小学数学知识概要讲解版.docx
- 文档编号:16661557
- 上传时间:2023-07-16
- 格式:DOCX
- 页数:18
- 大小:392.22KB
小学数学知识概要讲解版.docx
《小学数学知识概要讲解版.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《小学数学知识概要讲解版.docx(18页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
小学数学知识概要讲解版
小学数学知识概要
四大领域:
数与代数、空间与图形、统计与概率、实践与综合应用
数与代数
数的认识
1.整数的认识。
表示物体个数的1、2、3……都是自然数,0也是自然数,它们都是整数。
自然数的个数是无限的,没有最大的自然数,0是最小的自然数。
2.小数的意义与性质。
分母是10、100、1000……的分数都可以用小数表示。
一位小数表示十分之几,两位小数表示百分之几,三位小数表示千分之几……
小数的末尾添上“0”或者去掉“0”,小数的大小不变,这是小数的性质。
利用小数的这一性质,通常可以去掉小数末尾的0,把小数化简;也可以根据需要在小数的末尾添上0;还可以在整数个位的右下角点上小数点,再添上0,把整数改写成小数的形式。
3.分数的意义及其基本性质。
把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或几份的数叫做分数。
分数的分子和分母同时乘或除以相同的数(零除外),分数的大小不变,这是分数的基本性质。
4.百分数的认识。
表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数,也叫做百分率或百分比。
5.负数的认识。
像+4、19、+8844这样的数都是正数,像-4、-11、-7、-15这样的数都是负数。
0既不是正数,也不是负数。
“每相邻的两个计数单位间的进率都是十”,这种计数方法叫做十进制计数法。
它是“数的认识”的基本原理,其核心是“满十进一”的进位制和位值制。
复习本身是一个“串点成线”的过程,理一点明一片,明一片会一面。
例如在整理“倍数和因数”一单元内容时,就需要我们注意前后知识之间的联系:
(1)只有在这个乘法算式中的因数和积都是整数的情况下,才能讨论因数和倍数的概念。
如5×0.8=4,虽然等式成立,但不能说5和0.8是4的因数,或4是和0.8的倍数。
(2)倍数和因数是一对相互依存的概念,不能单独存在。
描述倍数或因数时必须说清楚谁是谁的倍数(或因数),如“2是12的因数,12是2的倍数”,而不是“2是因数,1是倍数”。
(3)要区分乘法算式各部分名称中的“因数”和本单元中“因数”的联系和区别。
前者是相对于“积”而言的,可以是整数,也可以是小数或分数;而后者只能是整数。
(4)要注意区分“倍数”与前面学过的“倍”的联系与区别。
“倍”的概念比“倍数要广,如我们可以说“15是3的5倍”,也可以说“1.5是0.3的倍”,但我们只能说“15是3的倍数”,却不能说“1.5是0.3的倍数”。
关系概念:
因数、倍数、质数、合数、分解质因数
数的运算
(一)四则运算。
1.四则运算的意义。
加法:
把两个数合并成一个数的运算。
减法:
已知两个加数的和与其中一个加数,求另一个加数的运算。
乘法:
一个数乘以整数&就是求几个相同加数的和的简便运算。
一个数乘以分数,就是求这个数的几分之几是多少。
除法:
已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算。
加法和减法互为逆运算&乘法和除法互为逆运算。
(错)
我们知道,减法是加法的逆运算,除法是乘法的逆运算,那么,加法是不是减法的逆运算呢,乘法是不是除法的逆运算呢?
关于这个问题,可以从运算的数学意义角度理解。
一般说运算都指代数运算,它是集合中的一种对应。
对于集合A中的有序元素对a、b,有集合A中唯一确定的第三个元素c与它们对应,叫做集合A中定义了一种运算。
(例如,(3,2)这对数按照某种法则与5相对应,这就是一种加法运算,3+2=5。
如果这对数与6相对应,就是乘法运算,3×2=6。
)
所谓逆运算,就是把c以及a、b中的一个当作已知,把a、b中的另一个当做所求的运算。
这样看来,对于前面元素对a,b与c对应的运算来说,就存在两种逆运算。
它的第一个逆运算是:
对于元素对c、b,使元素a与它们对应;它的第二个逆运算是:
对于元素对c、a,使元素b与它们对应。
如果一个运算满足交换律,即这个运算对于任意一对元素a、b或b、a,永远得到同一的结果,那么,这个运算的两个逆运算是一致的。
也就是说,在这种情况下,这个运算有唯一的逆运算。
对于整数集来说,任意两个整数的加法运算满足加法交换律,加法算式中的两个加数都可以用“和减去一个加数等于另一加数”求出来,所以加法有唯一的逆运算——减法。
例如,数对(3,2)与5对应,确定加法运算后,已知3和5,可以用减法求出2,已知2和5也可以用减法求出3。
但是,每一个运算并不都有逆运算。
例如,减法算式中的被减数和减数,只有被减数可以用“差与减数相加”这种加法运算得到,减数却不能用加法运算得到。
例如,数对(3,2)与1对应确定减法运算后,已知2和1可以用加法求出3,但已知3和1,却不能用加法求出2。
所以不能说加法是减法的逆运算,也就不能说加法和减法互为逆运算。
同样道理,我们也不能说乘法是除法的逆运算,或者乘除法是互逆运算。
2.四则运算的法则。
3.四则运算各部分之间的关系。
一个加数=和-另一个加数
被减数=差+减数减数=被减数-差
一个因数=积÷另一个因数
被除数=商×除数
除数=被除数÷商
4.四则混合运算的顺序。
在四则混合运算中,运算顺序规定如下:
(1)在一个没有括号的算式里,如果只含有同一级运算,则应按照从左到右的顺序进行计算。
(2)在一个没有括号的算式里,如果既含有第一级运算,又含有第二级运算,则应先算第二级运算,后算第一级运算。
也就是“先算乘或除,后算加或减”,简称“先乘除,后加减”。
(3)在一个有括号的算式里,应先做括号内的运算。
运算顺序是先算小括号里的算式,再算中括号里的算式,最后算大括号里的算式。
5.运算定律和性质。
简算,顾名思义能使计算简便、简洁,但简算必须要有依据,不能想当然,否则只会弄巧成拙。
运算定律和运算性质是进行简算的基本依据。
(二)解决问题。
1.解决整数、小数问题。
2.解决分数、百分数问题。
1.熟悉基本的数量关系。
解决问题的重点是分析问题,核心是分析数量关系。
2.掌握分析问题的思路和方法。
分析问题的“思路”好比解决问题的“向导”,它为我们指明了思考的方向。
其中,基本的思路有两种:
一种是“从条件想起”,另一种是“从问题想起”。
分析问题的“方法”如同解决问题的“工具”,它能帮助我们理解题意和分析数量关系。
重要的方法有:
⑴列表。
适合解决有多种情况的问题,如解决租车、租船问
题时,设计最省钱的租车、租船方案。
⑵假设。
适合解决具体数量未知的问题。
⑶画示意图。
适合解决跟图形有关的问题。
⑷画线段图。
适合解决行程问题、分数问题。
这些方法,在解决简单问题时看似作用不大,但在解决复杂问题时帮助很大。
因此,我们需要切实掌握,并会灵活运用。
3.解决问题的一般步骤。
⑴弄清题意,看清条件,明确问题。
⑵分析题里数量间的关系,确定先算什么,再算什么。
⑶确定每一步该怎样算,列出算式并计算。
⑷对答案进行检验,写答句。
式与方程
一、知识要点
1.用字母表示数。
认识用字母表示数的意义和作用,能够用字母表示学过的运算定律和计算公式,能够在具体的情境中用字母表示数和数量关系。
会根据字母所取的值,求含有字母式子的值。
2.解简易方程。
明确“方程”、“方程的解”、“解方程”的含义,会用方程表示简单情境中的等量关系,理解等式的两条基本性质———等式两边加上或减去相等的数,等式不变;等式两边同时乘或除以相同的数(0除外),等式不变。
会用等式的性质解简易方程。
3.列方程解决实际问题。
用简易方程解决一些实际问题,能根据具体情况,灵活选择算法。
上述三个知识要点中,“用字母表示数”是学习“方程”的基础,“方程的意义”是学习“解简易方程”的基础,“列方程解决实际问题”则是“解简易方程”的发展。
“列算式解”和“列方程解”是我们在解决实际问题时常用的方法。
“列算式解”的算式中全是已知数,未知数不参加列式,它是通过已知数量的加、减、乘、除,得出问题的结果;“列方程解”则是将未知数设为字母参与列式,通过列出符合题意的等式,求解等式得出问题的结果。
两种解法各有优势,我们在解决问题的过程中要根据题意,合理选择方法。
不过,在解答比较简单的分数除法实际问题时,如果用算术方法解,需要逆向思考,即从“已知一个数的几分之几是多少,求这个数”的角度去理解数量关系。
用方程解,只要根据分数乘法的意义,顺向思考,就能找到等量关系并列出方程。
所以在解决此类问题时,列方程比列算式更容易思考。
常见的量
1.货币单位。
认识货币单位元、角、分及各种面值的人民币,熟悉相邻两个单位之间的进率,会进行简单的计算。
2.时间单位。
认识时间单位世纪、年、季、月、日、时、分、秒,了解它们之间的关系,知道每个月以及平年、闰年各有多少天,会用24时计时法表示时刻,能计算简单的经过时间。
3.长度单位。
认识长度单位千米km、米m、分米dm、厘米cm、毫米mm熟悉相邻两个单位之间的进率,建立长度观念,会进行简单的单位换算。
4.质量单位。
认识质量单位吨t、千克kg、克g,建立1克和1千克的观念,熟悉相邻两个单位之间的进率,能进行简单的计算。
5.面积单位。
认识面积单位平方千米km2、公顷hm2、平方米m2、平方分米dm2、平方厘米cm2、平方毫米mm2,建立1平方米、1平方分米、1平方厘米的表象,熟悉相邻两个单位之间的进率,会进行简单的单位换算。
6.体积(容积)单位。
认识体积单位立方米m3、立方分米dm3、立方厘米cm3、立方毫米mm3,容积单位升L、毫升ml,熟悉相邻两个单位之间的进率,会进行单位之间的换算。
适度扩展:
长度单位(英里、海里、码、英寸、忽米、微米、光年等)
时间单位(传说故事。
天文历法等)
凡含有计量单位名称的数统称为名数。
名数的改写有两类:
一类是单名数之间的改写,一类是单名数与复名数之间的改写。
顾名思义,单名数是指只含有一个计量单位名称的名数;复名数是指含有两个或两个以上计量单位名称的名数。
熟练掌握名数的改写。
比和比例
一、知识要点
1.比。
比的意义,比与分数、除法的关系,比的基本性质,化简比,求比值,运用比的知识解决实际问题。
2.比例。
比例、正比例和反比例的意义,比例的基本性质,解比例,比例尺,图形的放大与缩小,用比例知识解决实际问题。
比例尺表示图上距离与实际距离的比,根据图上距离与实际距离求比例尺的方法是:
首先
依据比例尺的意义确定比的前项和后项,写出比,图上距离与实际距离位置不能写错;接着把两项化成相同的单位;最后化简比。
若要把线段比例尺改写成数值比例尺,只需根据线段比例尺写出图上距离与实际距离的比。
需要注意的是由于图上距离和实际距离的单位不同,要把不同单位化成相同单位,另外比例尺是一个比,无需带单位名称。
1.数字比例尺
数字比例尺一般用分子为1的分数形式表示。
设图上某一直线的长度为d,地面上相应线段的水平长度为D,则图的比例尺为
式中M为比例尺分母。
当图上1cm代表地面上水平长度10m(即1000cm)时尺就是。
通常称1:
、1:
、1:
为小比例尺地形图;1:
、1:
50000和1:
25000为中比例尺地形图;1:
10000、1:
5000、1:
2000、1:
1000和1:
500为大比例尺地形图。
建筑类各专业通常使用大比例尺地形图。
按照地形图图式规定,比例尺书写在图幅下方正中处。
2.图示比例尺
为了用图方便,以及减弱由于图纸伸缩而引起的误差,在绘制地形图时,常在图上绘制图示比例尺。
1:
1000的图示比例尺,绘制时先在图上绘两条平行线,再把它分成若干相等的线段,称为比例尺的基本单位,—般为2cm;将左端的一段基本单位又分成十等分,每等分的长度相当于实地2m。
而每一基本单位所代表的实地长度为2cm×1000=20m。
数学思考
1.探索规律。
探索给定图形或数字中隐含的简单规律。
2.排列组合。
有顺序地、全面地找出事物的排列数和组合数。
如用三个数字卡片组成三位数,找出不同三位数的排列数;两件上装和三件下装不同搭配,找出不同穿法的组合数。
3.逻辑推理。
能根据已知条件通过判断推出结论。
4.集合思想。
用集合圈准确分类,直观、形象地表示出数学概念,用集合的思想方法解决简单的实际问题。
5.等量代换。
明确等量代换是指一个量用与它相等的量去代替,在解决实际问题的过程中体会等量代换的思想。
6.统筹优化。
从优化的角度在解决问题的多种方案中寻找最优的方案。
7.植树问题。
找准总数和间隔数之间的关系,能根据不同的情况总结出规律,并利用这些规律解决类似的实际问题。
8.数字编码。
会用数字或者符号进行编码,准确地表示出事物蕴含的客观规律。
9.鸡兔同笼。
用“假设法”和列方程的方法解决鸡兔同笼问题。
10.抽屉原理。
准确区分什么是“待分的东西”,什么是“抽屉”,“抽屉”有几个,会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。
人教版教材从一年级下册开始,每一册都安排了一个单元“找规律”或“数学广角”的内容。
其中“找规律”是探索给定图形或数字中简单的排列规律,“数学广角”中渗透了排列、组合、集合、等量代换、逻辑推理、统筹优化、数字编码、抽屉原理等方面的数学思想方法。
通过全面回顾,使原来分散学习的知识得以梳理,由知识点串成知识线,由知识线构成知识网,从而帮助我们完善头脑中的数学认知结构,增进持久记忆。
数学思想方法看上去很抽象,很繁杂,其实它是有规律可循的。
“植树问题”关键要分清是一条线段还是一条首尾相接的封闭曲线,若是一条线段还需考虑两端栽的情况;“排列、组合”的要领是有序、不重复、不遗漏;“找次品”的最优策略是把待测物品尽量平均分成3份,不能平均分的要使多的一份与少的一份只相差1;“抽屉原理”具有一个普遍性的结论———要把a个物体放进n个抽屉,如果a÷n=b……c(c≠0),那么一定有一个抽屉至少可以放(b+1)个物体……可见,每一类数学思想方法都有相应的要领、思路和方法,关键在于我们要善于把握规律,化繁为简,以简驭繁。
空间与图形
一、知识要点
(一)图形的认识与测量。
1.平面图形的特征。
2.平面图形周长和面积的计算。
3.立体图形的特征。
4.立体图形表面积和体积的计算。
(二)图形与变换。
1.图形的平移和旋转。
2.图形的放大与缩小。
3.轴对称图形。
(将图形变换的观点和内容适当地引入我国基础教育的数学课程中,顺应了数学科学和数学教育的发展趋向。
通俗地讲,所谓平移,就是将一个图形按一定的方向移动一定的距离;所谓旋转,就是将一个图形绕一个顶点转动一定的角度。
这样描述,比较适合中小学生的认知水平,但对教师来说,绝对是不够的。
请看一个案例。
在一堂教学平移与旋转的公开课中,老师创设了一个玩游乐场的情境。
当讨论到摩天轮的运动时,起初同学们都认为是旋转。
不料一位同学执着地要求发言,他说:
老师,我坐过摩天轮,我坐在上面,始终是头朝上、脚朝下,所以我认为我坐在上面是平移,不是旋转。
大家一时都愣住了,教师的应变对策是让学生小组讨论。
这下热闹了,有的同意,认为人的方向没变;有的反对,理由是人在转圈。
直到下课,都没有搞清楚是平移,是旋转,还是两者都不是。
课后,前来观摩的教师也都议论纷纷,多数认为坐在摩天轮上的人与座仓的运动不是平移,也有少数认为是平移的。
那么是否旋转呢?
同样有两种意见,莫衷一是。
由此可见教师自身搞清楚概念是十分必要的。
所谓变换是指某个集合中符合一定要求的一种对应规律。
就图形的变换来讲,因为几何图形都是点的集合,所以图形变换可以通过点的变换来实现。
如果一个平面图形的每一个点,都对应于该平面内某个新图形的一个点,并且新图形中的每一个点只对应于原图形中的一个点,这样的对应就叫做变换。
几何变换中最重要的是全等变换与相似变换。
2.什么是平移变换、旋转变换和轴对称变换?
先说平移与旋转。
如果原图形中任意一个点到新图形中相对应点的连线,方向相同,长度相等,这样的全等变换称为平移变换,简称平移。
也就是说,平移的基本特征是,图形移动前后“每一点与它对应点之间的连线互相平行(或者重合),并且相等”。
显然,确定平移变换需要两个要素:
一是方向,二是距离。
如果新图形中的每个点都是由原图形中的一个点绕着一个固定点(叫做旋转中心)转动相等角度得到的,这样的全等变换称为旋转变换,简称旋转。
也就是说,旋转的基本特征是,图形旋转前后“对应点到旋转中心的距离相等,并且各组对应点与旋转中心连线的夹角都等于旋转的角度”。
显然,确定旋转变换需要三个要素:
旋转中心、旋转方向与旋转角度。
现在我们可以回答摩天轮座仓里的人是否在平移或旋转的问题了。
摩天轮在旋转,但上面的座仓及里面的人始终头朝上,脚朝下,是不是在平移呢?
我们可以依据平移的基本特征,画出运动过程中任意两个位置上座仓上下
图1图2
部中点的连线(如图1),它们平行并且相等,所以是平移。
那么座仓及里面的人是否在旋转呢?
依据旋转的基本特征,画出座仓下部中点与摩天轮旋转中心的连线(如图2),它们的长明显不相等。
明明摩天轮在旋转,而座仓与里面的人却不是在旋转,是在平移,这是怎么回事呢?
原来,摩天轮在带动座仓顺时针旋转的同时,地球的引力使得挂在吊钩上的座仓也在逆时针细微地转动,从而使座仓与里面的人始终保持向上的方向,并且座仓与人上的每个点都移动相同的距离。
其实,数学中所说的旋转、平移,主要考察运动开始、终止状态下两个静止图形对应点之间的关系,它与物理学中研究物体“转动”、“平动”的侧重点有所不同。
(三)图形与位置。
1.根据方向和距离确定位置。
2.用数对表示位置。
3.辨认方向和使用路线图。
这部分内容最重要的数学思想是“转化”。
重要的操作技能:
画直线、射线、线段、角
垂线(高)、平行线
长方形、正方形、圆形
角的度量、
统计与概率
1.一个统计过程一般包括:
收集数据、整理数据、描述数据和分析数据四个阶段。
2.收集数据的方法:
调查,测量,做实验,有时也可以直接从报刊中引用,或上网查询获得。
3.整理数据的方法:
分类整理和分段整理。
整理时会用画“正”字法计数。
4.描述数据:
能根据具体问题,选择适当的统计图表,并能正确绘制。
5.分析数据:
能解释统计结果,并根据统计结果作出简单的判断和预测。
统计图的特点和作用。
共同点:
用统计图表示有关数量之间的关系,比统计表更加形象具体,使人一目了然,印象深刻。
各自的特点和作用见下表:
(二)统计量:
平均数,中位数,众数。
平均数、中位数和众数是三个“从不同角度”描述一组数据“集中趋势”的统计量。
三个统计量,意义不同,特点和适用范围也不同:
———平均数反映的是一组数据的平均情况。
它的大小跟每个数据都有关,任何数据的变化都会引起平均数的变化。
当一组数据中没有极端数据(特别大或特别小的数据)时,用平均数作代表比较合适。
———中位数反映的是一组数据的中等情况。
求中位数时,首先要将一组数据从大到小或从小到大排列起来。
中位数的特点是:
不受偏大或偏小数的影响。
当一组数据中出现个别极端
数据时,取中位数作代表比较合适。
如果数据是偶数个时,取正中间的两个数的平均数为中位数。
———众数反映的是一组数据的多数情况。
当一组数据中某个数据出现次数较多时,用这个数据(即众数)作代表比较合适。
有时一组数据中,众数可能不止一个,也可能没有众数。
我们要能根据一组数据的特点和解决问题的需要,正确选择合适的统计量。
(三)可能性。
1.能正确判断事件的可能性,会用分数表示可能性的大小。
2.能判断游戏规则的公平性,会修改或设计简单的游戏规则。
实践与综合应用
一、知识要点
1.综合应用数与运算、空间与图形、统计与概率等相关知识解决一些简单的实际问题,在问题解决过程中初步树立运用数学解决实际问题的自信心。
2.积累综合运用所学知识解决简单实际问题的活动经验和方法,具有一定的思考方法和策略意识,提高思维水平。
3.能从不同角度发现实际问题中包含的数学信息,并运用相应的数学知识解决实际问题,体会数学知识的应用价值和数学知识间的联系。
4.能与同学合作交流解决问题,培养合作意识,提高协作能力。
二、学法点拨
我们在进行实践和综合应用活动时一般要做到以下几点:
1.缜密筛选有用信息。
实践和综合应用活动内容涉及面广,题型千变万化,学习材料信息量往往比较大。
因此,我们一定要仔细审题,全面提取题目中包含的有用数学信息,明确题目给了我们哪些有用的条
件,要我们做什么,哪些是情境性的多余条件。
2.敏捷填补知识空隙。
明确问题情境后,要迅速思考这道综合实践题属于哪类数学问题,需要运用哪些数学知识和方法来解答,然后按照解决此类问题的一般方法与步骤去解答。
解答综合性问题的难点在于现有知识往往不能直接解决问题,现有知识和现实问题之间存在“空隙”,解题时要注意在头脑中明晰这种差距,并迅速找到两者之间的桥梁,填补空隙。
这种桥梁的建构往往是实际问题数学化、复杂问题简单化、综合问题细节化的过程。
3.全面整合多种方法。
综合实践应用类问题往往不是用哪一种方法就能解决的,它需要多种数学方法的参与,我们要善于运用列表、假设、替换、倒推等多种策略去尝试解决此类综合程度较高的题目。
4.尝试实现“自我调节”。
综合实践类问题往往不是能一蹴而就地解决的。
它有时需要多次的尝试、反复和调整。
我们要有一种善于跳出题目审视
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 小学 数学知识 概要 讲解