从Rn到Rm的线性变换.docx
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从Rn到Rm的线性变换
4.7从疋到/r的线性变换
表明用A左乘可将x变为b,而将u变为0向量.
基于这个观点,解矩阵方程Ax二b等价于求川中的所有向量X,其在A左乘的作用下变换为用中的向量b・
从zr到/r的变换(transformation)t:
疋f代是
某种法则,其对川中的每个向量,指定Q中的一
川称为T的定义域(domain),肥称为T的陪域
(codomain)・
对川中的x,肥中的称为x(在T作用下的)的像,所有像的集合祢为T的值域(range)・
矩阵变换
若A是一个加X,7矩阵,定义矩阵变换
T(x)=Ax,VxeHn
易知,T的定义域为疋,陪域为肥,而T的值域是A的列向量的所有线性组合,即A的列空间.
ri-3、
例4.7.1A=35
I
I-17
考虑矩阵变换t.r^r
fl—3)
■
厂花_3旳、
35
〜卜
3xj十5x2
1-17丿
1_旳十7乂2,
(2)
(3)
(4)
例4.7.2-4=0
1°
0,变换x—Ax将疋中的点投影到迥七平面上,0.
Z
例<7,3A=
0
0
3、
J,由T(x)=zlx定义的用到炉的变换丁称为剪切变换
可以证明7将图1中的正方形变换为平行四边形(证明
(sheartransfonnation)
留乍练习),证明的关键是T将线段变换为线段,而正方形的顶点变换为平行四
边形的顶点.例如.顶点心:
;的像为r(w)=
的像
由矩阵乘法的性质,易知矩阵变换”一心满足:
A(w4-v)=AuAv.A(cu)=cAu.Vn,vcRn.ceR.
定义4.7.1若变换T满足以下性质,称为线性变换:
(1)对T的定义域中的任意向量11,一
T(M4-V)=T(M)4-T(V),
(2)对T的定义域中的任意向量u和任意实数c,
T(cu)=cT(u).
定义表明线性变换保持向量的加法和数乘运算•矩阵变换一定是线性变换.
性质4.7』设丁是线性变换*
(1)保持零向量:
T(0)=0;2
(2)保持负向量:
T{-u)=-7(w)Ia
(3)保持线性组合,p
T(czi4-dr)=cT{u)+dT(v),2
-地,2
坷+•••+勺□p)=CiT'(绚)+・・・+Cp7'(“p),
(4)保持线性相关性:
若旳心,…,冷线性相关,则线性相关*
例4.7.4两个特殊的线性变换:
恒等变换,零变换
例4.7.5平移变换不是线性变换
例4.7.6旋转变换是线性变换
向量空间上的线性变换一定是矩阵变换
定理屯7J设F是0到0的线性变换,则存在唯一的矩阵一4,使得丿
7'(x)=^4r.0xG
事实上,是汝5矩阵,其第/列为向量巩勺),勺是”酚剿渥荒第/列.即
M=⑷…*)].
例4,7:
.8求川上的拉伸变^T(a-)・3x的标准矩阵<
解S=3e】=g].gT":
;・因此丁的标准矩阵为八;点1
■
例479例4.7.5中的旋转变换心的标准矩阵为一4=me
sin(pcos卩
每个b是肥中至少一个x的像.
易知,T是映上的当且仅当T(x)=b对于任意的吐有解.
定义4.7.3变换T:
R"^Rm称为的,如果肥中
每个b是卅中至多一个x的像.
易知,T是一一的当且仅当T(x)=b对于任意的此尺有唯一解或无解.
例4.7.10线性变换八Qi用的标准矩阵
)-48r
A=02-l3
0005
T是映上的吗?
是——的吗?
定理4.7.2线性变换T是——的当且仅当T(x)=O仅有零解.
定理4.7.3令t•是线性变换的标准矩阵.
(1)T是映上的当且仅当A的列空间为肥.
(2)T是一一的当且仅当A列线性无关.
例4.7.11令7"(X|,x2)=(3X]4-x2,5x!
+7心,兀|4-3x2)证明T是一一的•另外,T是从炉到疋的映上变换吗?
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- Rn Rm 线性变换