选修23随机变量及其分布知识点总结典型例题.docx
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选修23随机变量及其分布知识点总结典型例题
2-3随机变量及其分布
HW)
T数字特征11„.
「幣散型随〕机变虽
X-_-Z
5J~(条件概率)
L-W
「(两点分布〕
5店殊分布列)--憊几何分祠
-(二项分利
十[并件相互独立性)一価立重复试劇
”、r<正态分布密度曲绚
f正态分布)一
要点归纳
一、离散型随机变量及其分布列
1.⑴随机变量:
在随机试验中,我们确定了一个对应关
系,使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示•在这个对应关系下,数字随着试验结果的变化而变化.像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量•通常用字母X,Y,E,n等表示.
(2)离散型随机变量:
所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量.
(3)离散型随机变量的分布列:
一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为Xi,
X2…,Xi,…Xn,X取每一个值Xi(i=1,2,…,n)的概率
P(X=X)=pi,以表格的形式表示如下:
X
X1
X2
…
Xi
…
Xn
P
P1
P2
…
Pi
…
Pn
我们将上表称为离散型随机变量X的概率分布列,简称为
X的分布列.有时为了简单起见,也用等式P(X=Xi)=pi,
i=1,2,…,n表示X的分布列.
(4)离散型随机变量的分布列的性质:
1Pi>0,i=1,2,…,n;
n
2Pi=1.
i=1
(5)常见的分布列:
两点分布:
如果随机变量X的分布列具有下表的形式,则称X服从两点分布,并称p=P(X=1)为成功概率.
X
0
1
P
1-p
p
两点分布又称0-1分布,伯努利分布.
超几何分布:
一般地,在含有M件次品的N件产品中,任取
n件,其中恰有
k)=
X件次品,则事件{X=k}发生的概率为P(X=
X
0
1
…
m
P
.O^n-0
CmCn-M
cN
1n-1
CmCn-M
cN
…
0
MmRo
N二Nn
11
Mm
cMcN-/i
cN
k=0,
1,2,
m,即
其中m=min{M,n},且nWN,M 服从超几何分布. 2.二项分布及其应用 (1)条件概率: 一般地,设A和B是两个事件,且P(A)>0, p/ab) 称P(BA)=P((A)为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率.P(B|A)读作A发生的条件下B发生的概率. ⑵条件概率的性质: 10 2必然事件的条件概率为1,不可能事件的条件概率为0; 3如果B和C是两个互斥事件,则P(BUC|A)=P(B|A)+ P(C|A). (3)事件的相互独立性: 设A,B为两个事件,如果P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与事件B相互独立•如果事件A与B相互独立,那么A与-,-与B,-与-也都相互独立. (4)独立重复试验: 一般地,在相同条件下重复做的n次试 验称为n次独立重复试验. (5)二项分布: 一般地,在n次独立重复试验中,设事件A发生的次数为X,在每次试验中事件A发生的概率为p,那么在n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率为 P(X=k)=Cpk(1—p)n-k,k=0,1,2,…,n.此时称随机变量X服从二项分布,记作X〜B(n,p),并称p为成功概率.两点分布是当n=1时的二项分布,二项分布可以看成是两点分布的一般形式. 3.离散型随机变量的均值与方差 (1)均值、方差: 一般地,若离散型随机变量X的分布列为 X X1 X2 … Xi … Xn P P1 P2 … Pi … Pn 则称E(X)=Xipi+X2P2+•"+Xipi+…+XnPn为随机变量X的均值或数学期望,它反映了离散型随机变量取值的平均水平. n 称D(X)=(Xi—E(X))2pi为随机变量X的方差,D(X)为 i=1 随机变量X的标准差. (2)均值与方差的性质: 若Y=aX+b,其中a,b是常数,X是随机变量,则Y也是随机变量,且E(aX+b)=aE(X)+ b, D(aX+b)=a2D(X). (3)常见分布的均值和方差公式: ①两点分布: 若随机变量 X服从参数为p的两点分布,贝吐匀值E(X)=p,方差D(X)=p(1—p). ②二项分布: 若随机变量X〜B(n,p),则均值E(X)=np,方差D(X)=np(1—p). 4.止态分布 ⑴正态曲线与正杰分布; ①正态曲线: 我n把函数烈.©=£.厂(歸),戈亡(一8,+-o(其中川是样本均值,疔是样本标准差〉的團象称为正态分布密度曲线,简称正态曲线,正态曲线呈钟形,即中间高・两边低. ②止态分布;一般地,如果对于任何实敷附蚱rVQ),随机变量A譎足I\u a 从正态分布.正态分布完全由参数知亦确定,因此正态分布常记作N^h)・ (2)正态曲线的特点: 1曲线位于x轴上方,与x轴不相交; 2曲线是单峰的,它关于直线x=口对称; 1 3曲线在x=口处达到峰值2n; 4曲线与x轴之间的面积为1. ⑶丽0对正态曲线的影响: 1当(一定时,曲线的位置由砸定,曲线随着曲勺变化而沿x 轴平移; 2当「定时,曲线的形状由(确定,o越小,曲线越瘦高”表示总体的分布越集中;(越大,曲线越矮胖”表示总体的分布越分散. ⑷正态分布的3(原则: 若随机变量X〜N(仏0),则P(卩 —(r 4,Pg—3oVXw+30—0.9974. 在实际应用中,通常认为服从于正态分布N(y,0)的随机 变量X只取(卩―3o,叶30之间的值,并简称之为3o原则. 专题一条件概率 1•条件概率的求法 ⑴利用定义,分别求出P(A)和P(AB),解得P(BA)= P(AB) P(A). (2)借助古典概型公式,先求事件A包含的基本事件数 n(A),再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事 件数n(AB),得P(BA)=n(AB). n(A) 2.解决概率问题要注意三个步骤,一个结合” (1)求概率的步骤是: 第一步,确定事件性质; 第二步,判断事件的运算; 第三步,运用公式. (2)概率问题常常与排列、组合知识相结合. 【例1】在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2道题,求: (1)第1次抽到理科题的概率; ⑵第1次和第2次都抽到理科题的概率; ⑶在第1次抽到理科题的条件下,第2次抽到理科题的概率.解设第1次抽到理科题”为事件A,第2次抽到理科题”为事件B,则第1次和第2次都抽到理科题”为事件AB. (1)从5道题中不放回地依次抽取2道题的事件数为n(Q)=A5= 20. 根据分步乘法计数原理,n(A)=A;x12. 于是P(A)= n(A) n(Q) 12—320=5. (2)因为 所以化⑹弋: 骼墙=赤 ⑶法一由⑴{2}可得,在第1次抽到埋科题的条件下,第2次抽到厘科题的概牢 法二因为rt(JB)=6fnC4)=12f ”,n(仙) 所以诃戸;C4) 专题二相互独立事件的概率 1.求相互独立事件一般与互斥事件、对立事件结合在一起进行考查,解答此类问题时应分清事件间的内部联系,在些 基础上用基本事件之间的交、并、补运算表示出有关事件,并运用相应公式求解. 2.特别注意以下两公式的使用前提 (1)若A,B互斥,则P(AUB)=P(A)+P(B),反之不成立. (2)若A,B相互独立,则P(AB)=P(A)P(B),反之成立. 【例2】甲、乙、丙三台机床各自独立加工同一种零件,甲机床加 工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为 乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的 (1)分别求出甲、乙、丙三台机床各自独立加工的零件是一等品的概率; (2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验,求至少有一个一 等品的概率. 解aJ.B.C分别为甲r厶內三台机床各自独立加工同 一种零件是一尊品的事件.依题意得 p(』爭)-£ p(歩⑺一迈, P(.40=|, 得r? [HC)F—创科G+腔=仇解得珂。 =扌或HG=#{舍)-5旳弓砂=审刊°=彳 即甲.乙.丙三台机床各口独立加工的零件是一等甜的概率 ill 分别为亍尹r ⑴记d为从甲.乙、丙加工的零件中各取一个检验,至少有一—等品的事件. 2 尸(〃)=1—尺心)=1—(1—只』))-(1—/VJ))p—=h—寸X 即从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验,至少 有一个一等品的槪率为I 专题三离散型随机变量的分布列、均值与方差 1.离散型随机变量的分布列在高中阶段主要学习两种: 超几 何分布与二项分布,由于这两种分布列在生活中应用较为 广泛,故在高考中对该知识点的考查相对较灵活,常与期望、方差融合在一起,横向考查. 2•对于分布列的求法,其难点在于每个随机变量取值时相关 概率的求法,计算时可能会用到等可能事件、互斥事件、相互独立事件的概率公式等. 3•均值与方差都是随机变量重要的数字特征,方差是建立在 均值这一概念之上的,它表明了随机变量所取的值相对于它的均值的集中与离散程度,二者联系密切,在现实生产生活中特别是风险决策中有着重要意义,因此在当前的咼考中是一个热点问题. 【例3】某地区试行高考考试改革: 在高三学年中举行5次统一 测试,学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习,不用参加其余的测试,而每个学生最多也只能参加 1 5次测试.假设某学生每次通过测试的概率都是3,每次测试时间间隔恰当.每次测试通过与否互相独立. (1)求该学生考上大学的概率; (2)如果考上大学或参加完5次测试就结束,记该生参加测试的次数为X,求X的分布列及X的数学期望. 解该牛考上大学”为事件乩其对立事件为 则血円鮒+舒. g)=l-【幺餵陋)5]磊. ⑴参加测试次敎K的可熊取值为2・3,4.5,flS1 P(X=2)=^f=-, 呻_3)_生卜討—务 p(m.;.gy•捋, P(x=5)=CA: •23+3仁;6 故X的分布列为: X 2 3 4 5 P 1 4 4 16 9 27 27 27 1c4,4厂1638 E(x)二2X9+3X27+4X27+5X26=38- 【例4】(2012枣庄检测)某单位为了参加上级组织的普及消防知识竞赛,需要从两名选手中选出一人参加•为此,设计了一个挑选方案: 选手从6道备选题中一次性随机抽取3题.通过考查得知: 6道备选题中选手甲有4道题能够答对,2道题答错; 2 选手乙答对每题的概率都是3,且各题答对与否互不影响.设选手甲、选手乙答对的题数分别为En (1)写出曲勺概率分布列(不要求计算过程),并求出E(E, E(n; (2)求D(E,D(n.请你根据得到的数据,建议该单位派哪个选手参加竞赛? 131 所以E(8=1X_+2X_+3X_=2. 555 22由题意,n〜B3,3,E(n=3X3=2, 或者P(n=0)=C333=£; P(n=1)=良3132=9; p(n=2)=C2323=9;P(n=3)=c3t3=27, 12O 所以,£(I/)=OX—+1X-+2X-+3X—-2. 1311 (2)Z)(i)=(l-2)2X-+(2-2/X-+(3-2)iX-=-! 可见E(©=E(>/),因此建议该单位派甲参加竞赛. 专题四正态分布 【例5】某市去年高考考生成绩服从正态分布N(500,502),现 有25000名考生,试确定考生成绩在550〜600分的人数. 解•••考生成绩X〜N(500,502), 卩=500,o=50, •••P=(550vX<600) 1 =2[P(500-2X50vXW500+2X50)—P(500-50vX<500+ 50)] 1 =2(0.9544-0.6826)=0.1359. 故考生成绩在550〜600分的人数约为25000X0.1359 〜3398(人).
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- 选修 23 随机变量 及其 分布 知识点 总结 典型 例题