第1讲计数.docx
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第1讲计数.docx
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第1讲计数
【优秀选手的条件】
(1)综合素质(身体、心理、智力)要好,特别是智力方面要过人一等;
(2)有梦想,富有吃苦精神,这是能力提升的持续动力,也是弥补
(1)的唯一机会;
(3)要有良好的非智力因素,其中包括你的爱好、志向、毅力、书写、态度与表达,并且要富有奉献与团队合作精神,要有耐得住寂寞,扛得住诱惑。
【正确的成败观】
数学竞赛与体育竞技一样讲实力,但是还要有运气。
高考可以比作马拉松,跑到终点即可,但是竞赛则如百米跨栏,要一关一关地过,有实力才能闯进下一关,加上运气才能跑得更远。
赛场上,名将落马数不胜数,比如说刘翔,就一定可以进入决赛吗?
作为你们的老师,我认为你们都是有足够的实力的,是金子总会发光的。
实力是至关重要的,没有实力,不要奢望奇迹,我们学习奥赛的过程就是提升你实力的过程!
成王败寇的道理大家都懂,但是我认为我们每一位同学都应该踏踏实实地学习,不要过多地谈论成败,没有必要让结果的变幻莫测束缚自己的手脚,抱着一颗平常心去面对。
正如著名女排教练郎平解释的女排精神:
不要去想结果,而是一分一分地争!
记得汪国真的诗《热爱生命》的一句诗词:
“我不去想是否能够成功,既然选择了远方,便只顾风雨兼程”。
【写下自己的梦想】
一个人如果没有梦想,他就是一只可怜虫!
我们应该在最美的年龄为最真的梦想去尽最大地努力!
思考清楚以后马上写下你的梦想,并为梦想而不懈努力!
请记住:
要为成功想办法,莫为失败找理由!
梦想表
梦想
最大的阻力
实现与否
下周的梦想:
本月的梦想:
本学期的梦想:
高一的梦想:
三年的梦想:
多少年后,再回首这个梦想表,你必定会有很多的收获与感慨的!
【课前思考】
1、36有多少个正约数?
36000有多少个正约数?
B
A
2、一个小区里有5×3格局的道路(如右图,隔线是道路),小明要从左下角A点出发到右上角B点,最短路径(只能向右向上走)的走法有多少种?
3、a是质数(也叫素数),b为奇数,且a10+b=2013,求a+b的值。
4、若矩形的长、宽均为正整数,且此矩形的周长与面积的数值相等,求此矩形的面积。
1.1计数原理
问题的提出:
1、威海到北京,火车4班,汽车3班,从威海到北京有多少种乘车方式?
2、威海到济南有5种乘车方式,济南到北京有4种乘车方式,我要从威海先到济南办些事情,再到北京共有几种乘车方式?
【基本理论】
一、分类加法计数原理:
完成一件事情有两类方案,在第一类方案中有m种不同的方法,在第二类方案中有n种方法,那么完成这件事情共有N=m+n种不同的方法。
注明:
1、每种方法相互独立,均能独自完成这件事情;
2、两类方案可以推广为n类;
3、分类要做到“不重不漏”;
4、分类则加。
二、分步乘法计数原理:
完成一件事情有两个步骤,在第一步中有m种不同的方法,在第二步中有n种不同方法,那么完成这件事情共有N=m×n种不同的方法。
注明:
1、每种方法相互依存,均不能独自完成这件事情;
2、两个步骤可以推广为n个步骤;
3、分步要做到“步骤完整”;
4、分步则乘。
【随堂练习】:
1、从7名女同学和9名男同学中各选一名组成乒乓球混合双打代表队,共有____种不同的组队方法。
2、有不同的语文书9本,不同的数学书7本,不同的英语书5本,从中选出不属于同一科的书两本,共有________种不同的选法。
3、用1、2、3、4四个数字可以排出_______个无重复数字的四位数,________个必须含有重复数字的四位数。
4、从1、2、3、4、5、7、9中任取两个不同的数作为分数的分子和分母,可以得到____个不同的分数。
5、2800有________个正约数,其中有__________个个位数字为0的正约数
6、乘积(a1+a2+a3)(b1+b2+b3+b4)(c1+c2+c3+c4+c5)展开后共有______项。
7、用红、黄、绿、黑、蓝五种不同的颜色的某几种给右侧
A、B、C、D、E五个区域染色,要求任何相邻的两个区域
都涂不同的颜色,则共有_____________种涂色方法。
8、5个人照相,按照下列要求,求各自共有多少种不同的站法?
(1)站成一排,共有_______种不同的站法;
(2)若甲不在左端,共有_______种不同的站法;
(3)若甲在左端或者乙在右端,共有_______种不同的站法;
(4)若甲不在左端且乙不在右端,共有_______种不同的站法;
(5)若甲始终在乙的右边(可相邻可不相邻),共有_______种不同的站法;
思考:
若站成两排,前排2个,后排3个,共有_______种不同的站法;
9、用0、1、2、3、4、5按照下列要求排数,求各自有多少数:
(1)无重复数字的四位数;
(2)三位数是偶数;
(3)无重复数字的四位数能被5整除
(4)无重复数字的四位数能被3整除
思考:
将1、2、3、4、5排成无重复数字的四位数,将它们从小到大的顺序排成一列,这些数的和为多少?
其中4213是第几个数?
1.2排列组合
问题的提出:
1、从3名同学中选出两个同学分别担任班长和团支部书记,共有多少种选法?
2、从1、2、3、4这4个数中每次选出3个数排成一个三位数,共可以得到多少个不同的三位数?
【基本理论】
一、无重复的排列:
定义:
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做一个排列,这样的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数记为
.
公式:
=
二、无重复的组合:
定义:
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组,叫做一个组合,这样的所有不同组合的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数记为
。
公式:
=
性质:
1、
2、
3、
【注】:
排列和组合的区别和联系:
例题:
一个圆周上有6个点,任何两点可连接成一条弦,若这些弦没有三条弦相交于一点,则这些弦相交形成的三角形最多有多少个?
【随堂练习】:
1、平面内有10个点,以其中每2个点为端点的线段有____条,有向线段有____条。
2、四面体的顶点和各个棱的中点共10个点,在其中取4个不共面的点,有____取法。
3、
=________,
=______________
4、有6个同学站成一排,在下列条件下,分别有多少种站法?
(1)(相邻问题捆绑法)甲、乙、丙必须相邻
(2)(不相邻问题插空法)甲、乙、丙三人互不相邻
(3)(特殊元素优先法)甲不左端且乙不在右端
(4)(对称法)甲、乙、丙从左到右顺序一定(可相邻可不相邻)
(5)甲乙两同学之间恰有2人
思考:
在正方体的8个顶点,12条棱的中点,6个面的中心以及正方体的中心共27个点中,共线的三点组的个数有多少?
1.3二项式定理
问题的提出:
(a+b)=(a+b)=a+b
(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2,
(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)=a3+3a2b+3ab2+b3,
(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)=?
【基本理论】
二项式定理:
(a+b)n=(a+b)(a+b)…(a+b)=
=
1、二项式展开式共有_____项;
2、Tr+1=__________________叫做二项式的通项,是第____项,其中_____是二项式系数;
3、由组合恒等式______可得,二项式展开式中首尾两端“等距”的两项的二项式系数相同;
4、如果二项式的幂指数n是偶数,则中间一项的二项式系数_______最大;如果二项式的幂指数n是奇数,则中间两项项的二项式系数______________最大;
5、赋值法
6、f(x)=(a+bx)n为母函数,各项系数和为_________;
奇数项的系数和为_________,偶数项的系数和为_____________;
7、常用的组合恒等式:
(1)
=_____
(2)
_____;
(3)
=_____;
【随堂练习】:
1、
的展开式按x的次幂降幂排列
(1)求第三项的二项式系数
(2)求第三项的系数
(3)求各项的系数之和
(4)求x的系数
(5)求常数项
2、用二项式定理证明:
5555+9能被8整除
3、证明:
(3+
)n的整数部分为奇数
4、计算
5.试证1999|(19981998+20002000-2001)
【作业】
1、从a、b、c、d、e五人中选1名班长,1名副班长,1名学习委员,1名纪律委员,1名文娱委员,但a不能当班长,b不能当副班长.不同选法总数为_________。
2、一生产过程有4道工序,每道工序需要安排一人照看,现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序,第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人,第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人,则不同的安排方案共有_________。
3、中央电视台“开心辞典”节目的现场观众来自四个不同的单位,分别在右
图中的A、B、C、D四个区域落座.现有四种不同颜色的服装,每个单位
的观众必须穿同色服装,且相邻区域不能同色,不相邻区域是否同色不受
限制,则不同的着装方法共有多少种?
4、某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言,要求甲、乙两人至少有一人参加.当甲乙同时参加时,他们两人的发言不能相邻.那么不同的发言顺序的种数为_________。
5、某班一天上午有4节课,每节都需要安排一名教师去上课,现从A,B,C,D,E,F6名教师中安排4人分别上一节课,第一节课只能从A、B两人中安排一人,第四节课只能从A、C两人中安排一人,则不同的安排方案共有________种.
6、在△AOB的边OA上有5个点,边OB上有6个点,加上O点共12个点,以这12个点为顶点的三角形有________个.
7、有编号分别为1、2、3、4的四个盒子和四个小球,把小球全部放入盒子.问:
(1)共有多少种放法?
(2)恰有一个空盒,有多少种放法?
(3)恰有2个盒子内不放球,有多少种放法?
8、在二项式(x2-
)5的展开式中,含x4的项的系数是多少?
9、在(
+
)n的展开式中,所有奇数项的系数之和为1024,则中间项系数是多少?
10、设(2x-1)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,求:
(1)a0+a1+a2+a3+a4;
(2)|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|;
(3)a1+a3+a5;
(4)(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)2.
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