九年级数学圆心角弧弦弦心距之间的关系知识要点归纳.docx
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九年级数学圆心角弧弦弦心距之间的关系知识要点归纳
圆心
弧弦弦心距之间的关系
[知识要点归纳]
1.圆不但是轴对称图形,而且也是中心对称图形,实际上圆绕圆心旋转任意一个角度,都能够与原来的图形重合。
2.圆心角:
顶点在圆心的角叫做圆心角。
从圆心到弦的距离叫做弦心距。
3.定理:
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等。
4.推论:
在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
注意:
要正确理解和使用圆心角定理及推论。
(1)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件,若没有这一条件虽然圆心角相等,但所对的弧、弦、弦心距不一定相等。
如图,同心圆,虽然ZAOBZCOD,但AB=CD,而且AB=CD,弦心
距也不相切。
(2)要结合图形深刻理解圆心角、弧、弦、弦心距这四个概念与“所对”一词的含义,从而正确运用上述关系。
下面举四个错例:
cc
若OO中,AC=DB,则CE=FD,CEA=/DFB
这两个结论都是错误,首先
CEFD不是弦,/CEA/BFD不是圆心角,就不可以用圆
心角定理推论证明。
(3)同一条弦对应两条弧,
其中一条是优弧,一条是劣弧,同时在本定理和推论中的
“弧”是指同为劣弧或优弧,一般选择劣弧。
(4)在具体运用定理或推论解决问题时可根据需要,选择有关部分,比如“等弧所对的圆心角相等”,在“同圆中,相等的弦所对的劣弧相等”等。
5.1°的弧:
因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等,所以整个圆也被等分成360份,我
们把每一份这样的弧叫做1°的弧。
一般地,n°的圆心角对着n°的弧,n°的弧对着n°的圆心角,也就是说,圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。
止出现“.AOB二AB”之类的错误。
因为角与弧是两个不能比较变量的概念。
相等的弧一定是相同度数的弧,但相同度数的弧却不一定是相等的弧。
6.圆中弧、圆心角、弦、弦心距的不等关系
(1)在同圆或等圆中,如果弦不等,那么弦心距也就不等,大弦的弦心距较小,小弦的弦心距反而大,反之弦心距较小时,则弦较大。
当弦为圆中的最大弦(直径)时,弦心距缩小为零;当弦逐步缩小时,趋近于零时,弦心距逐步增大,趋近于半径。
(2)在同圆或等圆中,如果弧不等,那么弧所对的弦、圆心角也不等,且大弧所对的圆心角较大,反之也成立。
注意:
不能认为大弧所对的弦也较大,只有当弧是劣弧时,这一命题才能成立,半圆对的弦最大,当弧为优弧时,弧越大,对的弦越短。
7.辅助线方法小结:
(1)有弦的中点时,常连弦心距,进而可利用垂径定理或圆心角、弦、弧、弦心距关系定理;另外,证明两弦相等也常作弦心距。
(2)在计算弧的度数时,或有等弧的条件时,或证等弧时,常作弧所对的圆心角。
(3)有弧的中点或证弧的中点时,常有以下几种引辅助线的方法:
(I)连过弧中点的半径;(II)连等弧对的弦;(III)作等弧所对的圆心角。
求证:
(1)AB=CD
【典型例题】
例1.已知:
如图,在OO中,弦ABCD的延长线交于P点,P0平分/APC
(2)PA=PC
分析:
要证明两弦相等,可利用弧、圆心角、弦心距之中的一种相等来证,由于已知角平分线P0过圆心,利用弦心距相等可以解决。
证明:
(1)过0点作OMLAB于M,ONLCD于N
•/P0平分/APC
•••0M=ON
•••AB=CD(在同圆中,相等的弦心距所对的弦相等)此题还有几种变式图形,道理是一样的。
弦ABDC的交点在圆上,即B、P、D三点重合。
若P0平分/APC求证:
弦ABCD交于P点(P点在圆内)
PO平分/APC求证:
AB=CD
DP
y/|
B
例2.如图,在OO中,
AB=2CD,那么(
B
C
c~rF
B.AB:
:
2CD
cc
D.AB与2CD的大小关系不可能确定
c
cc
2CD与AB的大小。
AE二EB1AB
2
cc
A.AB2CD
cc
C.AB=2CD
c
分析:
要比较AB与2CD的大小,可以用下面两种思路进行:
C1CC
(1)把AB的一半作出来,然后比较—AB与CD的大小;
2
c
(2)把2CD作出来,变成一段弧,然后比较
解法一:
■1「1'
过O点作OF_AB于E,贝VAF=FB二一AB,2
在:
AFB中,AFFBAB,2AFAB
AFCD
cccc
.2AF2CD,即AB2CD
故选Ao
F
O*[B
CD
解法二:
1
女口图,作弦DE二CD,连结CE,贝VDE二CD二1CE
2
在CDE中,有CDDECE
2CD-CE
AB=2CD,ABCE
cccc
.ABCE,.AB2CD
A
[O1B
CE
D
cc
例3.如图,CD为OO的弦,AC=BD,OA、OB交CD于F、E
求证:
OPOF
O
F./]E
CD
AB
证法一:
连结OGOD
OC=0D,■C=D
cc
AC二BD,..COA=/BOD(等弧所对的圆心角相等)
COF=DOE
OE=OF
O
e
CD
A_B
证法二:
过0点作OMLCD于N交OO于M
cc
.CM=MD
cccc
又CA=BD,AM=MB
ZAOMZBOM
又FNO=ENO=90,ON=ON
OFN二OEN
OF=OE
O
F_E
CND
*!
D
AMB
例4.如图,OO中AB是直径,
cc
求证:
EC=2EA
D
分析:
在同圆中,要证EC=2EA,考虑分别求出EC和EA的度数,而弧的度数又等于它们所对的圆心角的度数,则关键是求出/COE/AOE的度数。
证明:
连结OE
ED//AB,CO_AB
ED_CO
'■D是CO中点
1
OE=OC,.ODOE,DEO=30
2
EOD=90-30=60
c
EC的度数是60
EOA二DEO二30
c
AE的度数是30
例5.如图,AABC是等边三角形,
ccc
AB是OO直径,AE=EF=FB,CE、CF
交AB于MNo
求证:
AM=MN=NB
1
/!
i
1
M
i
N
C
O
cc
EC=2EA
O
解析一:
也为等边三角形。
所以,.EAB二/CBA,即AE//BC,贝VAME~.〔BMC,可
求得AM」,知am是直径AB的三等分之一,同理,BN也是AB的三分之一,
BM2
故问题得证。
C
II
\
X<1X
fIliX
AM1Nb
O
\-i!
JlJ
v}/\/
E■F
证法一:
连结OEAE,设等边△ABC的边长为2a
ccc
AB为OO直径,AE=EF=FB
1c
EOA等于1AEB的度数
3
1
乙EOA180=60,AO二EO二a
3
AOE为等边三角形
证法
如图,连结OE设AC=2a,贝UAC=AB=2OB2a
CAM=AOE=60,.AC//OE
OMOEa1
AM一AC一2a一2
OMAM
AM
AM
MO
又:
EAO=•CBA=60,AE//BC
.:
AME〜.BMC
AM
AE
a
1
BM
_BC
-2a-
三
AM
1
AB
_3
同理,
BN
1
AB
3
=1AB
.MN
=AB-
--AB
3
3
.AM二MN二NB
解析二:
解析三:
要证AWMN=NB即证AMMO=2:
1,故联想到三角形的重心性质,若能证明
ACG的重心,问题得证。
(三角形的重心即为三角形三条中线的交点到顶点的距离等于
到对边中点距离的2倍)
C
AM+Nb
V;7
EF
II
证明三:
连结AE并延长交CO的延长线于G
设AC=2a,则有AE=OA=a(证法一中已证明△AOE为等边三角形)
•/AC=BC,AO=OB
•••AOLCG/CAB=ZGA=60°,AO=AO
•••△AOC2AAOG
•-OC=OG且AG^AC=2a
AE=a,•AE=EG^a
即E为AG中点,O为CG中点
•ACG的重心
221
.AMAOaAB
333
1
同理,NBAB
3
.AM二MN二NB
1.
在OO与OO'中,若.AOB=.A'O'B'中,则有()
CC
cc
A.
AB二A'B'
B.ABA'B'
r\r\
cc
C.
AB:
:
A'B'
D.AB与A'B'的大小无法比较
2.
半径为4cm,120°的圆心角所对的弦长为()
A.
5cmB.
43cmC.6cmD.33cm
3.
在同圆或等圆中,
如果圆心角/BOA等于另一个圆心角/COD勺2倍,则下列式子中能
成立的是()
A.
AB二2CD
B.AB2CD
CC
CC
C.
AB:
2CD
D.AB=2CD
4.
在OO中,圆心角/AOB=90°,点O到弦AB的距离为4,则OO的直径的长为(
A.
4.2B.
8.2C.24D.16
5.
在OO中,两弦AB A. OMON B.OM=ON C. OMON D.无法确定 【模拟试题】 -.选择题。 ) ) cc 6.如图,AB为OO的直径,CD是OO上的两点,.BAC=20,AD=CD,则/DAC 的度数是( ) D C Jrif电 f/ I/ 1jr A.70° B.45° AOB C.35°D.30° 二.填空题。 1.一条弦把圆分成1: 3两部分,则劣弧所对的圆心角的度数为。 2.一条弦等于其圆的半径,则弦所对的优弧的度数为。 3.在半径为R的圆中,垂直平分半径的弦长等于。 4.在OO中,弦CD与直径AB相交于E,且/AEC=30°,AE=1cm,BE=5cm,那么弦CD 的弦心距OMcm,弦CD的长为cm。 5.已知OO的半径为5cm,过OO内一已知点P的最短的弦长为8cm,贝UOP=。 ccc 6.已知A、BC为OO上三点,若AB、BC、CA度数之比为1: 2: 3,则/AOB=, ZBOC=,/COA=。 c1 7.已知OO中,直径为10cm,AB是OO的一,则弦AB=,AB的弦心距= 4 三.解答题。 1.如图: 已知,OA为OO的半径,AC是弦,OB丄OA并交AC延长线于B点,OA=6,OB =8,求AC的长。 O I \/ B 2.如图,ABC中,.A=70,OO在厶ABC的三边上所截得的弦长都相等,求ZBOC 的度数。 3.已知: 如图,在OO中,弦AB=CD且AB丄CD于E,BE=7,AE=3,OGLAB于G,求: OG的长? cc 4.已知: 如图,AB=CD, OE_AB,OF_CD,.OEF=25,求/OFE的度数。 c 5.如图,C是OO的直径AB上一点,过点C作弦DE使CD=CQ使AD的度数为40°,c 求BE的度数。 B ACO 6.如图: 求证: E cTSrS- 已知,OO中,AB=BC=CD,OBOC分别交ACDB于MN。 ■OMN是等腰三角形。 7.如图, OO中弦AB=CD且AB与CD交于E。 求证: DE=AE= O
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