版高考文科数学北师大版一轮复习教师用书第二章 第9讲 函数模型及其应用.docx
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版高考文科数学北师大版一轮复习教师用书第二章第9讲函数模型及其应用
第9讲 函数模型及其应用
一、知识梳理
1.几种常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)
二次函数模型
f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
指数函数模型
f(x)=bax+c(a,b,c为常数,
a>0且a≠1,b≠0)
对数函数模型
f(x)=blogax+c
(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)
幂函数模型
f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0,n≠0)
2.三种函数模型性质比较
y=ax(a>1)
y=logax(a>1)
y=xn(n>0)
在(0,+∞)
上的单调性
增函数
增函数
增函数
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x值增大,图象与y轴接近平行
随x值增大,图象与x轴接近平行
随n值变化而不同
常用结论
“对勾”函数f(x)=x+
(a>0)的性质
(1)该函数在(-∞,-
]和[
,+∞)上是增加的,在[-
,0)和(0,
]上是减少的.
(2)当x>0时,x=
时取最小值2
;
当x<0时,x=-
时取最大值-2
.
二、教材衍化
某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示,则下列说法中错误的是( )
A.收入最高值与收入最低值的比是3∶1
B.结余最高的月份是7月
C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同
D.前6个月的平均收入为40万元
答案:
D
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)幂函数增长比一次函数增长更快.( )
(2)在(0,+∞)内,随着x的增大,y=ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y=xα(α>0)的增长速度.( )
(3)指数型函数模型,一般用于解决变化较快,短时间内变化量较大的实际问题.( )
答案:
(1)×
(2)√ (3)√
二、易错纠偏
(1)忽视实际问题中实际量的单位、含义、范围等;
(2)建立函数模型出错.
1.某城市客运公司确定客票价格的方法是:
如果行程不超过100km,票价是0.5元/km,如果超过100km,超过100km的部分按0.4元/km定价,则客运票价y(元)与行驶千米数x(km)之间的函数关系式是.
解析:
由题意可得
y=
答案:
y=
2.生产一定数量商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)=
x2+2x+20(万元).一万件售价为20万元,为获取更大利润,该企业一个月应生产该商品数量为万件.
解析:
设利润为L(x),则利润L(x)=20x-C(x)=-
(x-18)2+142,当x=18时,L(x)有最大值.
答案:
18
用函数图象刻画变化过程(师生共研)
汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是( )
A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米
B.以相同速度行驶相同的路程,三辆汽车中,甲车消耗汽油量最多
C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油
D.某城市机动车最高限速80千米/小时,相同条件下,在该城市用丙车比用乙车更省油
【解析】 根据图象知消耗1升汽油,乙车最多行驶里程大于5千米,故选项A错;以相同速度行驶时,甲车燃油效率最高,因此以相同速度行驶相同路程时,甲车消耗汽油最少,故选项B错;甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升,行驶1小时,里程为80千米,消耗8升汽油,故选项C错;最高限速80千米/小时,丙车的燃油效率比乙车高,因此相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油,故选项D对.
【答案】 D
判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的方法
(1)构建函数模型法:
当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选图象.
(2)验证法:
根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选择符合实际情况的答案.
(2020·广州市综合检测
(一))如图,一高为H且装满水的鱼缸,其底部装有一排水小孔,当小孔打开时,水从孔中匀速流出,水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时,水流出所用时间为t,则函数h=f(t)的图象大致是( )
解析:
选B.水位由高变低,排除C,D.半缸前下降速度先快后慢,半缸后下降速度先慢后快,故选B.
二次函数、分段函数、“对勾”函数模型(师生共研)
小王大学毕业后,决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查,生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元,每生产x万件,需另投入流动成本为W(x)万元,在年产量不足8万件时,W(x)=
x2+x(万元).在年产量不小于8万件时,W(x)=6x+
-38(万元).每件产品售价为5元.通过市场分析,小王生产的商品能当年全部售完.
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式;(注:
年利润=年销售收入-固定成本-流动成本)
(2)年产量为多少万件时,小王在这一商品的生产中所获利润最大?
最大利润是多少?
【解】
(1)因为每件商品售价为5元,则x万件商品销售收入为5x万元,
依题意得,当0 L(x)=5x- -3=- x2+4x-3; 当x≥8时,L(x)=5x- -3=35- . 所以L(x)= (2)当0 (x-6)2+9. 此时,当x=6时,L(x)取得最大值L(6)=9万元. 当x≥8时,L(x)=35- ≤35-2 =35-20=15,当且仅当x= 时等号成立, 即x=10时,L(x)取得最大值15万元. 因为9<15,所以当年产量为10万件时,小王在这一商品的生产中所获利润最大,最大利润为15万元. 建模解决实际问题的三个步骤 (1)建模: 抽象出实际问题的数学模型. (2)推理、演算: 对数学模型进行逻辑推理或数学演算,得到问题在数学意义上的解. (3)评价、解释: 对求得的数学结果进行深入的讨论,作出评价、解释,返回到原来的实际问题中去,得到实际问题的解. 即: [提醒] (1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域. (2)利用模型f(x)=ax+ 求解最值时,注意取得最值时等号成立的条件. 1.某养殖场需定期购买饲料,已知该养殖场每天需要饲料200千克,每千克饲料的价格为1.8元,饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元,购买饲料每次支付运费300元.则该养殖场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少. 解: 设该养殖场x(x∈N+)天购买一次饲料能使平均每天支付的总费用最少,设总费用为y元. 因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少200×0.03=6(元),所以x天饲料的保管费与其他费用共是6(x-1)+6(x-2)+…+6=(3x2-3x)元. 从而有y= (3x2-3x+300)+200×1.8= +3x+357≥2 +357=417,当且仅当 =3x,即x=10时,y有最小值.故该养殖场10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少. 2.据气象中心观察和预测: 发生于沿海M地的台风一直向正南方向移动,其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示,过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l,梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为时间t(h)内台风所经过的路程s(km). (1)当t=4时,求s的值; (2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来; (3)若N城位于M地正南方向,且距M地650km,试判断这场台风是否会侵袭到N城,如果会,在台风发生后多长时间它将侵袭到N城? 如果不会,请说明理由. 解: (1)由题图可知,直线OA的方程是v=3t,直线BC的方程是v=-2t+70. 当t=4时,v=12,所以s= ×4×12=24. (2)当0≤t≤10时,s= ×t×3t= t2; 当10 ×10×30+(t-10)×30=30t-150; 当20 ×(t-20)×(-2t+70+30)=-t2+70t-550. 综上可知,s随t变化的规律是 s= (3)当t∈[0,10]时,smax= ×102=150<650, 当t∈(10,20]时,smax=30×20-150=450<650, 当t∈(20,35]时,令-t2+70t-550=650,解得t=30或t=40(舍去),即在台风发生30小时后将侵袭到N城. 指数、对数函数模型(师生共研) (1)(2020·陕西商洛一模)一个放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年就有 的质量发生衰变.若该物质余下质量不超过原有的1%,则至少需要的年数是( ) A.6 B.5 C.4D.3 (2)里氏震级M的计算公式为: M=lgA-lgA0,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为级;9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的倍. 【解析】 (1)设这种放射性物质最初的质量为1,经过x(x∈N)年后,剩余量是y.则有y= ,依题意得 ≤ ,整理得22x≥100,解得x≥4,所以至少需要的年数是4,故选C. (2)M=lg1000-lg0.001=3-(-3)=6. 设9级地震的最大振幅和5级地震的最大振幅分别为A1,A2,则9=lgA1-lgA0=lg ,则 =109, 5=lgA2-lgA0=lg ,则 =105,所以 =104. 即9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10000倍. 【答案】 (1)C (2)6 10000 指数型、对数型函数模型 (1)在实际问题中,有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示.通常可以表示为y=N(1+p)x(其中N为基础数,p为增长率,x为时间)的形式.解题时,往往用到对数运算,要注意与已知表格中给定的值对应求解. (2)有关对数型函数的应用题,一般都会给出函数解析式,要求根据实际情况求出函数解析式中的参数,或给出具体情境,从中提炼出数据,代入解析式求值,然后根据值回答其实际意义. 候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模地迁徙,研究某种鸟类的专家发现,该种鸟类的飞行速度v(单位: m/s)与其耗氧量Q之间的关系为: v=a+blog3 (其中a,b是实数).据统计,该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位,而其耗氧量为90个单位时,其飞行速度为1m/s. (1)求出a,b的值; (2)若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于2m/s,则其耗氧量至少要多少个单位? 解: (1)由题意可知,当这种鸟类静止时,它的速度为0m/s,此时耗氧量为30个单位,故有a+blog3 =0, 即a+b=0; 当耗氧量为90个单位时,速度为1m/s, 故a+blog3 =1,整理得a+2b=1. 解方程组 得 (2)由 (1)知,v=a+blog3 =-1+log3 .所以要使飞行速度不低于2m/s,则有v≥2,所以-1+log3 ≥2, 即log3 ≥3,解得 ≥27,即Q≥270. 所以若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于2m/s,则其耗氧量至少要270个单位. 核心素养系列6 数学建模——函数建模在实际问题中的妙用 数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程.主要包括: 在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题,分析问题、构建模型,求解结论,验证结果并改进模型,最终解决实际问题. 某新型企业为获得更大利润,须不断加大投资,若预计年利润低于10%时,则该企业就考虑转型,下表显示的是某企业几年来年利润y(百万元)与年投资成本x(百万元)变化的一组数据: 年份 2008 2009 2010 2011 … 投资成本x 3 5 9 17 … 年利润y 1 2 3 4 … 给出以下3个函数模型: ①y=kx+b(k≠0);②y=abx(a≠0,b>0,且b≠1);③y=loga(x+b)(a>0,且a≠1). (1)选择一个恰当的函数模型来描述x,y之间的关系; (2)试判断该企业年利润超过6百万元时,该企业是否要考虑转型. 【解】 (1)将(3,1),(5,2)代入y=kx+b(k≠0), 得 解得 所以y= x- . 当x=9时,y=4,不符合题意; 将(3,1),(5,2)代入y=abx(a≠0,b>0,且b≠1), 得 解得 所以y= ·( )x=2 . 当x=9时,y=2 =8,不符合题意; 将(3,1),(5,2)代入y=loga(x+b)(a>0,且a≠1), 得 解得 所以y=log2(x-1). 当x=9时,y=log28=3; 当x=17时,y=log216=4.故可用③来描述x,y之间的关系. (2)令log2(x-1)>6,则x>65. 因为年利润 <10%,所以该企业要考虑转型. 根据实际问题选择函数模型时应注意以下几点 (1)若能够根据实际问题作出满足题意的函数图象,可结合图象特征选择. (2)当研究的问题呈现先增长后减少的特点时,可以选用二次函数模型y=ax2+bx+c(a,b,c均为常数,a<0);当研究的问题呈现先减少后增长的特点时,可以选用二次函数模型y=ax2+bx+c(a,b,c均为常数,a>0). (3)对数函数(底数大于1时)增长越来越慢,而指数函数(底数大于1时)增长越来越快. 某地西红柿上市后,通过市场调查,得到西红柿的种植成本Q(单位: 元/100kg)与上市时间t(单位: 天)的数据如下表: 时间t 60 100 180 种植成本Q 116 84 116 根据上表数据,从下列函数中选取一个函数描述西红柿的种植成本Q与上市时间t的变化关系: Q=at+b,Q=at2+bt+c,Q=a·bt,Q=a·logbt. 利用你选取的函数,求: (1)西红柿种植成本最低时的上市天数是; (2)最低种植成本是元/100kg. 解析: 因为随着时间的增加,种植成本先减少后增加,而且当t=60和t=180时种植成本相等,再结合题中给出的四种函数关系可知,种植成本与上市时间的变化关系应该用二次函数Q=at2+bt+c,即Q=a(t-120)2+m描述,将表中数据代入可得 解得 所以Q=0.01(t-120)2+80,故当上市天数为120时,种植成本取到最低值80元/100kg. 答案: (1)120 (2)80 [基础题组练] 1.某电视新产品投放市场后第一个月销售100台,第二个月销售200台,第三个月销售400台,第四个月销售790台,则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是( ) A.y=100x B.y=50x2-50x+100 C.y=50×2xD.y=100log2x+100 解析: 选C.根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知,应为指数型函数模型,代入数据验证即可得.故选C. 2.已知正方形ABCD的边长为4,动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动.设点P运动的路程为x,△ABP的面积为S,则函数S=f(x)的图象是( ) 解析: 选D.依题意知当0≤x≤4时,f(x)=2x;当4 3.成都市某物流公司为了配合“北改”项目顺利进行,决定把三环内的租用仓库搬迁到北三环外重新租地建设.已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比,而每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比.据测算,如果在距离车站10千米处建仓库,这两项费用y1,y2分别是2万元和8万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站( ) A.5千米处B.4千米处 C.3千米处D.2千米处 解析: 选A.设仓库应建在离车站x千米处.因为仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比,所以令反比例系数为m(m>0),则y1= .当x=10时,y1= =2,所以m=20.因为每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比,所以令正比例系数为n(n>0),则y2=nx.当x=10时,y2=10n=8,所以n= .所以两项费用之和为y=y1+y2= + ≥2 =8,当且仅当 = ,即x=5时取等号.所以要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站5千米处.故选A. 4.某高校为提升科研能力,计划逐年加大科研经费投入.若该高校2017年全年投入科研经费1300万元,在此基础上,每年投入的科研经费比上一年增长12%,则该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元的年份是(参考数据: lg1.12≈0.05,lg1.3≈0.11,lg2≈0.30)( ) A.2020年B.2021年 C.2022年D.2023年 解析: 选B.若2018年是第一年,则第n年科研费为1300×1.12n,由1300×1.12n>2000,可得lg1.3+nlg1.12>lg2,得n×0.05>0.19,n>3.8,n≥4,即4年后,到2021年科研经费超过2000万元.故选B. 5.(2019·高考北京卷)在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2-m1= lg ,其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A.1010.1B.10.1 C.lg10.1D.10-10.1 解析: 选A.根据题意,设太阳的星等与亮度分别为m1与E1,天狼星的星等与亮度分别为m2与E2,则由已知条件可知m1=-26.7,m2=-1.45,根据两颗星的星等与亮度满足m2-m1= lg ,把m1与m2的值分别代入上式得,-1.45-(-26.7)= lg ,得lg =10.1,所以 =1010.1,故选A. 6.某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况. 加油时间 加油量(升) 加油时的累计里程(千米) 2019年5月1日 12 35000 2019年5月15日 48 35600 注: “累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程. 在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为升. 解析: 因为每次都把油箱加满,第二次加了48升油,说明这段时间总耗油量为48升,而行驶的路程为35600-35000=600(千米),故每100千米平均耗油量为48÷6=8(升). 答案: 8 7.李冶(1192-1279),真定栾城(今河北省石家庄市)人,金元时期的数学家、诗人,晚年在封龙山隐居讲学,数学著作多部,其中《益古演段》主要研究平面图形问题: 求圆的直径、正方形的边长等.其中一问: 现有正方形方田一块,内部有一个圆形水池,其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩,若方田的四边到水池的最近距离均为二十步,则圆池直径和方田的边长分别是步、步.(注: 240平方步为1亩,圆周率按3近似计算) 解析: 设圆池的半径为r步,则方田的边长为(2r+40)步,由题意,得(2r+40)2-3r2=13.75×240,解得r=10或r=-170(舍),所以圆池的直径为20步,方田的边长为60步. 答案: 20 60 8.一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元,此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元,年产量为x(x∈N+)件.当x≤20时,年销售总收入为(33x-x2)万元;当x>20时,年销售总收入为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元,则y(万元)与x(件)的函数关系式为____________,该工厂的年产量为________件时,所得年利润最大(年利润=年销售总收入-年总投资). 解析: 当0 故y= (x∈N+). 当0 答案: y= (x∈N+) 16 9.如图所示,已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀,其中AE=4米,CD=6米.为了合理利用这块钢板,在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM,使点P在边DE上. (1)设MP=x米,PN=y米,将y表示成x的函数,求该函数的解析式及定义域; (2)求矩形BNPM面积的最大值. 解: (1)作PQ⊥AF于点Q,所以PQ=8-y,EQ=x-4, 在△EDF中, = ,所以 = ,所以y=- x+10,定义域为{x|4≤x≤8}. (2)设矩形BNPM的面积为S,则S(x)=xy=x =- (x-10)2+50,所以S(x)是关于x的二次函数,且其开口向下,对称轴为x=10,所以当x∈[4,8]时,S(x)是增加的,所以当x=8时,矩形BNPM面积取得最大值48平方米. 10.某公司对营销人员有如下规定: ①年销售额x(单位: 万元)在8万元以下,没有奖金; ②年销售额x(单位: 万元),x∈[8,64]时,奖金为y万元,且y=logax,y∈[3,6],且年销售额越大,奖金越多; ③年销售额超过64万元,按年销售额的10%发奖金. (1)求奖金y关于x的函数解析式; (2)若某营销人员争取奖金y∈[4,10](单位: 万元),则年销售额x(单位: 万元)在什么范围内? 解: (1)依题意,y=logax在x∈[8,64]上为增函数,所以 解得a=2,所以y= (2)易知x≥8,当8≤x≤64时,要使y∈[4,10],则4≤log2x≤10,解得16≤x≤1024,所以16≤x≤64;当x>64时,要使y∈[4,10],则40≤x≤100,所以64 [综合题组练] 1.(创新型)我们定义函数y=[x]([x]表示不大于x的最大整数)为“下整函数”;定义y={x}({x}表示不小于x的最小整数)为“上整函数”;例如[4.3]=4,[5]=5;{4.3}=5,{5}=5.某停车场收费标准为每小时2元,即不超过1小时(包括1小时)收费2元,超过一小时,不超过2小时(包括2小时)收费4元,以此类推.若李刚停车时间为x小时,则李刚应付费为(单位: 元)( ) A.2[x+1] B.2([x]+1) C.2{x}D.{2x} 解析: 选C.如x=1时,应付费2元, 此时2[x+1]=4,2([x]+1)=4,排除A,B;当x=0.5时,付费为2元,此时{2x}=1,排除D,故选C. 2.
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