离散LSI系统的频域分析报告.docx
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离散LSI系统的频域分析报告
课程名称数字信号处理
实验成绩
指导教师
实验报告
院系信息工程学院
班级13普本测控
学号
XX
日期2016.4.18
实验3离散LSI系统的频域分析
一、实验目的:
1、加深对离散系统变换域分析——z变换的理解,掌握使用MATLAB进行z变换和逆z变换的常用函数的用法。
2、了解离散系统的零极点与系统因果性和稳定性的关系,熟悉使用MATLAB进行离散系统的零极点分析的常用函数的用法。
3、加深对离散系统的频率响应特性基本概念的理解,掌握使用MATLAB进行离散系统幅频响应和相频响应特性分析的常用方法。
二、实验原理
1、z变换和逆z变换
(1)用ztrans函数求无限长序列的z变换。
该函数只给出z变换的表达式,而没有给出收敛域。
另外,由于这一函数还不尽完善,有的序列的z变换还不能求出,逆z变换也存在同样的问题。
例7-1求以下各序列的z变换
x1(n)=anx2(n)=nx3(n)=n(n-1)/2x4(n)=ejωonx5(n)=1/[n(n-1)]
程序清单如下:
symsw0nza;
x1=0;X1=ztrans(x1)
x2=sin(w0*n);X2=ztrans(x2)
x3=exp(-a*n)*sin(w0*n);X3=ztrans(x3)
程序运行结果如下:
X1=z/a/(z/a-1)
X2=z/(z-1)^2
X3=1/2*z*(z+1)/(z-1)^3-1/2*z/(z-1)^2
X4=z/exp(i*w0)/(z/exp(i*w0)-1)
X5=z/(z-1)-ztrans(1/n,n,z)
(2)用iztrans函数求无限长序列的逆z变换。
例3-2求下列函数的逆z变换。
程序清单如下:
symsnza;
X1=z/(z-a);x1=iztrans(X1)
X2=z/(z-a)^2;x2=iztrans(X2)
X3=z/[z-exp(j*w0)];x3=iztrans(X3)
X4=(1-z^-3)/(1-z^-1);x4=iztrans(X4)
程序运行结果如下:
x1=1
x2=a^n*n
x3=1/2*n^2-1/2*n
x4=iztrans((1-z^(-n))/(1-1/z),z,n)
2、离散系统的零极点分析(系统极点位置对系统响应的影响)
例3-3研究z右半平面的实数极点对系统的影响。
已知系统的零极点增益模型分别为:
求这些系统的零极点分布图以与系统的单位序列响应,判断系统的稳定性。
程序清单如下:
z1=[0]';p1=[0.85]';k=1;
[b1,a1]=zp2tf(z1,p1,k);
subplot(3,2,1);zplane(z1,p1);
title('极点在单位圆');
subplot(3,2,2);impz(b1,a1,20);
z2=[0]';p2=[1]';
[b2,a2]=zp2tf(z2,p2,k);
subplot(3,2,3);zplane(z2,p2);
title('极点在单位圆上');
subplot(3,2,4);impz(b2,a2,20);
z3=[0]';p3=[1.5]';
[b3,a3]=zp2tf(z3,p3,k);
subplot(3,2,5);zplane(z3,p3);
title('极点在单位圆外');
subplot(3,2,6);impz(b3,a3,20);
程序运行结果如图3-1所示。
由图可见,这三个系统的极点均为实数且处于z平面的右半平面。
由图可知,当极点位于单位圆,系统的单位序列响应随着频率的增大而收敛;当极点位于单位圆上,系统的单位序列响应为等幅振荡;当极点位于单位圆外,系统的单位序列响应随着频率的增大而发散。
由此可知系统1、2为稳定系统。
图3-1
例3-4研究z左半平面的实数极点对系统的影响。
已知系统的零极点增益模型分别为:
求这些系统的零极点分布图以与系统的单位序列响应,判断系统的稳定性。
程序清单如下:
z1=[0]';p1=[-0.85]';k=1;
[b1,a1]=zp2tf(z1,p1,k);
subplot(3,2,1);zplane(z1,p1);
title('极点在单位圆');
subplot(3,2,2);impz(b1,a1,20);
z2=[0]';p2=[-1]';
[b2,a2]=zp2tf(z2,p2,k);
subplot(3,2,3);zplane(z2,p2);
title('极点在单位圆上');
subplot(3,2,4);impz(b2,a2,20);
z3=[0]';p3=[-1.5]';
[b3,a3]=zp2tf(z3,p3,k);
subplot(3,2,5);zplane(z3,p3);
title('极点在单位圆外');
subplot(3,2,6);impz(b3,a3,20);
程序运行结果如图3-2所示。
由图可见,这三个系统的极点均为实数且处于z平面的左半平面。
由图可知,当极点位于单位圆,系统的单位序列响应随着频率的增大而收敛;当极点位于单位圆上,系统的单位序列响应为等幅振荡;当极点位于单位圆外,系统的单位序列响应随着频率的增大而发散。
由此可知系统1、2为稳定系统。
图3-2
例3-5研究z右半平面的复数极点对系统响应的影响
已知系统的零极点增益模型分别为:
求这些系统的零极点分布图以与系统的单位序列响应,判断系统的稳定性。
程序清单如下:
z1=[0.3,0]';p1=[0.5+0.7j,0.5-0.7j]';k=1;
[b1,a1]=zp2tf(z1,p1,k);
subplot(3,2,1);zplane(z1,p1);
title('极点在单位圆');
subplot(3,2,2);impz(b1,a1,20);
z2=[0.3,0]';p2=[0.6+0.8j,0.6-0.8j]';
[b2,a2]=zp2tf(z2,p2,k);
subplot(3,2,3);zplane(z2,p2);
title('极点在单位圆上');
subplot(3,2,4);impz(b2,a2,20);
z3=[0.3,0]';p3=[1+j,1-j]';
[b3,a3]=zp2tf(z3,p3,k);
subplot(3,2,5);zplane(z3,p3);
title('极点在单位圆外');
subplot(3,2,6);impz(b3,a3,20);
程序运行结果如图3-3所示。
由图可见,这三个系统的极点均为复数且处于z平面的右半平面。
由图可知,当极点位于单位圆,系统的单位序列响应随着频率的增大而收敛;当极点位于单位圆上,系统的单位序列响应为等幅振荡;当极点位于单位圆外,系统的单位序列响应随着频率的增大而发散。
由此可知系统1、2为稳定系统。
图3-3
由以上三例可得结论:
系统只有在极点处于单位圆才是稳定的。
例3-6已知某离散时间系统的系统函数为
求该系统的零极点与零极点分布图,并判断系统的因果稳定性。
程序清单如下:
b=[0.2,0.1,0.3,0.1,0.2];
a=[1,-1.1,1.5,-0.7,0.3];
rz=roots(b)
rp=roots(a)
subplot(2,1,1);zplane(b,a);
title('系统的零极点分布图');
subplot(2,1,2);impz(b,a,20);
title('系统的单位序列响应');
xlabel('n');ylabel('h(n)');
程序运行结果如下:
rz=
-0.5000+0.8660i-0.5000-0.8660i
0.2500+0.9682i0.2500-0.9682i
rp=
0.2367+0.8915i0.2367-0.8915i
0.3133+0.5045i0.3133-0.5045i
图3-4
由零极点分布图可见,该系统的所有极点均在单位圆,因此该系统是一个因果稳定系统。
3、离散系统的频率响应
(1)离散系统的频率响应的基本概念
已知稳定系统传递函数的零极点增益模型为
则系统的频响函数为
其中,系统的幅频特性为
系统的相频特性为
由以上各式可见,系统函数与频率响应有着密切的联系。
适当地控制系统函数的零极点分布,可以改变离散系统的频响特性:
①在原点(z=0)处的零点或极点至单位圆的距离始终保持不变,其值|ejω|=1,所以,对幅度响应不起作用;
②单位圆附近的零点对系统幅度响应的谷值位置与深度有明显影响;
③单位圆且靠近单位圆附近的极点对系统幅度的峰值位置与大小有明显的影响。
(2)系统的频响特性分析
例3-7已知某离散时间系统的系统函数为
求该系统在0~П频率围的相对幅频响应与相频响应。
程序清单如下:
b=[0.1321,0,-0.3963,0,0.3963,0,-0.1321];
a=[1,0,0.34319,0,0.60439,0,0.20407];
freqz(b,a);
程序运行结果如图3-5所示。
该系统是一个IIR数字带通滤波器。
其中幅频特性采用归一化的相对幅度值,以分贝(dB)为单位。
图3-5
例3-8已知某离散时间系统的系统函数为
求该系统在0~П频率围的绝对幅频响应与相频响应。
程序清单如下:
b=[0.2,0.1,0.3,0.1,0.2];a=[1,-1.1,1.5,-0.7,0.3];
n=(0:
500)*pi/500;
[h,w]=freqz(b,a,n);
subplot(2,1,1);plot(n/pi,abs(h));grid;
axis([0,1,1.1*min(abs(h)),1.1*max(abs(h))]);
xlabel('\omega/\pi');ylabel('幅度');
subplot(2,1,2);plot(n/pi,angle(h));grid;
axis([0,1,1.1*min(angle(h)),1.1*max(angle(h))]);
xlabel('\omega/\pi');ylabel('相位');
程序运行结果如图3-6所示。
该系统为一低通滤波器。
图3-6
例3-9已知某离散时间系统的系统函数为
求该系统在0~П频率围的绝对幅频响应与相频响应、相对幅频响应与相频响应与零极点分布图。
程序清单如下:
b=[0.1,-0.4,0.4,-0.1];
a=[1,0.3,0.55,0.2];
n=(0:
500)*pi/500;
[h,w]=freqz(b,a,n);
db=20*log10(abs(h));
subplot(2,2,1);plot(w/pi,abs(h));grid;
axis([0,1,1.1*min(abs(h)),1.1*max(abs(h))]);
title('幅频特性(V)');
xlabel('\omega/\pi');ylabel('幅度(V)');
subplot(2,2,2);plot(w/pi,angle(h));grid;
axis([0,1,1.1*min(angle(h)),1.1*max(angle(h))]);
xlabel('\omega/\pi');ylabel('相位');
title('相频特性');
subplot(2,2,3);plot(w/pi,db);grid
axis([0,1,-100,5]);
title('幅频特性(dB)');
subplot(2,2,4);zplane(b,a);
title('零极点分布');
程序运行结果如图3-7所示:
图3-7
(3)一个求解频率响应的实用函数。
在实际使用freqz进行离散系统频响特性分析时。
通常需要求解幅频响应、相频响应、群时延,幅频响应又分为绝对幅频和相对幅频两种表示方法。
下面定义函数freqz_m,利用该函数,可方便求出上述各项。
freqz_m函数定义如下:
function[db,mag,pha,grd,w]=freqz_m(b,a);
[H,w]=freqz(b,a,1000,'whole');
H=(H(1:
501))';w=(w(1:
501))';
mag=abs(H);
db=20*log10((mag+eps)/max(mag));
pha=angle(H);
grd=grpdelay(b,a,w);
例3-10已知某离散时间系统的系统函数为
求该系统在0~П频率围的绝对幅频响应与相频响应、相对幅频响应与相频响应与群时延。
程序清单如下:
b=[0.1321,0,0.3963,0,0.3963,0,0.1321];
a=[1,0,-0.34319,0,0.60439,0,-0.20407];
[db,mag,pha,grd,w]=freqz_m(b,a);
subplot(2,2,1);plot(w/pi,mag);grid
axis([0,1,1.1*min(mag),1.1*max(mag)]);
title('幅频特性(V)');
xlabel('\omega/\pi');ylabel('幅度(V)');
subplot(2,2,2);plot(w/pi,pha);grid;
axis([0,1,1.1*min(pha),1.1*max(pha)]);
xlabel('\omega/\pi');ylabel('相位');
title('相频特性');
subplot(2,2,3);plot(w/pi,db);grid
axis([0,1,-100,5]);
title('幅频特性(dB)');
subplot(2,2,4);plot(w/pi,grd);grid
axis([0,1,0,10])
title('群时延');
程序运行结果如图3-8所示:
图3-8
三、实验容:
2、求下列各序列的z变换:
程序:
symsw0nza;
x1=n*power(a,n);
X1=ztrans(x1)
x2=sin(w0*n);
X2=ztrans(x2)
x3=exp(-a*n)*sin(w0*n);
X3=ztrans(x3)
运行结果:
X1=z/(a*(z/a-1)^2)
X2=(z*sin(w0))/(z^2-2*cos(w0)*z+1)
X3=(z*exp(a)*sin(w0))/(exp(2*a)*z^2-2*exp(a)*cos(w0)*z+1)
3、求下列函数的逆z变换
程序:
symsw0nza;
X1=z/(z-a);
x1=iztrans(X1)
X2=z/(z-a)^2;
x2=iztrans(X2)
X3=z/(z-exp(j*w0));
x3=iztrans(X3)
X4=(1-z^-3)/(1-z^-1);
x4=iztrans(X4)
运行结果:
x1=piecewise([a<>0,a*(a^n/a-kroneckerDelta(n,0)/a)+kroneckerDelta(n,0)])
x2=piecewise([a<>0,a*(kroneckerDelta(n,0)/a^2+(a^n*(n-1))/a^2)+a^n/a-kroneckerDelta(n,0)/a])
x3=exp(i*w0)*(exp(i*w0)^n/exp(i*w0)-kroneckerDelta(n,0)/exp(i*w0))+kroneckerDelta(n,0)
x4=
kroneckerDelta(n-1,0)+kroneckerDelta(n-2,0)+kroneckerDelta(n,0)
4、求下列系统函数所描述的离散系统的零极点分布图,并判断系统的稳定性
(1)
z1=[0.3,0]';p1=[-1+j,-1-j]';k=1;
[b1,a1]=zp2tf(z1,p1,k);
subplot(1,2,1);zplane(z1,p1);
subplot(1,2,2);impz(b1,a1,20);
极点处于单位圆,故系统是稳定的。
(2)
b=[4,-1.6,-1.6,4];a=[1,0.4,0.35,-0.4];
rz=roots(b)
rp=roots(a)
subplot(2,1,1);zplane(b,a);title('系统的零极点分布图');
subplot(2,1,2);impz(b,a,20);title('系统的单位序列响应');
xlabel('n');ylabel('h(n)');
运行结果:
rz=
-1.0000
0.7000+0.7141i
0.7000-0.7141i
rp=
-0.4500+0.7730i
-0.4500-0.7730i
0.5000
由零极点分布图可见,该系统的所有极点均在单位圆,因此该系统是一个因果稳定系统。
5、已知某离散时间系统的系统函数为
求该系统在0~π频率围的绝对幅频响应与相频响应、相对幅频响应与相频响应与群时延。
b=[0.187632,0,-0.241242,0,0.241242,0,-0.187632];
a=[1,0,0.602012,0,0.495684,0,0.035924];
[db,mag,pha,grd,w]=freqz_m(b,a);
subplot(2,2,1);plot(w/pi,mag);grid
axis([0,1,1.1*min(mag),1.1*max(mag)]);
title('幅频特性(V)');
xlabel('\omega/\pi');ylabel('幅度(V)');
subplot(2,2,2);plot(w/pi,pha);grid;
axis([0,1,1.1*min(pha),1.1*max(pha)]);
xlabel('\omega/\pi');ylabel('相位');
title('相频特性');
subplot(2,2,3);plot(w/pi,db);grid
axis([0,1,-100,5]);
title('·幅频特性(dB)');
subplot(2,2,4);plot(w/pi,grd);grid
axis([0,1,0,10]);
title('群延时');
四、实验预习:
1、认真阅读实验原理部分,明确实验目的,复习有关离散LSI系统频率响应的理论知识。
2、读懂实验原理部分的例题程序,熟悉与本实验有关的MATLAB函数。
3、根据实验容预先编写实验程序,并思考本实验提出的有关MATLAB函数在调用时应注意哪些问题。
4、预习思考题:
①系统函数零极点的位置与系统单位序列响应有何关系?
答:
当极点位于单位圆,系统的单位序列响应随着频率的增大而收敛;当极点位于单位圆上,系统的单位序列响应为等幅振荡;当极点位于单位圆外,系统的单位序列响应随着频率的增大而发散
②离散系统的零极点对系统幅频响应有何影响?
答:
①在原点(z=0)处的零点或极点至单位圆的距离始终保持不变,其值|ejω|=1,所以,对幅度响应不起作用;
②单位圆附近的零点对系统幅度响应的谷值位置与深度有明显影响;
③单位圆且靠近单位圆附近的极点对系统幅度的峰值位置与大小有明显的影响。
五、实验报告:
1、列写调试通过的实验程序,打印实验程序产生的曲线图形。
2、列出本实验提出的有关MATLAB函数在调用时应注意的问题。
3、给出预习思考题答案。
实验总结:
通过本次实验,加深了z变换的理解,会使用MATLAB进行z变换和逆z变换常用的变换函数。
更深入认识到离散系统的零极点与系统单位序列响应、系统幅频响应的关系,熟悉了使用MATLAB进行离散系统的零极点分析的常用函数。
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