，F7(z) = P2X-Yz= JJ /(x, y)d.xdyz胡 dxfl.dy + 關仁 1.2Z=Z 4, 1 9 0 z 3 时，/丫 (x) = 0. 因此 ./ W = 2(1_%)，XE 卩0, 其它.习题3-31.设X与Y柑互独立，且分布律分别为下表:X-1120Y0256P1111121P
8、23644510求二维随机变最(儿Y)的分布律.解由于X与丫相互独立，所以冇PX = Xi,Y = y. = PX = xi-PY = yj,i = = 0,2,5,6.J因此可得二维随机变量(X. Y)的联合分布律-112001118122411128122451215151511162030乔2.设(X, K)的分布律如下表:9118Pir A- 丿(匸 12 丿二123)2G + # =匕故可得方程组 311 z 1_ = _( + _)19 3 921解得 ex = , 0 =.9 9匚因此当2 1经检验，当CX = , P =吋，对于所有的匸1,2; 7=1,2,3均有Pij= Pi
9、，p.j bX.i2 1a = _,p =时.x与y相互独立9 90 x 0, 其它.3.设随机变量Y的概率密度为 be(x+y(1)试确定常数b(2)求边缘概率密度fx(x)y fY(y).(3)问X与Y是否相互独立？解由1 = j J f(x,y)dxdy = j e_dydx edye-dr = b(l-e_,),l-e_,ev人=f /(X, y)dyJ 8其它. ,0x0,0, 其它. 由于f(x,y) = fx(x)* fY(y) f所以x与Y相互独立.4.设X和Y是两个相互独立的随机变量,X在(0, 1)上服从均匀分布，Y的概率密度为r了 /、 丄e 2, y 0,0,求X和Y的
10、联合概率密度.设关于a的二次方程为a2 +2Xa + Y = 0t试求。有实根的概率. (1)由题设知X和丫的概率密度分别为(2)方程有实根的充要条件是判别式大于等于零.即 = 4屮-4丫 POoX* 因此事件方程冇实根= X2 3 Y下面计算PX2 2 Y(参见图3-3). X2 1 lPX2Y = jj/(x,y)6xdy = dvj(j e 2dy = (l-e 2 )dxd 0。2= l-1eTd.r = l- /20(l) 一 0(0) - 0.1445 . J 0习题3-41.设二维随机变(XD的概率分布为若随机事件用0与x+y=i相互独立，求常数, h.解 首先，由题设知0.4
11、+G + b +0.1 = 1.由此得G+ b = 0.5.此外，PX = 0 = 0.4 + q,/x + r = i = pAr = o,r = i + PAr = i,y = o)= +/? = o.5,PX = 0,X + Y = = PX = 0.Y = = CI.根据题意冇PX = 0,X -Y = = PX = 0PX + Y = 1,即a = (0.4 + a)x0.5.解得q = 0.4 = 0.1.2.设两个相互独立的随机变量的分布律分别为求随机变9.z = x+y的分布律.解 随机变MZ = A+ Y的可能取值为3,5,7.Z的分布律为PZ = 3 = PX = l,y
12、= 2 = 03.x0.6 = 08,PZ = 5 = PX = Y = 4- PX = 3,Y = 2= 0.3x0.4 + 07x0.6 = 0.54 PZ = 7 = PX = 3,7 = 4 = 0.7X0.4 = 0.28,或写为Z357Pz0.180.540.283.随机变量X与Y相互独立，且均服从区间0,3上的均匀分布，求 PmaxX, 丫冋.解由题意知,X与丫的概率密度均为,0WxW3, fM = 30,其它.乂由独立性，有PmaxAKW 1 =PXW 1 = PX 1 P YW1.PXW1 戶 PYW1 =1 1 1故 PmaxAF+y)1=-X- = 一.33 94.设X和
13、Y是两个相互独立的随机变量，RX服从正态分布N,办Y服从均匀分布 U(P)(Q0),试求随机变量和Z=X+Y的概率密度.解已知X和Y的概率密度分别为1xg (-oo,+oo)； =0,1 Z- + q、*z_ p_a、=I O(-)-。(一-)I 2a (7 (710.设随机变量X和丫的联合分布是正方形G=(x)|lWxW3, lWyW3上的均匀分布, 试求随机变量U=x-Y的概率密度M.解由题设知，X和丫的联合概率密度为,lWxW3,lWyW3,/(x,尹)=4 “0,其它.记F(u)为U的分布函数，参见图3-7,则有当 穴 0 时,F(w) = PX-YW“=0;当心2时,F(u) = 1
14、;当0 u2时，F(u) = PU：u= jj f(x,y)dxdyAy|W u1 1 ,= -4-2x-(2-w)-4 2= 1-(2-汀.4故随机变量U=X-Y的概率密度为(2 u), 0 v % v 2, (“)= (20, 其它.总习题三1.设随机变Y）的概率密度为1, I y 兀0 v x v 1,0,其它.求条件概率密度fYlx （y |兀）利几|y （兀I尹） 解首先2x,0,0xl, 其它.1-刃1 +尹，0,01, -1 応0, 其它.图3-9第1题积分区域1 ,yxl.当0vyv 1 时，fxxy) = V-y0, 兀取其它值.1 ,-yxl,当一IvyWOn寸，fY(xy
15、) = 00, 0, 其它.(3)P0 XWl,0 0,y 0 时，F(x,y) = 2F(x,y) =4严，y0,0, 其它.显然 y) = fx (x) - fY (j), V(x, j；) g F,故 X与 Y相互独立.4.解己知（x,y）的分布律为123101611221616163112160注意到p = i = py = i=o+-+=|,而Px=i,Y=i = o,可见px=i, r=i)Py=i)Pr=i).因此 X 与丫 不相互独立.(2)Z = X + Y的可能取值为3,4, 5, 6,且pz = 3 = Px = i,y = 2 + Px = 2,y = i = -+-=
16、-,6 6 3PZ = 4 = PX = Y = 3 + PX = 2,Y = 2 + PX = 3,Y = 11111=+ i=、12 6 12 3PZ = 5 = PX = 2,Y = 3 + PX = 3.Y = 2=丄+ 丄=丄.6 6 3即Z = X + Y的分布律为Z345P1111333(3) V = maxJV, Y的可能取值为2, 3,且pv = 2 = px = 1, r = 2 + = 2, r = 1 + Px = 2, y = 2=丄,p(r = 3 = i-p(r = 2 =丄.2即V = max(X, Y)的分布律为V2 3p1 12 2(4) U = minX,
17、Y的可能取值为1，2,且PU = = PX = .Y = 2 PX = .Y = 3+ Px = 3,r = i + Px = 2,y = i=,PU = 2 = -PU = =-.2即U = minX,Y的分布律为u1 2p1 12 2(5) W = U + V的可能取值为3、4, 5、且pjr = 3 = pt/ = i,r = 2 = px = i,y = 2 + Px = 2,y = i=-,Pw = 4 = PU = l,V = 3 PU = 2,V = 2=PX = 1,Y = 3 + PX = 3,Y = 1 + PX = 2,y = 2F=5 = FQ = 2 = 3 = FX
18、 = 2,Y = 3 + PX = 3,Y = 2= .W3 4 5P1 1 13 3 35 设二维随机变量(X, y)的概率密度为2-x-y, 0x,02Y (2)求 Z = X+Y 的概率密度.Zz(z)解 PX2Y= 口 /(x, )dxdj； = JJdy (2-x-y)dx =. x2y 1)? 24(2)方法一：先求Z的分布函数：代(z)二 P(X + YWZ)= JJ /(x,y)dxdv.x+yz当 z0 时,FXz)0;当OWzvl时,代=JJ /(兀)dvdp = dy (2 -兀一刃dxD 八当 iWz2时，巧(z) = l-JJ/(x,尹)drdy = 1-J dyj
19、(2-x-y)dx=1 (2z)3;3当zM2时,Fz=1.故Z = X+Y的概率密度为2z-z2, 0 z 1,(z) =尺(z) = (2-z)2, lWz2,0, 其它.2-x-(z-x), 0x 1, Ovz-xvl,金)%, 其它2 - z, 0 x 1, x z 1 + x,i 0, 其它.当 zWO 或 z?2 时,./Xz) = 0;当 0zi Ht, /Z(z) = (2-z)dx = z(2-z);当 iWz2吋，fz(z) = f (2-z)dx = (2-z)2.J z1故z = %+r的概率密度为2z-z2, 0 z ,PYX及尸-险一 |.22解(1)当 xWO 或
20、)W0 时，(p(x,y) = 0, 所以 F(x,y) = 0.当()2吋，F(x, y) = d 曲，v)dwdv = J； J； (p(u,v)dvdii = v)dvdw=I J(/ + -i/v)dvdu = - (2x + l)x2.当 Ql,02时，(z/2 + 如)dudu = 1.综上所述，分布函数为F(x,y) = 1, 0 1, y 2.(2)当 0 WxWl 吋，久（兀）(Px(x)=匸(p(x,y)dy = (x2 + y)dy = 2x2+|x, 2x2 +x, OW兀 Wl,0, 其它.当0W)W2吋，(y)=匚 (x, y)(ix = J； (x2 + y)dx
21、 = * + * 尹,(Py(P)=+ v, 0WyW2,36 当0W)W2时,X关于Y = y的条件概率密度为0(x)6x2 +2xy0, 其它.0（x|y） =（PY（y） 2+尹 当OWxWl时，Y关于% = x的条件概率密度为 0（刃力=如卫=4（Px3 6x + 2参见图3-10.PX + Y 1= JJ(p(x.y)dxdy = jdx (x2= -|x+y同理，参见图3-11.PY X = (x,y)dxdy = J； dx(x2 +xy)dy = g.yx11 PXv 丄,丫丄 F(丄丄)PY-X- = =2-2_2322 pxm 乞(*) _卜*+訊鼎)5 _ T2(x)dx
