完整版勾股定理综合难题含答案解析超好打印版.docx
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完整版勾股定理综合难题含答案解析超好打印版
练习题
1如图,圆柱的高为10cm,底面半径为2cm.,在下底面的A点处有一只蚂蚁,它想吃到上底
面上与A点相对的B点处,需要爬行的最短路程是多少?
现有一小虫从顶点A出发,沿长方
2如图,长方体的高为3cm,底面是边长为2cm的正方形.
体侧面到达顶点C处,小虫走的路程最短为多少厘米?
答案AB=5
D
3、一只蚂蚁从棱长为
1的正方体纸箱的B'点沿纸箱爬到
D点,那么它所行的最短路线的长是
4、如图,小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸,已知该纸片宽AB为8cm,?
长BC?
为10cm.当
小红折叠时,顶点D落在BC边上的点F处
5.如图,将一个边长分别为4、8的长方形纸片
使C点与A点重合,则EB的长是().
A.3B.4C
6.已知:
如图,在△ABC中,∠C=90°,∠
B=30°,AB的
垂直平分线交BC于D,垂足为E,D=4cm.
求AC的长.
7、如图,有一个直角三角形纸片,两直角边AC=6,BC=8,现将直角边AC沿直线AD折叠,使其落在斜边AB上,且与AE重合,则CD的长为
8、如图,在矩形ABCD中,AB6,将矩形ABCD折叠,使点B与点D重合,C落在C处,若AE:
BE1:
2,则折痕EF的长为。
AEB
9、如图,已知:
点E是正方形ABCD的BC边上的点,现将△DCE沿折痕DE向上翻折,使DC落在
对角线DB上,则EB∶CE=
10、如图,AD是△ABC的中线,∠ADC=45o,把△ADC沿AD对折,点C落在C′的位置,若BC=2,
则BC′=.
C
C
题5图
11.如图1,有一块直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD折
叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,则CD等于()
A.2cm
B.3cm
C.4cm
D.5cm
图1
12、有一个直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm现,将直角边AC沿∠CAB的角平分线AD折
13、如图,在△ABC中,∠B=90,AB=BC=,6把
△ABC进行折叠,使点A与点D重合,BD:
DC=1:
2,折痕为EF,
点E在AB上,点F在AC上,求EC的长。
14.已知,如图长方形ABCD中,AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠,使点
为EF,则△ABE的面积为()
22
A、6cmB、8cm
22
C、10cm2D、12cm2
15.如图,将矩形ABCD沿EF折叠,使点D与点B重合,已知AB=3,AD=9,求BE的长.
D
C
16、如图,每个小方格的边长都为1.求图中格点四边形ABCD的面积
17、如图,已知:
在ABC中,ACB90,分别以此直角三角形的三边为直径画半圆,试说明
图中阴影部分的面积与直角三角形的面积相等.
18.如图8,有一块塑料矩形模板ABCD,长为10cm,宽为4cm,将你手中足够大的直角三角板PHF
的直角顶点P落在AD边上(不与A、D重合),在AD上适当移动三角板顶点P:
①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C?
若能,请你求出这时AP的长;若不能,请说明理由.②再次移动三角板位置,使三角板顶点P在AD上移动,直角边PH始终通过点B,另一直角边PF与DC的延长
线交于点Q,与BC交于点E,能否使CE=2cm?
若能,
请你求出这时AP的长;若不能,请你说明理由.
21.①能.设AP=x米,由于BP2=16+x2,CP2=16+(10-x)2,而在Rt△PBC中,有BP2+CP2=BC2,
2222
即16+x2+16+(10-x)2=100,所以x2-10x+16=0,即(x-5)2=9,所以x-5=±3,所以x
=8,x=2,即AP=8或2,②能.仿照①可求得AP=4.
19.如图△ABC中,
ACB90,AC12,BC5,ANAC,BM
BC
20、※直角三角形的面积为
S,斜边上的中线长为d,则这个三角
则MN=4
形周长为()
(A)d2S2d(B)d2Sd
(C)2d2S2d(D)2d2Sd
Sab222解:
设两直角边分别为a,b,斜边为c,则c2d,2.由勾股定理,得a2b2c2.
所以
2
b2
22
a22abb2
22
c24S4d24S
所以ab2d2S.所以abc2d2S2d.故选(C)21※.在ABC中,ABAC1,BC边上有2006个不同的点P1,P2,LP20062
记mi
APi2BPiPiCi1,2,L2006,则m1m2Lm2006=
22※.如图所示,在RtABC中,BAC90,ACAB,DAE45,且BD3
CE4,求DE的长.
23、如图,在△ABC中,AB=AC=,6P为BC上任意一点,请用学过的知识试求PC·PB+PA2的值
24、※如图在Rt△ABC中,C90,AC4,BC3,在Rt△ABC的外部拼接一个合适的直角三
角形,使得拼成的图形是一个等腰三角形。
如图所示:
要求:
在两个备用图中分别画出两种与示例图不同的拼接方法,在图中标明拼接的直角三角形的
三边长(请同学们先用铅笔画出草图,确定后再用0.5mn的黑色签字笔画出正确的图形)
25.如图,A、B两个村子在河CD的同侧,A、B两村到河的距离分别为AC=1km,BD=3km,CD=3km,现在河边CD上建一水厂向A、B两村输送自来水,铺设水管的费用为20000元/千米,请你在CD选择水厂位置O,使铺设水管的费用最省,并求出铺设水管的总费用F。
26.已知:
如图,△ABC中,∠C=90°,点O为△ABC的三条角平分线的交点,OD⊥BC,OE
⊥AC,OF⊥AB,点D、E、F分别是垂足,且BC=8cm,CA=
的距离分别等于
cm
AC和
P第28题图
BC
F第26题图
27.(8分)如图,在△ABC中,AB=AC,P为BC上任意一点,请说明:
AB2-AP2=PB×PC。
222
28、如图,已知:
C90,AMCM,MPAB于P.求证:
BP2AP2BC2
29.(本题满分6分)如图,一个牧童在小河的南4km的A处牧马,而他正位于他的小屋B的西
8km北7km处,他想把他的马牵到小河
回家.他要完成这件事情所走的最短路
小河
边去饮水,然后
程是多少?
A
牧童
B小屋
长方形的仿古通道,现有一辆卡车装满家具后,高4米,宽2.8米,
请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道
31.在一棵树的10米高B处有两只猴子,一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处;另一只爬到树顶D后直接跃到A处,距离以直线计算,如果两只猴子所经过的距离相等,则这棵树高多少米?
32.在平静的湖面上,有一支红莲,高出水面1米,一阵风吹来,红莲移到一边,花朵齐及水面,已知红莲移动的水平距离为2米,求这里的水深是多少米?
33.长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角,作业时调整为60°角(如图所示),则梯子的顶端沿墙面升高了m.
34.已知:
如图,△ABC中,∠C=90°,D为AB的中点,E、F分别在AC、BC上,且DE⊥DF.求证:
AE2+BF2=EF2.
35.已知:
如图,在正方形
ABCD中,F为DC的中点,
E为CB的四等分点且CE=
1CB
,求证:
AF⊥FE.
36.已知△ABC中,a2+b2+c2=10a+24b+26c-338,试判定△ABC的形状,并说明你的理由.
37.已知a、b、c是△ABC的三边,且a2c2-b2c2=a4-b4,试判断三角形的形状.
38.如图,长方体的底面边长分别为1cm和3cm,高为6cm.如果用一根细线从点A开始经过四个侧面缠绕一圈到达点B,那么所用细线最短需要多长?
如果从点A开始经过四个侧面缠绕n圈到
达点B,那么所用细线最短需要多长?
2222
39、a、b为任意正数,且a>b,求证:
边长为2ab、a-b、a+b的三角形是直角三角形
22
40.三角形的三边长为(ab)c2ab,则这个三角形是()
(A)等边三角形(B)钝角三角形
(C)直角三角形(D)锐角三角形.
41.(12分)如图,某沿海开放城市A接到台风警报,在该市正南方
向100km的B处有一台风中心,沿BC方向以20km/h的速度向D移动,已知城市A到BC的距离
AD=60km,那么台风中心经过多长时间从B点移到D点?
如果在距台风中心30km的圆形区域内
都将有受到台风的破坏的危险,
正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱
离危险?
222
42.(14分)△ABC中,BCa,ACb,ABc,若∠C=90°,如图
(1),根据勾股定理,则a2b2c2,
222若△ABC不是直角三角形,如图
(2)和图(3),请你类比勾股定理,试猜想a2b2与c2的关系,
并证明你的结论.
.解:
若△ABC是锐角三角形,则有a2+b2>c2
若△ABC是钝角三角形,∠C为钝角,则有a2+b2 当△ABC是锐角三角形时,证明: 过点A作AD⊥CB,垂足为D。 设CD为x,则有DB=a-x 根据勾股定理得b2-x2=c2―(a―x)2 22222222即b-x=c―a+2ax―x∴a+b=c+2ax ∵a>0,x>0∴2ax>0∴a2+b2>c2当△ABC是钝角三角形时, 43.(10分)如图,A市气象站测得台风中心在A市正东方向300千米的B处,以107千米/ 时的速度向北偏西60°的BF方向移动,距台风中心200? 千米范围内是受台风影响的区域. (1)A市是否会受到台风的影响? 写出你的结论并给予说明; (2)如果A市受这次台风影响,那么受台风影响的时间有多长? 44、将一根24cm的筷子,置于底面直径为15cm,高8cm的圆柱形水杯中,如图所示,设筷子露在杯子外面的长度为hcm,则h的取值范围是(). 45如图,已知: ,,于P.求证: A.h≤17cmB.h≥8cmC.15cm≤h≤16cmD.7cm≤h≤16cm 46【变式2】已知: 如图,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2。 求: 四边形ABCD的面积 47【变式】一辆装满货物的卡车,其外形高 2.5米,宽1.6米,要开进厂门形状如图的某工厂, 问这辆卡车能否通过该工厂的厂门? (一)转化的思想方法 我们在求三角形的边或角,或进行推理论证时,常常作垂线,构造直角三角形,将问题转化为直 角三角形问题来解决. 49、如图所示,△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E、F分别是AB、AC边上 的点,且DE⊥DF,若BE=12,CF=5.求线段EF的长 50如图,在等腰△ABC中,∠ACB=90°,D、E为斜边AB上的点,且∠DCE=4°5求证: DE2=AD2+BE2。 C CCA 51如图,在△ABC中,AB=13,BC=14,AC=15,则BC边上的高AD= 52如图,长方形ABCD中,AB=8,BC=4,将长方形沿AC折叠,点D落在点E处,则重叠部分△ AFC的面积是 53在△ABC中,AB=15,AC=20,BC边上的高AD=12,试求BC边的长. 54在△ABC中,D是BC所在直线上一点,若AB=l0,BD=6,AD=8,AC=17,求△ABC的面积。 55.若△ABC三边a、b、c满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,△ABC是直角三角形吗? 为什么? 56.在△ABC中,BC=1997,AC=1998,AB2=1997+1998,则△ABC是否为直角三角形? 为什么? 注意BC、AC、AB的大小关系。 AB AB2+BC2=1997+19972+1998=19×97(1+1997)+1998=1997×1998+1998=19982=AC2。 57.一只蚂蚁在一块长方形的一个顶点A处,一只苍蝇在这个长方形上和蜘蛛相对的顶点C1处,如图,已知长方形长6cm,宽5cm,高3cm。 蜘蛛因急于捉到苍蝇,沿着长方形的表面向上爬,它要从A点爬到C1点,有很多路线,它们有长有短,蜘蛛究竟应该沿着怎样的路线爬上去,所走的距离最短? 你能帮蜘蛛求出最短距离吗? 58.木箱的长、宽、高分别为40dm、30dm和50dm,有一70dm的木棒,能放进去吗? 请说明理由 59.已知△ABC的三边a、b、c,且a+b=17,ab=60,c=13,△ABC是否是直角三角形? 你能说明 理由吗? 1 60.如图,E是正方形ABCD的边CD的中点,延长AB到F,使BF=4AB,那么FE与FA相等吗? 为什么? 61.如图,∠A=60°, ∠B=∠D=90°。 若BC=4,CD=6,求AB的长。 62.如图,∠xoy=60 ,M是∠xoy内的一点,它到ox的距离MA为2。 它到oy的距离为11。 求 OM的长 带答案版的 用面积证明勾股定理 方法一: 将四个全等的直角三角形拼成如图 (1)所示的正方形 图 (1)中 ,所以 方法二: 将四个全等的直角三角形拼成如图 (2)所示的正方形 图 (2)中 3)—1和(3) —2所示的两个形状相同 方法三: 将四个全等的直角三角形分别拼成如图的正方形。 在(3)—1中,甲的面积=(大正方形面积)—(4个直角三角形面积),在(3)—2中,乙和丙的面积和=(大正方形面积)—(4个直角三角形面积)所以,甲的面积=乙和丙的面积和,即: . 方法四: 如图(4)所示,将两个直角三角形拼成直角梯形。 ,所以 练习题 1如图,圆柱的高为10cm,底面半径为2cm.,在下底面的A点处有一只蚂蚁,它想吃到上底 面上与A点相对的B点处,需要爬行的最短路程是多少? 2如图,长方体的高为3cm,底面是边长为2cm的正方形.现有一小虫从顶点A出发,沿长方 体侧面到达顶点C处,小虫走的路程最短为多少厘米? 答案AB=5 D 3、一只蚂蚁从棱长为 1的正方体纸箱的B'点沿纸箱爬到 D点,那么它所行的最短路线的长是 4、如图,小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸,已知该纸片宽AB为8cm,? 长BC? 为10cm.当 ABCD折叠, BFC 小红折叠时,顶点D落在BC边上的点F处5.如图,将一个边长分别为4、8的长方形纸片使C点与A点重合,则EB的长是(). A.3B.4C.5D. 折痕为AE).想一想,A此时EC有多长? D? 6.已知: 如图,在△ABC中,∠C=90°,∠ B=30°,AB的 垂直平分线交BC于D,垂足为E,D=4cm. 求AC的长. 7、如图,有一个直角三角形纸片,两直角边AC=6,BC=8,现将直角边AC沿直线AD折叠,使其落在斜边AB上,且与AE重合,则CD的长为 8、如图,在矩形ABCD中,AB6,将矩形ABCD折叠,使点B与点D重合,C落在C处,若AE: BE1: 2,则折痕EF的长为。 AEB 9、如图,已知: 点E是正方形ABCD的BC边上的点,现将△DCE沿折痕DE向上翻折,使DC落在 对角线DB上,则EB∶CE= 10、如图,AD是△ABC的中线,∠ADC=45o,把△ADC沿AD对折,点C落在C′的位置,若BC=2, 则BC′=. A B 题5图 C D 11.如图1,有一块直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD折 叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,则CD等于() A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm 图1 12、有一个直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm现,将直角边AC沿∠CAB的角平分线AD折 13、如图,在△ABC中,∠B=90,AB=BC=,6把 △ABC进行折叠,使点A与点D重合,BD: DC=1: 2,折痕为EF, 点E在AB上,点F在AC上,求EC的长。 14.已知,如图长方形ABCD中,AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠,使点 为EF,则△ABE的面积为() 22 A、6cm2B、8cm2 22 C、10cm2D、12cm2 15.如图,将矩形ABCD沿EF折叠,使点D与点B重合,已知AB=3,AD=9,求BE的长. 16、如图,每个小方格的边长都为1.求图中格点四边形ABCD的面积 17、如图,已知: 在ABC中,ACB90,分别以此直角三角形的三边为直径画半圆,试说明 图中阴影部分的面积与直角三角形的面积相等. 18.如图8,有一块塑料矩形模板ABCD,长为10cm,宽为4cm,将你手中足够大的直角三角板PHF 的直角顶点P落在AD边上(不与A、D重合),在AD上适当移动三角板顶点P: ①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C? 若能,请你求出这时AP的长;若不能,请说明理由.②再次移动三角板位置,使三角板顶点P在AD上移动,直角边PH始终通过点B,另一直角边PF与DC的延长 线交于点Q,与BC交于点E,能否使CE=2cm? 若能,请你求出这时AP的长;若不能,请你说明理由. 21.①能.设AP=x米,由于BP2=16+x2,CP2=16+(10-x)2,而在Rt△PBC中,有BP2+CP2=BC2,即16+x2+16+(10-x)2=100,所以x2-10x+16=0,即(x-5)2=9,所以x-5=±3,所以x=8,x=2,即AP=8或2,②能.仿照①可求得AP=4. 19.如图△ABC中, ACB90,AC12,BC5,ANAC,BM BC 则MN=4 20、※直角三角形的面积为S, 斜边上的中线长为 d, 则这个三角形周长为() (A)dS 2d (B)d S d (C)2d2S 2d (D)2d 2S d c,则c2d S 1 a b222 解: 设两直角边分别为 a,b,斜边为 2 .由勾股定理,得a2b2c2 22所以aba 2 2abb2 2c 2 4S4d2 4S. 所以ab2d2 S.所以a b c2d2 S 2d. 故选(C) 21※.在ABC中,ABAC1,BC边上有2006个不同的点P1,P2,LP2006 2 记miAPi2BPiPiCi1,2,L2006,则m1m2Lm2006=. 解: 如图,作ADBC于D,因为ABAC1,则BDCD. 222222由勾股定理,得ABADBD,APADPD.所以 2222 AB2AP2BD2PD2BDPDBDPDBPPC 222所以APBPPCAB1. 2 因此m1m2Lm20061220062006. 22※.如图所示,在RtABC中,BAC90,ACAB,DAE45,且BD3 CE4,求DE的长. 解: 如右图: 因为ABC为等腰直角三角形,所以ABDC45. 所以把AEC绕点A旋转到AFB,则AFBAEC. 所以BFEC4,AFAE,ABFC45.连结DF.所以DBF为直角三角形. 由勾股定理,得DF2BF2BD2423252.所以DF5. 因为DAE45,所以DAFDABEAC45. 所以ADEADFSAS.所以DEDF5. 23、如图,在△ABC中,AB=AC=,6P为BC上任意一点,请用学过的知识试求PC·PB+PA2的值 P 24、※如图在Rt△ABC中,C90,AC4,BC3,在Rt△ABC的外部拼接一个合适的直角三 角形,使得拼成的图形是一个等腰三角形。 如图所示: 要求: 在两个备用图中分别画出两种与示例图不同的拼接方法,在图中标明拼接的直角三角形的 三边长(请同学们先用铅笔画出草图,确定后再用0.5mn的黑色签字笔画出正确的图形) 解: 要在Rt△ABC的外部接一个合适的直角三角形,使得拼成的图形是一个等腰三角形,关键是腰与底边的确定。 要求在图中标明拼接的直角三角形的三边长,这需要用到勾股定理知识。 下图中的四种拼接方法供参考。 25.如图,A、B两个村子在河CD的同侧,A、B两村到河的距离分别为AC=1km,BD=3km,CD=3km,现在河边CD上建一水厂向A、B两村输送自来水,铺设水管的费用为20000元/千米,请你在CD选择水厂位置O,使铺设水管的费用最省,并求出铺设水管的总费用F。 OE BC 27.(8分)如图,在△ABC中,AB=AC,P为BC上任意一点,请说明: AB2-AP2=PB×PC
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