傅里叶光学实验 7.docx
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傅里叶光学实验7
傅里叶光学实验
傅里叶光学原理的发明最早可以追溯到1893年阿贝(Abbe)为了提高显微镜的分辨本领所做的努力。
他提出一种新的相干成象的原理,以波动光学衍射和干涉的原理来解释显微镜的成像的过程,解决了提高成像质量的理论问题。
1906年波特(Porter)用实验验证了阿贝的理论。
1948年全息术提出,1955年光学传递函数作为像质评价兴起,1960年由于激光器的出现使相干光学的实验得到重新装备,因此从上世纪四十年代起古老的光学进入了“现代光学”的阶段,而现代光学的蓬勃发展阶段是从上世纪六十年代起开始。
由于阿贝理论的启发,人们开始考虑到光学成像系统与电子通讯系统都是用来收集、传递或者处理信息的,因此上世纪三十年代后期起电子信息理论的结果被大量应用于光学系统分析中。
两者一个为时间信号,一个是空间信号,但都具有线性性和不变性,所以数学上都可以用傅立叶变换的方法。
将光学衍射现象和傅立叶变换频谱分析对应起来,进而应用于光学成像系统的分析中,不仅是以新的概念来理解熟知的物理光学现象,而且使近代光学技术得到了许多重大的发展,例如泽尼克相衬显微镜,光学匹配滤波器等等,因此形成了现代光学中一门技术性很强的分支学科—傅里叶光学。
实验原理:
我们知道一个复变函数f(x,y)的傅立叶变换为
(1)
F(u,v)叫作f(x,y)的变换函数或频谱函数。
它一般也为复变函数,f(x,y)叫做原函数,也可以通过求F(u,v)逆傅立叶变换得到原函数f(x,y),
(2)
在光学系统中处理的是平面图形,当光波照明图形时从图形反射或透射出来的光波可用空间两维复变函数(简称空间函数)来表示。
在这些情况下一般都可以进行傅里叶变换或广义的傅里叶变换。
逆傅里叶变换公式
(2)说明一个空间函数f(x,y)可以表示成无穷多个基元函数exp[i2(ux+vy)]的线性叠加,
是相应于空间频率u,v的权重,F(u,v)称为f(x,y)的空间频谱。
为了下面的说明更方便,介绍几个常用的非初等函数和它们的性质:
(1)矩形函数:
(3)
它以x0为中心,宽度为a(a>0),高度为1,两维矩形函数可以表示为两个一维矩形函数的乘积:
(2)sinc函数:
(4)
(3)圆域函数:
(5)
(4)函数:
函数用来表示物理上的点光源,它是一个广义函数。
它的定义式为:
(6)
或
(7)
其中(x,y)叫做检验函数,要求为连续、可微函数。
函数的性质:
a.筛选性质:
设函数f(x,y)在(x0,y0)连续,则有
(8)
b.坐标缩放性质:
设a、b为实常数,则有
(9)
c.可分离变量性:
(10)
d.与普通函数乘积的性质:
设函数f(x,y)在(x0,y0)连续,则有
(11)
(5)梳状函数:
一维梳状函数定义为:
其中n为整数。
(12)
两维梳状函数定义:
(13)
表1所示为常用的几种函数的傅里叶变换式
表1
函数
变换式
exp[-(x2+y2)]
rect(x)rect(y)
(x,y)
exp[j(x+y)]
Comb(x)comb(y)
Circ(r)
exp[-(u2+v2)]
Sinc(u)sinc(v)
1
(u-1/2,v-1/2)
Comb(u)comb(v)
J1
(2)/
注:
J1()为一阶贝塞尔函数
介绍傅里叶变换的基本性质:
(1)线性性质设
,
,a,b为常数,则
(14)
(2)坐标缩放性质设
a、b为不等于0的常数
(15)
这说明物平面(空域)坐标的“伸展”,将导致频域坐标的压缩加上整个频谱幅度上的一个总体倍数的变化。
(3)平移性设
a、b为实常数
(16)
即,图像在空域中的平移,带来频域中的一个线性相移。
(4)迭次傅里叶变换
(17)
对图像进行连续两次傅里叶变换,则得到其倒立像。
这正是4f系统的情形。
(5)Parseval定理(能量守恒定理)设
(18)
(6)卷积定理设
,
,则
(19)
空域中两个函数的卷积(这是线性系统理论中常出现的一种运算)完全等效于一个更简单的运算,它们各自变换式的乘积。
(7)相关定理设
,
,则
(20)
在光学成像的过程中如果将一个平面图形放在一个理想的透镜(傅立叶变换透镜)的前焦平面上,在透镜的后焦平面就可以得到它的准确的傅立叶变换,即得到它的频谱函数。
反之如果将一个平面图形的频谱放在一个理想的透镜的前焦平面上,在透镜的后焦平面就可以得到此平面图形(不过图形的坐标要反转)。
从电子学的通讯理论我们知道,如果对信号的频谱进行处理(如滤波处理)再将信号还原就可以改变信号的性质,如去除信号的噪声等等。
因此等效地可以在透镜的后焦平面上放置各种形状和大小的光阑改变图形的频谱,再对此图形用第二个透镜成像就可以对图形进行处理,得到经过处理的图形。
这个过程叫作光学信息处理,在透镜的后焦平面上放置的光阑叫做空间滤波器。
.最典型的空间滤波系统—两个透镜(光学信息处理系统或傅立叶光学变换系统)叫作4f系统,如图1所示,
图2.4-14f系统
图1
激光经过扩束准直形成平行光照明物平面(其坐标为x1,y1),透过物平面的光的复振幅为物函数f(x1,y1),这一光波透镜1到达后焦平面(频谱面)就得到物函数的频谱,其坐标为(u,v),再经透镜2在透镜2的象平面上可以得到与物相等大小完全相似但坐标完全反转的象,设其坐标为(x2,y2)。
此时我们将坐标完全反转后可以认为得到原物的完全相同的象。
关于物平面和频谱面的尺寸大小的问题是实验中很重要的。
为了便于问题的讨论,假定物平面和频谱面的坐标单位相同,物函数f(x1,y1)的坐标x1、y1和频谱函数F(u,v)的坐标u、v的关系为
其中l为光的波长,f为透镜的焦距。
以矩孔为例,如果矩孔的长为a,宽为b,则频谱面得到的衍射图形即矩孔的频谱为[注1]
(21)
[注1]矩孔的数学表达式为
,根据前面的傅里叶变换的缩放性质和表1可以推得式(21)
由此可以计算出频谱面上中央主极大(图2.4-2右图中央的方斑)的宽度为
,高度为
。
可以知道频谱面尺寸的大小与物平面图形尺寸成反比,与透镜焦距f成正比,所以为了得到较大尺寸的频谱图用于完成实验的透镜的焦距要求较长。
图2.4-2右图所画的不是物函数的频谱,而是其功率谱。
因为任何光的探测器都只能对光强有反映,所以我们观察到的只是频谱的强度分布即模的平方—功率谱。
对方孔来说其频谱与功率谱的尺寸相同。
空间滤波器由于其特性和功能不同可以进行不同的分类,按其功能可以分为:
1.低通滤波:
在频谱面上放如图2.4-3
(1)所示的光阑,只允许位于频谱面中心及附近的低频分量通过,可以滤掉高频噪音。
2.高通滤波:
在频谱面上放如图2.4-3
(2)所示的光阑,它阻挡低频分量而让高频分量通过,可以实现图像的衬度反转或边缘增强。
3.带通滤波:
在频谱面上放如图2.4-3(3)所示的光阑,它只允许特定区域的频谱通过,可以去除随机噪音。
4.方向滤波:
在频谱面上放如图2.4-3(4)或(5)所示的光阑,它阻挡或允许特定方向上的频谱分量通过,可以突出图像的方向特征。
以上滤波光阑因透光部分是完全透光,不透光部分是将光全部挡掉,所以称作“二元振幅滤波器”。
还有各种其它形式的滤波器,如:
“振幅滤波器”、“相位滤波器”和“复数滤波器”等。
5.相幅滤波器:
是将位相转变为振幅的滤波器,它的重要应用就是把”位相物体”显现出来,所谓位相物体是指那些只有空间的位相结构而透明度却一样的透明物体。
如生物切片、油膜、热塑等,它们只改变入射光的位相而不影响其振幅。
所以人眼不能直接看到透明体中的位相分布也就是它们的形状和结构,利用相幅转换技术就能使人眼看到透明体的形状和结构,从而扩展了人眼的视觉功能。
显现位相的技术有许多种,这里只介绍纹影法和相衬法。
(1)纹影法:
这是一个在空气动力学和燃烧学方面很有用的装置,可以应用于火焰照相和流场显示技术。
它使用的光阑是一个刀口或一个如图4
(2)所示的高通滤波器,也可以是个带通滤波器等等。
经流体被扰动的光的场强(复振幅)为:
s=Aexp{i[(x,y)]}(22)
如果很小复振幅可以近似表示为:
b(x,y)A[1+i(x,y)](23)
在刀口平面内,复振幅可以写成b(x,y)的傅立叶变换。
(24)式中
(u,v)是刀口平面的坐标。
这里狄拉克(Dirac)函数(u,v)表示光源未被扰动的象。
由于刀口对光的阻挡作用,产生了光强的衰减,刀口后光强的复振幅可以写成:
(25)
这里刀口衰减光的效应是通过透过率来描述的。
在记录平面(即底片)上的复振幅b(x2,y2)又是B(u,v)的傅立叶变换。
假定物和象的放大因子为1,所以x2=-x1,y2=-y1,和:
b(x2,y2)]=A[+i(x2,y2)](26)
故记录平面上的光强分布为:
I(x,y)=b(x2,y2)2=A2[2+2(x2,y2)](27)
纹影图上的对比度或相对光强变化为:
(28)
如果=0其灵敏度或对比度将无限大,上式没有考虑衍射效应,因为衍射使光源的象产生畸变,因此不能用狄拉克函数来表示了。
一定数量的扩散光可以到达底片对纹影象的背景光I=0有贡献。
扩散光的贡献可以一附加项表示,纹影象的对比度可以描述成:
(29)
这样最大的对比度就不是无限的,即使在=0时。
(2)相衬法:
1935年由泽尼克(Zernike)提出,用于生物显微镜。
因为大多数细菌为透明的位相物体,要观察细菌往往要染色,这样细菌将被杀死。
在显微镜物镜的焦平面上加一个位相滤波器就可以将位相的变化转化为强度变化,从而可以利用显微镜直接看到活的细菌。
这个发明使泽尼克获得1935年的诺贝尔奖。
它的原理是利用相位滤波器将物体的相位变化转换成光的强弱不同,相衬法的优点是观察到的强度的变化与位相变化成线性关系。
而在纹影法中两者的关系是非线性的。
因此不能作为物体厚度等物理量的直接指示。
为了阐述相衬显微镜的原理,将相位物体的透射系数写成
(30)
在一般情况下,用显微镜只能观察物体的亮暗,而物体的亮暗正比于
,由公式()可以知道它与
无关的。
如果把这种物体置于图5的光学系统(相当于显微镜的物镜部分的情况)中,在物镜的后焦平面上的频谱分布为
(31)
式中
。
如果相位
变化很小,可以取一级近似,写成
1+
(32)
代入式()中,积分以后得
,(33)式中
滤波器是一块玻璃片上涂一小滴透明的电介质构成,电介质小点位于焦平面的中心,其厚度及折射率使得聚焦的光在通过它后其位相延迟/2或/2的奇数倍。
经滤波器后物的频谱变为:
(34)
这样到达象平面上的复振幅为:
(35)
像平面的光强为:
(36)
当
很小时,
可以忽略不计。
所以像平面的光强为:
(37)
为了提高相衬图的对比度也可以用与纹影法相同的方法即使零频项除了有/2位相延迟还有一定的衰减,与(24)—(28)相同,可以得到相衬图的对比度为:
(38)
为了实验的便利常常利用一个透镜完成空间滤波实验(阿贝成像装置):
物面
透镜
频谱面
象面
图2.4-4一个透镜的傅里叶变换系统
如图5所示,这个装置最早是由阿贝(Abbe)于1893年提出的。
1906年波特(Porter)用实验验证了阿贝的理论,科学地说明了成像质量与系统传递的空间频谱之间的关系。
在这种情况下,由于物面与透镜的前焦平面不重合,根据傅立叶光学的理论可以知道在透镜的后焦平面上得到的不是物函数的严格的傅立叶变换(频谱),不过只有一个位相因子的差别,对于一般情况的滤波处理可以不考虑。
这个光路的优点是光路简单,是显微镜物镜成像的情况—可以得到很大的象以便于观察,这正是阿贝当时要改进显微镜的分辨本领时所用的光路。
实验内容:
(1)
图2.4-5矩形振幅光栅和它的频谱图
二元光栅实验:
利用阿贝装置,在物平面方一个二元光栅如图2.4-5所示,设光栅的周期d=0.1mm,透光部分宽度a=0.02,照明光为圆形直径为D=40mm,根据前面的数学知识我们可以得到物函数的表达式为
,根据根据前面的傅里叶变换性质和表1可以推得下式,
(39)
(2)其频谱为一组艾里圆(中央主极大圆的直径为
=0.0305lf/mm),这些艾里圆的中心距离为
/mm,每个艾里圆的强度由该处透光部分的单缝衍射的光强分布所决定。
如图2.4-5所示。
此时我们在频谱面上放一个低通滤波器如图2.4-3
(1)所示,此时在象平面上将看不到条纹只能看到一片均匀的光。
如果只让中间的三级衍射光斑透过则看到的光栅为一个光强分布为正弦曲线的光栅像,其周期仍为d(光栅的对比度明显下降)。
如果只让两个一级衍射光斑通过则在透镜的频谱面上得到的正弦曲线的光栅像,其周期变为d/2。
(2)低通滤波实验:
将一个正交光栅与一个十字图像重合,如图2.4-6(左)所示,这时在透镜的后焦平面上可以看到的频谱图形如图2.4-6(右)所示,
如果在透镜的后焦平面上加上一个低通滤波器如图2.4-3
(1)所示,在透镜的像平面上就可以得到去掉光栅的十字图像。
照相物镜
(3)纹影仪实验:
纹影法的最基本装置如图2.4-7所示。
光源S位于透镜1的前焦平面上,平行光束穿过测试体并借助于透镜2聚焦于其后。
透镜2叫做纹影头。
在纹影头的焦平面上形成光源的象。
一个刀口(刀的边缘垂直于图面)放在该平面上以挡住部分光。
照相物镜将测试体外的某一个平面成象在底片上。
底片上接受到的是减弱的光强—取决于被刀口挡掉的部分的多少。
利用CCD观察火焰周围的温度场的温度分布。
请读者自行设计一个纹影仪实验,观察实验现象并作出理论分析。
思考题:
1、在实验内容
(1)中如果挡掉零级光斑,让所有高级衍射光斑透过,在象平面得到的像是什么样的?
分析以下情况a.光栅透光缝a<光栅周期d/2,b.光栅透光缝a>光栅周期d/2,c.光栅透光缝a=光栅周期d/2。
2、说明实验实例
(2)中如果正交光栅的周期为0.01毫米,透镜的焦距为300毫米,照明光的波长为633纳米,求低通滤波器的直径最大为多少?
参考文献
[1]J.W.顾德门著,詹達三等译,《傅里叶光学导论》,科学出版社,1979年,北京。
[2]苏显渝、李继陶编著,《信息光学》,科学出版社,2000年,北京。
[3]宋菲君编著,《近代光学信息处理》,北京大学出版社,2001年,北京。
付里叶光学的空间频谱与空间滤波实验
请不要动He-Ne激光器→反射镜→直角三棱镜的光路!
(因此部分光路已经调好)
实验内容:
1.测小透镜的焦距f1(付里叶透镜f2=45.0CM).
光路:
直角三棱镜→望远镜(倒置)(出射应是平行光)→小透镜→屏
思考:
如何测焦距?
2.夫琅和费衍射:
光路:
直角三棱镜→光栅→墙上布屏(此光路满足远场近似)
(1)利用夫琅和费衍射测一维光栅常数;
光栅方程:
dsinθ=kλ其中,k=0,±1,±2,±3,…
请自己选择待测量的量和求光栅常数的方法。
(卷尺可向老师索要)
记录一维光栅的衍射图样、可看到哪些级?
记录0级、±1级、±2级光斑的位置;
(2)记录二维光栅的衍射图样.
3.观察并记录下述傅立叶频谱面上不同滤波条件的图样或特征;
光路:
直角三棱镜→光栅→小透镜→滤波模板(位于空间频谱面上)→墙上屏
思考:
空间频谱面在距小透镜多远处?
图样应是何样?
(1)一维光栅:
(滤波模板自制,一定要注意戴眼镜保护;可用一张纸,一根针扎空来制作,也可用其他方法).
a.滤波模板只让0级通过;
b.滤波模板只让0、±1级通过;
c.滤波模板只让0、±2级通过;
(2)二维光栅:
a.滤波模板只让含0级的水平方向一排点阵通过;
b.滤波模板只让含0级的竖直方向一排点阵通过;
c.滤波模板只让含0级的与水平方向成45O一排点阵通过;
d.滤波模板只让含0级的与水平方向成135O一排点阵通过.
4.“光”字屏滤波
物面上是规则的光栅和一个汉字“光”叠加而成,在实验中要求得到如下结果:
a.如何操作在像面上仅能看到像面上是横条纹或竖条纹,写出操作过程;
b.如何操作在像面上仅能看到像面上是空心“光”,写出操作过程.
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