人教A版必修一课件+讲义+课时作业14.docx
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人教A版必修一课件+讲义+课时作业14
1.4 充分条件与必要条件
最新课程标准:
(1)通过对典型数学命题的梳理,理解必要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关系.
(2)通过对典型数学命题的梳理,理解充分条件的意义,理解判定定理与充分条件的关系.(3)通过对典型数学命题的梳理,理解充要条件的意义,理解数学定义与充要条件的关系.
知识点一 充分条件与必要条件
一般地,“若p,则q”为真命题,是指由p通过推理可以得出q.这时,我们就说,由p可以推出q,记作p⇒q,并且说,p是q的充分条件(sufficientcondition),q是p的必要条件(necessarycondition).
如果“若p,则q”为假命题,那么由条件p不能推出结论q,记作p
q.此时,我们就说p不是q的充分条件,q不是p的必要条件.
知识点二 充要条件
如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均是真命题,即既有p⇒q,又有q⇒p,就记作p⇔q.此时,p既是q的充分条件,也是q的必要条件,我们说p是q的充分必要条件,简称为充要条件(sufficientandnecessarycondition).显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.
p与q互为充要条件时,也称“p等价于q”“q当且仅当p”等.
[教材解难]
1.教材P17思考
(1)(4)是真命题,
(2)(3)是假命题.
2.教材P18思考
不唯一,两组对边分别平行,一组对边平行且相等.
3.教材P19思考
不唯一,两组对边分别平行,两组对边分别相等,一组对边平行且相等.
4.教材P20思考
命题
(1)(4)和它的逆命题是真命题.
命题
(2)是真命题,它的逆命题是假命题.
命题(3)是假命题,它的逆命题是真命题.
5.教材P21探究
“四边形的两组对角分别相等”“四边形的两组对边分别相等”“四边形的一组对边平行且相等”和“四边形的对角线互相平分”既是“四边形是平行四边形”的充分条件,又是必要条件,所以它们都是“四边形是平行四边形”的充要条件.
[基础自测]
1.钱大姐常说“便宜没好货”,她这句话的意思是:
“不便宜”是“好货”的( )
A.充分条件 B.必要条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析:
“便宜没好货”的意思是“好货”肯定“不便宜”,所以“不便宜”是“好货”的必要条件.
答案:
B
2.设p:
x<3,q:
-1 A.充分必要条件B.充分不必要条件 C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 解析: 因为(-1,3)(-∞,3),所以p是q成立的必要不充分条件. 答案: C 3.设A、B是两个集合,则“A∩B=A”是“A⊆B”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析: A、B是两个集合,则由“A∩B=A”可得“A⊆B”,由“A⊆B”可得“A∩B=A”,所以A、B是两个集合,则“A∩B=A”是“A⊆B”的充要条件.故选C. 答案: C 4.用符号“⇒”与“ ”填空: (1)x2>1________x>1; (2)a,b都是偶数________a+b是偶数. 解析: (1)命题“若x2>1,则x>1”是假命题,故x2>1 x>1. (2)命题“若a,b都是偶数,则a+b是偶数”是真命题,故a,b都是偶数⇒a+b是偶数. 答案: (1) (2)⇒ 题型一 充分条件、必要条件、充要条件的判断 [教材P18例1、P19例2] 例1 (1)下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的p是q的充分条件? ①若四边形的两组对角分别相等,则这个四边形是平行四边形; ②若两个三角形的三边成比例,则这两个三角形相似; ③若四边形为菱形,则这个四边形的对角线互相垂直; ④若x2=1,则x=1; ⑤若a=b,则ac=bc; ⑥若x,y为无理数,则xy为无理数. (2)下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的q是p的必要条件? ①若四边形为平行四边形,则这个四边形的两组对角分别相等; ②若两个三角形相似,则这两个三角形的三边对应成比例; ③若四边形的对角线互相垂直,则这个四边形是菱形; ④若x=1,则x2=1; ⑤若ac=bc,则a=b; ⑥若xy为无理数,则x,y为无理数. 【解析】 (1)①这是一条平行四边形的判定定理,p⇒q,所以p是q的充分条件. ②这是一条相似三角形的判定定理,p⇒q,所以p是q的充分条件. ③这是一条菱形的性质定理,p⇒q,所以p是q的充分条件. ④由于(-1)2=1,但-1≠1,p q,所以p不是q的充分条件. ⑤由等式的性质知,p⇒q,所以p是q的充分条件. ⑥ 为无理数,但 × =2为有理数,p q,所以p不是q的充分条件. p⇒q由充分条件的定义来判断. (2)①这是平行四边形的一条性质定理,p⇒q,所以,q是p的必要条件. ②这是三角形相似的一条性质定理,p⇒q,所以,q是p的必要条件. ③如图,四边形ABCD的对角线互相垂直,但它不是菱形,p q,所以,q不是p的必要条件. ④显然,p⇒q,所以,q是p的必要条件. ⑤由于(-1)×0=1×0,但-1≠1,p q,所以,q不是p的必要条件. ⑥由于1× = 为无理数,但1, 不全是无理数,p q,所以,q不是p的必要条件. p⇒q由必要条件的定义来判断. 教材反思 充分条件、必要条件、充要条件的判断方法 1.定义法 (1)分清命题的条件和结论: 分清哪个是条件,哪个是结论. (2)找推式: 判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假. (3)根据推式及条件得出结论. 2.等价转化法 (1)等价法: 将命题转化为另一个与之等价的且便于判断真假的命题. (2)逆否法: 这是等价法的一种特殊情况. 若綈p⇒綈q,则p是q的必要条件,q是p的充分条件; 若綈p⇒綈q,且綈q 綈p,则p是q的必要不充分条件; 若綈p⇔綈q,则p与q互为充要条件; 若綈p 綈q,且綈q 綈p,则p是q的既不充分也不必要条件. 3.集合法: 写出集合A={x|p(x)}及B={x|q(x)},利用集合间的包含关系进行判断. 4.传递法: 若问题中出现若干个条件和结论,应根据条件画出相应的推式图,根据图中推式的传递性进行判断. 5.特殊值法: 对于选择题,可以取一些特殊值或特殊情况,用来说明由条件(结论)不能推出结论(条件),但是这种方法不适用于证明题. 跟踪训练1 指出下列各题中p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个作答). (1)p: x-3=0,q: (x-2)(x-3)=0; (2)p: 两个三角形相似,q: 两个三角形全等; (3)p: a>b,q: a+c>b+c. 解析: (1)x-3=0⇒(x-2)(x-3)=0,但(x-2)(x-3)=0 x-3=0,故p是q的充分不必要条件. (2)两个三角形相似 两个三角形全等,但两个三角形全等⇒两个三角形相似,故p是q的必要不充分条件. (3)a>b⇒a+c>b+c,且a+c>b+c⇒a>b,故p是q的充要条件. → 题型二 求条件(充分条件、必要条件和充要条件) [经典例题] 例2 使不等式2x2-5x-3≥0成立的一个充分不必要条件是( ) A.x≥0 B.x<0或x>2 C.x∈{-1,3,5} D.x≤- 或x≥3 【解析】 由2x2-5x-3≥0,得x≥3或x≤- 所以选项中只有x∈{-1,3,5}是使不等式2x2-5x-3≥0成立的一个充分不必要条件. 【答案】 C 方法归纳 本题易错的地方是颠倒充分性和必要性,根据{x|x≥3或x≤- }{x|x>2或x<0},误选B.事实上,“不等式2x2-5x-3≥0成立”为结论q,我们只需找到条件p使p⇒q且q p即可. 跟踪训练2 2x2-5x-3<0的必要不充分条件是( ) A.- B.0 C.-1 D.- 解析: 2x2-5x-3<0⇒- ∵ ∴- 答案: D 使2x2-5x-3<0成立的x为- 题型三 充分条件、必要条件、充要条件的应用 [经典例题] 例3 已知p: 2x2-3x-2≥0,q: x2-2(a-1)x+a(a-2)≥0,若p是q的充分不必要条件.求实数a的取值范围. 【解析】 令M={x|2x2-3x-2≥0}={x|(2x+1)(x-2)≥0}= ; N={x|x2-2(a-1)x+a(a-2)≥0}={x|(x-a)[x-(a-2)]≥0}={x|x≤a-2或x≥a}, 由已知p⇒q且q p,得MN. ∴ 或 解得 ≤a<2或 ≤a≤2, 即所求a的取值范围是 . ―→ 方法归纳 根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时,主要根据充分条件、必要条件、充要条件与集合间的关系,将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系,然后建立关于参数的不等式(组)进行求解. 跟踪训练3 已知M={x|(x-a)2<1},N={x|x2-5x-24<0},若M是N的充分条件,求a的取值范围. 解析: 由(x-a)2<1得,x2-2ax+(a-1)(a+1)<0, ∴a-1 则M={x|a-1 又由x2-5x-24<0得-3 则N={x|-3 ∵M是N的充分条件,∴M⊆N, ∴ 解得-2≤a≤7. 故a的取值范围是-2≤a≤7. 先求M、N,再利用充分条件得M⇒N,即M⊆N来求a的取值范围. 课时作业5 一、选择题 1.已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A⊆B”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 解析: 因为A={1,a},B={1,2,3},若a=3,则A={1,3},所以A⊆B,所以a=3⇒A⊆B;若A⊆B,则a=2或a=3,所以A⊆B a=3,所以“a=3”是“A⊆B”的充分而不必要条件. 答案: A 2.函数f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是( ) A.m=-2B.m=2 C.m=-1D.m=1 解析: 函数f(x)=x2+mx+1的图象关于x=1对称⇔- =1⇔m=-2. 答案: A 3.王昌龄的《从军行》中有两句诗: “黄沙百战穿金甲,不破楼兰终不还”.其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的( ) A.充分条件B.必要条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析: “攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件.故选B. 答案: B 4.已知p: x>1或x<-3,q: x>a,若q是p的充分不必要条件,则a的取值范围是( ) A.[1,+∞)B.(-∞,1] C.[-3,+∞)D.(-∞,-3] 解析: 令A={x|x>1或x<-3},B={x|x>a}, ∵q是p的充分不必要条件, ∴BA, ∴a≥1. 答案: A 二、填空题 5.从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个合适的填空. (1)“x2-1=0”是“|x|-1=0”的________; (2)“x<5”是“x<3”的________. 解析: (1)设A={x|x2-1=0}={-1,1},B={x||x|-1=0}={-1,1},所以A=B,即“x2-1=0”是“|x|-1=0”的充要条件. (2)设A={x|x<5},B={x|x<3},因为AB,所以“x<5”是“x<3”的必要不充分条件. 答案: (1)充要条件 (2)必要不充分条件 6.如果命题“若A则B”的否命题是真命题,而它的逆否命题是假命题,则A是B的________条件. 解析: 因为逆否命题为假,那么原命题为假,即A B,又因否命题为真,所以逆命题为真,即B⇒A,所以A是B的必要不充分条件. 答案: 必要不充分 7.函数y=x2+bx+c(x∈[0,+∞))是单调函数的充要条件是________. 解析: 对称轴x=- ≤0,即b≥0. 答案: b≥0 三、解答题 8.指出下列各题中,p是q的什么条件(在“充分不必要条件”,“必要不充分条件”,“充要条件”,“既不充分又不必要条件”中选出一种作答). (1)在△ABC中,p: ∠A>∠B,q: BC>AC; (2)对于实数x,y,p: x+y≠8,q: x≠2或y≠6; (3)已知x,y∈R,p: (x-1)2+(y-2)2=0,q: (x-1)(y-2)=0. 解析: (1)在△ABC中,显然有∠A>∠B⇔BC>AC,所以p是q的充要条件. (2)因为p⇒q,但q p,所以p是q的充分不必要条件. (3)因为p: A={(1,2)},q: B={(x,y)|x=1或y=2},AB,所以p是q的充分不必要条件. 9.已知p: x2-8x-20>0,q: x2-2x+1-m2>0(m>0),若p是q的充分而不必要条件,求正实数m的取值范围. 解析: 由命题p得: x>10或x<-2, 由命题q得: x2-2x+1-m2>0(m>0)⇔[x-(1+m)]·[x-(1-m)]>0⇔x<1-m,或x>1+m(m>0). 因为p是q的充分不必要条件, 所以p⇒q,且q p,{x|x>10或x<-2}{x|x<1-m或x>1+m(m>0)}, 所以 两等号不能同时成立,解得 即m≤3. 所以正实数m的取值范围为(0,3]. [尖子生题库] 10.求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件. 解析: (1)a=0时,可得x=- 符合题意. (2)当a≠0时,方程为一元二次方程,若方程有两个异号的实根, 则 解得a<0; 若方程有两个负的实根, 则必须满足 解得0 综上知,若方程至少有一个负的实根,则a≤1. 反之,若a≤1,则方程至少有一个负的实根. 因此,关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是a≤1.
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