五年级下册数学试题第十讲质数合数和分解质因数全国通用含答案解析.docx
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五年级下册数学试题第十讲质数合数和分解质因数全国通用含答案解析
第十讲质数、合数和分解质因数
10.1质数和合数
[同步巩固演练]
1、(南京市外校招生试题)若a是最小的自然数,b是最小的质数,c是最小的合数则a+b+c=。
2、把1至8这8个自然数填入图5-2大圆上的小圆圈内,使任意相邻两圆圈内数的和都是质数(绕大圆圆心旋转而变成相同的填法算一种填法)。
第2题
3、两个质数的和是99,这两个质数的积是多少?
4、两个连续自然数的积加上11,其和是一个合数,这两个自然数的和最小是多少?
5、有7个不同的质数,它们的和是偶数,其中最小的质数是几?
6、由1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字组成的九位数可以是质数吗?
7、写出10个连续自然数,个个都是合数。
8、有两个质数的积是65,它们的和是多少?
差是多少?
9、19乘以一个数积是质数;乘以另一个数积是合数,并能被1,2,3,4,…等自然数整除,问这两个数(不能是分数或小数)分别是什么数?
[能力拓展平台]
1、(全国奥赛决赛题)用1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字组成质数,如果每个数字都要用到并且只用到1次,那么,这9个数字最多能组成几质数?
2、(南京兴趣杯赛题)如果a是自然数,(a×a-4)÷7是质数,那么a的最小两个数值是几?
3、(全国竞赛题)请给出5个质数,把它们按从小到大的顺序排列起来,使每相邻两数的差都是6。
4、(北京市迎春杯试题)9个连续自然数,它们都大于80,那么其中质数至多有几个?
5、(华杯赛一决赛题)如下图,四个小三角形的顶点处有六个圆圈,如果在这些圆圈中分别填上六个质数,它们的和是20,而且每个小三角形三个顶点上填的数的和相等,问六个质数的积是多少?
第5题
6、(华杯赛试题)“哥德巴赫猜想”是说:
每个大于2偶数都可以表示成两个质数的和,问168是哪两个两位质数的和,并且其中一个的个位数是1?
7、(华杯赛复赛试题)把37拆成若干个不同数的和,有多少种不同拆法?
将每一种拆法中拆出的那些质数相乘,得到乘积中哪个最小?
8、(第五届华杯赛决赛试题)27名小运动员所穿运动服的号码恰是1,2,3…,26,27这27个自然数,这些小运动员能否站成一个圆圈,使任意两个相邻运动员之和都是质数?
说明理由。
10.2分解质因数
[同步巩固演练]
1、相邻两个自然数的乘积是756,这两个自然数分别是多少?
2、有5个连续偶数的积是3840,求这个数各是多少?
3、有5个连续奇数的积是945,求这五个数各是多少?
4、五个孩子的年龄一个比一个小1岁,他们的年龄的乘积是55440,求这五个孩子的年龄。
5、有3个自然数a、b、c,已知a×b=6,b×c=15,a×c10,则a×b×c=?
6、求自然数N,使得它能被5和49整除,并且有10个约数(包括1和本身)。
7、自然数1111155555是两个连续奇数的乘积,则这两个连续奇数的和是多少?
8、有三个自然数,最大的比最小的大6,另一个是它们的平均数,且三个数的乘积是42560,求这三个自然数。
9、五个儿童的年龄的和是37,积是18480,如果每一个儿童的年龄都不到13岁,五个儿童的年龄各是多少?
10、用几只船分三次把90袋化肥载过河去,已知每只船载的化肥袋数相同,且至少载6袋,每次应有多少只船?
每只船载多少袋化肥?
11、学生1430人参加团体体操,分成人数相等的若干队,每队人数在100人到200人之间,有几种排法?
12、某班同学在王老师带邻下去植树,学生恰好能分成人数都相等的3组,如果老师与学生每人种树的棵数一样多,共种884棵,那么每人种树多少棵?
(学生人数50人左右)
13、一些真分数的分子与分母互质,且分母的乘积是780,这样的真分数有多少个?
[能力拓展平台]
1、自然数a和b恰好都有99个自然数因数(包括1和该数本身),试问,数a×b能不能恰有1000个自然数因数(包括1和该数本身)。
2、有三个自然数,它们的和是338,积是1986,求这三个数。
3、求2310除它本身以外的最大约数。
4、自然数a乘经2376,正好是一个平方数,求a的最小值。
5、三个自然数a、b、c,已知a×b=30,b×c=35,a×c=42,求a×b×c是多少?
6、将8个数14、30、33、75、143、169、4445、4953分成两组,每组4个数,要使各组4个数的乘积相等。
则其中一组的4个数是14,、、。
7、有24盆花,分成几堆(至少分2堆),使每堆的盆数都相等,可以怎样分?
8、将750元奖金平均分给若干获奖者,如果每人所得的钱化成以角作单位的数就正好是获奖人数的12倍,求获奖人数。
9、边长是自然数,面积是165的形状不同的长方形共多少种?
10、如果两个数的积与308和450的积相等,并且这两个数同时能被30整除,求这两个数。
[全讲综合训练]
1、50以内,由1~7组成的两位数的质数共有多少个?
2、用1,2,4,5,8中的三个数字组成、最大的三位质数。
3、(“小学爱数学”大江杯赛题)100×101×102×…×199×200这101个数相乘,积的末尾上连续有多少个“0”?
4、(全国奥赛题)一个小于200的自然数,它的每位数字都是奇数,且它等于两个两位数的积,求此自然数。
5、(全国奥赛题)如果自然数有四个不同的质数,那么,这样的自然数中,最小的是几?
6、(全国数学竞赛题)在947后面添上三个不同的数字,组成一个能被2,3,5整除的六位数,这个数最小是几?
7、(全国奥赛题)找出1992的所有不同的质数,它们的和是多少?
8、(南京市兴趣杯赛题)现有四个数:
76550,76551,76552,76554,其中有两个数的乘积能被12整除,写出所有这样的两个数。
9、将60拆成10个质数之和,要求其中最大的质数尽可能小,那么其中最大质数是几?
10、从小到大写出5个质数,使后面的数都比前面的数大12。
11、两个大于10的合数的和是29,这两个合数分别是多少?
12、一个自然数a是一质数,而且a+12,a+22也是质数,那么a最小是多少?
13、(华杯赛复赛题)173□是个四位数,数学老师说:
“我在这个□中先后填入3个数字,所得到的三个四位数,依次可被9,11,6整除”,问数学老先后填入的三个数字的和是多少?
14、把26,33,34,35,63,85,91,143成若干组,要求每一组中任意两个数的最大公约数是1,那么至少要分成多少组?
15、小明家的电话号码是七位数,它恰好是几个连续质数的乘积,这个积的末四位数是前三位数的10倍,请问小明家的电话号码是多少?
16、A=61×62×63×…×86×87×88。
问A能否被6188整除?
17、(祖冲之杯赛题)如果一个数,将它的数字倒排后所得数仍是这个数,我们就称这个数为“回数”例如,22,464,25752等都是“回数”“1991”这个数具有如下两个性质:
(1)1991是一个“回数”
(2)1991可以分解成一个两位素数回数与一个三位素数回数的积,即1991=11×181,其中11,181既是回数又是素数。
在1000到2000这1000个数中,除1991外,具有性质
(1)和
(2)的整数还有哪些?
18、(华杯赛决赛二试题)已知五个数依次是13,12,15,25,20,它们每相邻的两个数相乘得四个数,这四个数相邻两个相乘得三个数,它三个数每相邻两个相乘得两个数,这两个数相乘得一个数,请问最后这个数从个位起向左数,可以连续地数到几个0(如图)
第18题
第十讲质数、合数和分解质因数
10、1质数和合数
[同步巩固演练]
1、7
a=1,b=2,c=4,故a+b+c=7
2、填法如图
相邻二圈内两数和最小可能值为1+2=3,最大可能值为8+7=15,即相邻二圆圈内数之和只能是3、5、7、11、13这5个数,于是圆圈内填的数必奇偶相间,现1可与2、4与6相邻,3可与2、4、8相邻,5可与2、6、8相邻,7可与4、6相邻,故7两边必为4、6,而8的两边必为3与5,即得到④—⑦—⑥与③—⑧—⑤这两个“短链”。
考虑1与2插入此二短链之间,④—①—⑤,④—①—③,⑥—①—⑤,⑥—①—③等均不能奇偶相间,故只能4与3相邻或5与6相邻,得6—7—4—3—8—5或4—7—6—5—8—3,在两端分别插入1与2,可得两种填法,如将此二图翻转还可得另二种类似填法(不是旋转)。
3、194
99=2+97,2×97=194
3、21
枚举试验得10×11+11=121是合数,这两个自然数的和为10+11=21。
4、2
5、一定不是质数
因为1+2+3+……+9=45是3的倍数,所以一定不是质数。
6、39916802,39916803,39916804,39916805,39916806,39916807,39916808,39916809,39916810,39916811。
设k=11×10×9×…×2×1,则k+2,k+3,k+4,…k+11为连续10个合数。
7、27
285=5×3×19,故三个质数和为5+3+19=27。
8、1和0
[能力拓展平台]
1、6个
末位数为偶数的质数只有2,其余三个偶数都不能作为质数的末位数,故至多可组成6个质数,现有43、61、89、2、5、7这6个数为质数。
2、3,11
设此质数为p,则a2=7p+4,经验算可知p=3,11。
3、5,11,17,23,29
设此质数为p,则此五个数为p、p+6、p+6×2、p+6×3、p+6×4,故p≠2,3,即p≥5。
即p=5可得一组解。
4、4个
连续9个自然数均大于80,其中至少4个偶数,其中必有3个3的倍数,3个3的倍数中必有一个是奇数,故连续9个自然数中至少有5个合数,故至多有4个质数,又101,103,107,109这四个数为质数,即从101~109这9个数中有4个质数,故知结论正确。
5、900
如图,中间三个圆圈中填的质数分别为a、b、c,由于四个小三角形中三个顶点填数和相等,故上顶点只能填c,左顶点只能填b,右顶点只能填c,左顶点只能填b,右顶点只能填a,于是可知a+b+c=10。
从而只能是填2、3、5,从而六数之积为2×2×3×3×5×5=900。
6、71、97
据已知,这两个质数的个位数分别是1与7,个位数为1的两位质数有11,31,41,61,71;
而168—11=157,168—31=137,168—41=127,168—61=107,168—71=97。
只有97是两位的质数,故本题只有惟一解。
7、10种,4325
小于37的质数有31,29,23,19,17,13,11,7,5,3,2共11个
(1)由37=31+6,而6不能用5,3,2这三数中某些数的和得出;
(2)37=29+8,而8=5+3,故得37=29+5+3;
(3)37=23+14,而14=11+3=7+5+2,故得37=23+11+3,37=23+7+5+2;
(4)37=19+18,而18=13+5=13+3+2=11+7=11+5+2,故得37=19+13+5,37=19+13+3+2,37=19+11+7,37=19+11+5+2;
(5)37=17+20,而20=13+7=13+5+2=11+7+2,故得37=17+13+7,37=17+13+2,37=17+11+7+2。
这样共得到10种拆法。
积以29×5×3=435最小
8、不能站成一圈
方法一因为质数除2以外都是奇数,但此27个数中任二个的和都不可能等于2,所以如果能站成的话,所得27个数均应为奇质数。
但若两个数的和为奇数,这两个数必一奇一偶,所以此圆上27个数必奇偶相间排列,这27个数中奇数个数应该等于偶数个数,但这27个数的奇数与偶数个数不等,从而他们不能站成一个圈。
方法二同上理由,27个质数均为奇数,故它们的和也为奇数。
但些27个质数都是由1至27中某两个数相加而得,于是1至27这27个数在和中出现了两次,即和应是(1+2+3+…+27)×2为偶数。
由于奇数不能等于偶数,故他们不能站成一圈。
10、2分解质因数
[同步巩固演练]
1、27和28
756=2×2×3×3×3×7=27×28,所以相邻两个自然数是27和28。
2、2、4、6、8、10
3840=2×2×2×2×2×2×2×2×3×5=2×4×6×8×10,所以五个连续偶数是2、4、6、8、10。
3、1、3、5、7、9
945=3×3×3×5×7=1×3×5×7×9,所五个连续奇数是1、3、5、7、9。
4、7岁、8岁、9岁、10岁、11,岁
55440=2×2×2×2×3×3×5×7×11=7×8×9×10×11,所以五个孩子的年龄是7岁、8岁、9岁、10岁、11岁
5、30
(a×b)×(b×c)×(a×c)=6×15×10
=a×a×b×b×c×c=2×3×3×5×2×5
=(a×b×c)×(a×b×c)=(2×3×5)×(2×3×5)
那么a×b×c=2×3×5=30。
6、12005
N=52—1×75—1=5×74=12005
7、33333和33335
先大概估各计一下,30000×30000=900000000<1111155555<122500000=35000×35000,
所以这两个奇数应在30000~35000之间。
将1111155555分解因数是1111155555=11111×100005=11111×3×33335=33333×33335
这两个连续奇数是33333和33335
8、32、35、38
先观察条件可知,因为最大的比最小的大6且另一个是它们的平均数,所以这三个数一个比一个大3。
再大概估计一下,因为30×30×30=2700<42560<40×40×40=64000,所以要求的三个数在30~40之间。
42560=26×5×7×19=32×35×38
这三个自然数是32、35主38
9、5岁、6岁、7岁、8岁、11,岁
18480=2×2×2×2×5×3×7×11=5×6×7×8×11,而5+6+7+8+11+37,所以五个儿童的年龄各是5岁、6岁、7岁、8岁、11,岁
10、每次2条船,每船15袋;第次3条船,每船10袋;每次5条船,每船6袋。
90=3×2×3×5=3×2×15=3×3×10=3×5×6,所以每次2条船,每船15袋;第次3条船,每船10袋;每次5条船,每船6袋。
11、3种
1430=2×5×11×13=13×110=130×11=143×10,其它都不符合条件,所以只有3种排法。
12、17棵
884=2×2×13×17=52×17,52-1=51,51=17×3,51是学生人数,每人种17棵树。
13、8个
因为780=2×2×3×5×13,所以2×2的分子上,有
,
,
共3个,2×2在分母上时
,
,
,
,
共5个,故这样的分数共有3+5=8(个)
[能力拓展平台]
1、不能恰有1000个自然数因数。
2、1、6、331
因为1986=2×3×331,而2+3+331=336,不合题意,最大的质因数是331,那么另两个数的积是6,和是7,那只能是1和6
3、1155
因为最大的约数是他本身,那么除本身以外最大的约是是2310÷2=1155
4、66
2376=2×2×2×3×3×3×11,要使它是一个平方数每个质因的个数必须是偶数,所以a最小是2×3×11=66
5、210
a×b×b×c×a×c=30×35×42
=(a×b×c)×(a×b×c)=2×3×5×5×7×2×3×7
=(2×3×5×7)×(2×3×5×7)
所以a×b×c=2×3×5×7=210
6、14、75、143、4953
14=2×730=2×3×5,33=3×11,75=3×5×5,143=11×13,169=13×134445=5×7×127,4953=3×13×127
所以含有14的组是14、75、143,4953
7、7种分法。
24=2×2×2×3=2×12=3×8=4×6=6×4=8×3=12×2=24×1所以分2堆,每堆12盆;分3堆,每堆8盆;分4堆,每堆6盆;分6堆,每堆4盆;分8堆,每堆3盆;分12堆,每堆2盆。
分24堆,每堆1盆。
8、25人
750元=7500角=2×2×3×5×5×5×5=12×25×25
所以获奖人数是25
9、4种
165=5×3×11=3×55=5×33=11×15=1×165,所以共4种
10、30种4620,60和2310,210和660,330和420
308×450=2×2×7×11×3×2×3×5×5=30×30×2×7×11=30×4620=60×2310=210×660=330×420
所以两个数为30和4620,60和2310,210和660,330和420
[全讲综合训练]
1、9
两位数的质数的个位数字只能是1,3,7,当个位数字是1时,质数为11,31,41,当个位数字是3时,质数为13,23,43;当个位数字是7时,质数为17,37,47;所以满足条件的质数共有9个。
2、821
由题意知个位数只能是1,将个位数字是1的三位数从大到小进行试验,只有821不能被2至29的任何一个质数整除,所以821是所求的最大的三位质数。
3、27个0
积的末尾连续0的个位数只与积的分解式中因数2与5的相关,在分解式中有一个“2”及一个“5”,积的末尾就有一个“0”,由于在这个积中,每隔5个数才有一个数有因子5,每2个数就有一个数有因子2,这说明积的分解式中,因子“2”比因子“5”多,所以只要考虑积的分解式中因子“5”的个数:
在100,105,110,…,200这21个数中有因子5,其中100、125、150、175、200这5个数有因数52,而125有因数53,于是积的分解式中因数“5:
共有21+5+1=27个,从而积的末尾有连续27个“0”
4、195
最小的两个二位数积为10×10=100,故所求数的百位数字为1,且这两个二位数的十位数字都必为1,个位数字为奇数,由于11×1x,(x为1,3,5,7)的积的十位数字必为x+1为偶数,故这二个两位数中没有11;又13×13=169,13×15=195,13×17>200,知只有195满足条件。
5、210
2×3×5×7=210
6、947130
因为能被2、5整除的末位是0设这个数为
,则9+4+7+a+b=20+a+b,a+b=1,4,7又要求数字不同,所以只能是4,最小的是947130
7、88
1992=23×3×83所和为2+3+83=88
8、76550×765554;76551×76552;76552×76554
76550=2×38275,76551=3×25517,76552=23×9569,76554=2×23×4253,但12=22×3,故76550×76554;76551×76552;76552×76554这三对数之积是12的倍数。
9、7
60=7+7+7+7+7+7+7+7+2+2
10、5,17,29,41,53
11、14和15
将29表示成两个大于10的数的和:
29=11+18=12+17=13+16=14+15
所以这两个合数是14和15。
12、7
从最小质数进行试验,只有当a=7时,a+12是质数,a+22也是质数,所以符合条件的最小值是7。
13、19
因为1+7+3=11,11+7=18,故□中填入数字7时,该四位数可被9整除
因为1+3=4,7+8—4=11,故□中填入数字8时,该四位数可被11整除。
因为一个数要能被6整除,则这个数应分别能被2与3整除,当□中填入0,2,34,6,8时,该四位数可被2整除,当□中填入1,4,7,时,该四位数可被3整除,故当中填入数字4时,该四位数可被6整除。
所以三次填入的数依次为7,8,4,此三数的和为19
14、至少分成三组。
26=2×13,33=3×11,34=2×17,35=5×7,63=7×32,85=5×17,91=7×13,143=11×13。
因为26,91,143都含有质因数13,所以到少应分成三组,这才保证相同的质因数不分在同一组内。
15、9699690
设电话号码为
,
,=
×1001×10=2×5×7×11×13×
因为电话号码是连续七个质数的乘积,而
是三位数,故3×17×19=969
故小明家的电话号码是9699690
16、能
因为6188=22×7×13×17,而63=7×9,65=5×13,68=22×17,63×65×68=22×7×13×17×(9×5)=6188×45
所以,6188能整除A
17、1111,1441,1661,共有三个
由于20×100=2000,故两位的素数回数只能<20,即只能是11,而11×200=2200>2000,故三位的素数回数只能是
,而11×
=
是一回数(x<9=,但使
为素数的x只能为1111,1441,1661。
18、10个0
第二行四个数依次写为13×12,12×15,15×25,25×20;第三行三个数依次为13×122×15,12×152×25,15×252×20;第四行两个数依次为13×123×153×25,12×153×253×20;第五行的数为13×124×156×254×20
13×124×156×254×20=13×34×44×36×56×58×4×5=210×310×515×13
由于最后得数的分解式中有10个因数2及15个因数5,故积可写成1010×a(a为末位数字不为0的整数),故乘积从个位起依次向左数,可以连续地得到10个0
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