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大学物理鹰潭职业技术学院er
大学物理(鹰潭职业技术学院):
er
本章要点:
第2章质点运动学 1.质点运动状态的描述,掌握基本概念如质点、位置矢量、速度、加速度;2.质点运动的矢量性与瞬时性、相对性;3.三种常用坐标下各运动学量的表达式;4.解决运动学基本问题的方法;5.相对运动及伽利略变换。
物理学是研究物质最普遍、最基本的运动形式的基本规律的一门学科,这些运动形式包括机械运动、分子热运动、电磁运动、原子和原子核运动以及其它微观粒子运动等。
机械运动是这些运动中最简单、最常见的运动形式,其基本形式有平动和转动。
在平动过程中,若物体内各点的位置没有相对变化,那么各点所移动的路径完全相同,可用物体上任一点的运动来代表整个物体的运动,从而可研究物体的位置随时间而改变的情况。
在力学中,这部分内容称为质点运动学。
质点运动的描述 参考系质点 1.参考系 在自然界中所有的物体都在不停地运动,绝对静止不动的物体是没有的。
在观察一个物体的位置及位置的变化时,总要选取其他物体作为标准,选取的标准物不同,对物体运动情况的描述也就不同,这就是运动描述的相对性。
为描述物体的运动而选的标准物叫做参考系。
不同的参考系对同一物体运动情况的描述是不同的。
因此,在讲述物体的运动情况时,必须指明是对什么参考系而言的。
参考系的选择是任意的。
在讨论地面上物体的运动时,通常选地球作为参考系。
2.质点 物体都有大小和形状,运动方式又都各不相同。
例如,太阳系中,行星除绕自身的轴线自转外,还绕太阳公转;从枪口射出的子弹,它在空中向前飞行的同时,还绕自身的轴转动;有些双原子分子,除了分子的平动、转动外,分子内各个原子还在振动。
这些事实都说明,物体的运动情况是十分复杂的。
物体的大小、形状、质量也都是千差万别的。
如果我们研究某一物体的运动,可以忽略其大小和形状,或者可以只考虑其平动,那么,我们就可把物体当作是一个有一定质量的点,这样的点通常叫做质点。
质点是经过科学抽象而形成的物理模型。
把物体当作质点是有条件的、相对的,而不是无条件的、绝对的,因而对具体情况要作具体分析。
例如研究地球绕太阳公转时,于地球 4 至太阳的平均距离约为地球半径的10倍,故地球上各点相对于太阳的运动可以看作是相同的,所以在研究地球公转时可以把地球当作质点。
但是,在研究地球上物体的运动情况时,就不能再把地球当作质点处理了。
应当指出,把物体视为质点这种抽象的研究方法,在实践上和理论上都有重要意义的。
当我们所研究的运动物体不能视为质点时,可把整个物体看成是许多质点组成的,弄清这些质点的运动,可以弄清楚整个物体的运动。
所以,研究质点的运动是研究物体运动的基础。
质点运动的矢量描述 1.位置矢量运动方程位移 .位置矢量r 在参考系选定以后,为定量地描述质点的位置和位置随时间的变化,须在参考系上选择一个坐标系。
1 在如图2-1所示的直角坐标系中,在时间t,质点P在坐标系里的位置可用位置矢量r(t)来表示。
位置矢量简称位矢,它是一个有向线段,其始端位于坐标系的原点O,末端则与质点P在时刻t的位置重合。
从图中可以看出,位矢r在ox轴、oy轴和oz轴上的投影(即质点的坐标)分别为x、y和z。
所以,质点P在直角坐标系中的位置,既可以用位矢r来表示,也可以用坐标x、y和z来表示。
那么位矢r亦可写成 r?
xi?
yj?
zk 其值为 r?
x2?
y2?
z2 位矢r的方向余弦下式确定 cos?
?
yxz cos?
?
cosr?
rrr 图2-1
(2).运动方程当质点运动时,它相对坐标原点O的位矢r是随时间而变化的。
因此,r是时间的函数, r?
r(t)?
x(t)i?
y(t)j?
z(t)k即 式(2-2)叫做质点的运动方程;而x(t)、和z(t)则是运动方程的分量式,从中消去参数t便得到了质点运动的轨迹方程,所以它们也是轨迹的参数方程。
应当指出,运动学的重要任务之一就是找出各种具体运动所遵循的运动方程。
.位移 在如图2-2O-xy平面直角坐标系中,有一质点沿曲线从时刻t1的点A运动到时刻t2的点B,质点相对原点O的位矢rA变化到rB。
显然,在时间间隔?
t?
t2?
t1内, y(t)位矢的长度和方向都发生了变化。
我们将起始点A指向终点B的有向线段AB称为点A到点B的位移矢量,简称位移。
位移AB反映了质点位矢的变化。
如把AB写作?
r,则质点从A点到点B的位移为 图2-2 亦可写成 ?
r?
rB?
rA?
(xB?
xA)i?
(yB?
yA)j 上式表明,当质点在平面上运动时,它的位移等于在x轴和y轴上的位移矢量和。
若质点在三维空间运动,则在直角坐标系Oxyz中其位移为 ?
r?
rB?
rA?
(xB?
xA)i?
(yB?
yA)j?
(zB-zA)k?
r?
rB?
rA 应当注意,位移是描述质点位置变化的物理量,它只表示位置变化的实际效果,并非质点所经历的路程。
如在图2-2中,曲线所示的路径是质点实际运动的轨迹,轨迹的 2 长度为质点所经历的路程,而位移则是?
r。
当质点经一闭合路径回到原来的起始位置时,其位移为零,而路程则不为零。
所以,质点的位移和路程是两个完全不同的概念。
只有在△t取得很小的极限情况下,位移的大小|?
r|才可视为与路程AB没有区别。
2.速度 在力学中,若仅知道质点在某时刻的位矢,而不能同时知道该质点是静还是动,是动又动到什么程度,就不能确定质点的运动状态。
所以,还应引入一物理量来描述位置矢量随时间的变化程度,这就是速度。
.平均速度 如图2-3所示,一个质点在平面上沿轨迹CABD曲线运动。
在时刻t,它处于点A,其位矢为r1(t)。
在时刻t?
?
t,它处于点B,其位矢为r2(t?
?
t)。
在?
t时间内,质点的位移为?
r?
r2?
r1。
在时间间隔?
t内的平均速度v为 r?
r?
rv?
21?
?
t?
t 平均速度可写成 v?
图2-3 ?
y?
r?
x?
i?
j?
vxi?
vyj?
t?
t?
t Oy其中xy是平均速度v在Ox轴和轴上的分量。
.瞬时速度 当?
t?
0时,平均速度v的极限值叫做瞬时速度(简称速度),用v表示,有 ?
rdrv?
lim?
?
t?
0?
tdt 或 v?
lim?
x?
yi?
limj?
vxi?
vyj?
t?
0?
tΔt?
0?
t dydx,vy?
dtdt Oyv和v其中 vx?
vx和vy是速度v在Ox轴和Oy轴上的分量,又称为速度分量。
vx和vy显然,如以 么有 分别表示速度v在Ox轴和 v?
vxi?
vyj上的分速度(注意:
它们是分矢量!
),那 上式亦可以写成 v?
vx?
vy (2-4c) 速度v的方向与?
r在?
t?
0时的极限方向一致。
当?
t?
0时,?
r趋于和轨道相切,即 3 与点A的切线重合。
所以当质点作曲线运动时,质点在某一点的速度方向就是沿该点曲线的切线方向。
如图2-4所示。
图2-4 只有当质点的位矢和速度同时被确定时,其运动状态才被确知。
所以位矢r和速度v是描述质点运动状态的两个物理量。
这两个物理量可以从运动方程求出,所以知道了运动方程可以确定质点在任意时刻的运动状态。
因此,概括说来,运动学问题有两类:
一是已知运 动方程求解运动状态;另一是已知运动状态求解运动方程。
例设质点的运动方程为 r(t)?
x(t)i?
y(t)j?
1 其中 x(t)?
(1m?
s)t?
2m, 1y(t)?
(m?
s?
2)t2?
2m4 t?
3s求时的速度。
(2)作出质点的运动轨迹图。
解这是已知运动方程求运动状态的一类运动学问题,可以通过求导数的方法求出。
(1)题意可得速度分量分别为 dxdy1vx?
?
1m?
s?
1,vy?
?
(m?
s?
2)tdtdt2 故t?
3s时的速度分量为 vx?
1m?
s?
1和vy?
?
s?
1 t?
3s于是时,质点的速度为 v?
(1m?
s?
1)i?
(?
s?
1)j?
1 速度的值为v?
?
s,速度v与x之间的夹角为 ?
?
arctg
(2)已知运动方程 ?
1x(t)?
(1m?
s?
1)t?
2m,y(t)?
(m?
s-2)t2?
2m4 t消去可得轨迹方程 图2-5 1y?
(m-1)x2?
x?
3m4 并可作如图2-5所示的质点运动轨迹图。
4 3.加速度 上面已经指出,作为描述质点状态的一个物理量,速度是一个矢量,所以,无论是速度的数值发生改变,还是其方向发生改变,都表示速度发生了变化。
为衡量速度的变化,我们将从曲线运动出发引出加速度的概念。
.平均加速度如图2-6所示,设在时刻t,质点位于点A,其速度为v1,在时刻t?
?
t,质点位于点B,其速度为v2,则在时间间隔?
t内,质点的速度增量为?
v?
v2?
v1,它在单位时间 内的速度增量即平均加速度为 图2-6 ?
va?
?
t .瞬时加速度 当?
t?
0时,平均加速度的极限值叫做瞬时加速度,用a表示,有 ?
vdva?
lim?
?
t?
0?
tdt a的方向是?
t?
0时?
v的极限方向,而a的数值是?
v/?
t的极限值。
应当注意,加速度a既反映了速度方向的变化,也反映了速度数值的变化。
所以质点作 曲线运动时,任一时刻质点的加速度方向并不与速度方向相同,即加速度方向不沿着曲线的切线方向。
在曲线运动中,加速度的方向指向曲线的凹侧。
式(2-5)可以写成 da?
(vxi?
vyj)dt 即 a?
axi?
ayj?
ax?
aydvydvx,ay?
dtdt 其中 ax?
例有一个球体在某液体中垂直下落,球体的初速度为 v0?
(10m?
s?
1)j,它在液体中的 ?
1加速度为a?
(?
)vj。
问:
(1)任一时刻t的球体的速度。
(2)时刻t球体经历的路程有多长?
解:
题意知,球体作变速直线运动,加速度a的方向与球体的速度v的方向相反,加速度的定义,有 dva?
?
(?
?
1)vdt得vdvt?
1?
(?
)?
v0v?
0dt 有 v?
v0e (?
?
1)t 5
上式表明,球体的速率v随时间t的增长而减小。
又速度的定义,有 v?
?
1dy?
v0e(?
)tdt 得 y?
10[?
?
y0dy?
v0?
e(?
0t?
1)tdt ?
1?
11(e(?
)t?
1)]m?
10[1?
e(?
)t] 几种常用的坐标 1.直角坐标 二维直角坐标的正交归一基矢是(i,j),(i,j)分别是沿直角坐标轴x、y方向的单位矢量。
在直角坐标下, r?
xi?
yj dy?
?
?
x?
?
y?
dxi?
jdtdta?
ax?
ay2d2ydx?
2i?
dt2j dt?
2?
2例一质点具有恒定加速度a?
(6m?
s)i?
(4m?
s)j,在t?
0时,其速度为零,位置 矢量r0?
(10m)i。
求:
在任意时刻的速度和位置矢量;质点在 Oxy平面上的轨迹方程,并画出轨 迹的示意图。
解:
加速度定义式,根据初始条件t0=0时v0=0,积分可得 ?
v0dv?
?
adt?
?
[(6m?
s?
2)i?
(4m?
s?
2)j]dt00ttv?
(6m?
s?
2)ti?
(4m?
s?
2)tj 图2-7又 v?
drdt及初始条件t=0时,r0=(10m)i, 积分可得 ?
r0dr?
?
vdt?
?
[(6m?
s?
2)ti?
(4m?
s?
2)tj]dt00tt r?
[10m?
(3m?
s?
2)t2]i?
[(2m?
s?
2)t2]j 6 上述结果可得质点运动方程的分量式,即 ?
22 x?
10m?
?
3m?
s?
t y?
2m?
s?
2t2?
?
消去参数t,可得运动的轨迹方程 3y?
2x?
20m 这是一个直线方程,直线斜率 k?
dy2?
tan?
?
dx3。
图2-8 2.平面极坐标 Oxy设有一质点在如图2-8所示平面内运动,某时刻它位于点A。
坐标原点O到点A的有向线段r称为径矢,r与Ox轴之间的夹角为?
。
于是,质点在点A的位置可(r,?
)来确定。
这种以(r,?
)为坐标的参考系称为平面极坐标系。
而在平面直角坐标系内,点A的坐标则为(x,y)。
这两个坐标系的坐标之间的变换关系为:
x?
rcos?
和y?
rsin?
?
称为角坐标,它是时间t的函数,即?
=?
ω?
dθ为角速度,在圆周运动下, dtν?
rω。
3.自然坐标 .自然坐标 一般来说,质点平面运动需用两个独立的变量描述,如在平面直角坐标系中就是用x、y来描述,但质点又有其运动轨迹y=y(x),则x、y间只有一个是独立的。
这就是说,在已知质点轨迹的前提下,质点的平面运动仅需一个标量函数就能确切描述质点的运动状况。
这里,我们既不选择x,也不选择y充当这一描述运动的标量函数,而是选用另一种所谓“自然坐标”。
在已知运动轨迹上任选一点0为原点,沿质点的轨迹为“坐标轴”,原点至质点位置的弧 图2-9 长s作为质点的位置坐标,弧长s称为平面自然坐标,它确定质点的位置,并在质点所在处A取一单位矢量沿曲线切线且指向自然坐标增加方向的矢量et,称为切向单位矢量,另取一单位矢量,沿曲线的法向且指向曲线的凹侧的矢量en,称为法向单位矢量。
下面以 7 圆周运动为例。
.切向速度 如图2-9所示,质点在圆周上点A的速度为v,于是点A的速度v可以写成 v?
vet 式中v为速度v的值,et则代表速度v的方向。
.切向加速度和法向加速度 在圆周上任意点的加速度为 dedvdva?
?
et?
vtdtdtdt dvet式(2-8)中第一项dt,是于速度大小的变化而引起的,其方向为et的方向,即与速度v 的方向相同。
因此,此项加速度分矢量称为切向加速度,用at表示, dvdω?
rdt另外,可得 dt式中d?
/dt为角速度随时间的变化率,叫做角加速度,用符号?
表示,有dωd2?
?
?
?
2dtdt 角加速度?
的单位为rad?
s,则切向加速度 at?
r?
et?
2 图2-10 式(2-8)中的第二项det/dt,则表示切向单位矢量随时间的变化。
这一点从图2-10(a)中 可以看出。
设在时刻t,质点位于圆周上点A,其速度为v1,切向单位矢量为et1;在时刻t?
?
t,质点位于点B,速度为v2,切向单位矢量为et2。
在时间间隔?
t内,径矢r转过的角度为?
?
,速度增量为?
v,切向单位矢量的增量则为?
et?
et2?
et1。
于切向单位矢量的值为1,即et1?
et2?
1,因而,从图(b)可以知道 ?
et?
?
?
?
1?
?
?
。
当?
t?
0时,?
?
亦趋于零, 这时?
et的方向趋于与et1垂直,即趋于与v1垂直,并且趋于指向圆心。
如果,我们在沿径矢而指向圆心的法线方向上取单位矢量即法向单位矢量en(如上图),那么,在?
t?
0时, ?
et/?
t的极限值为 ?
etdetd?
?
?
en?
t?
0?
tdtdtlim这样,式(2-8)中第二项可以写成 8 v于这个加速度的方向是垂直于切向的,故叫做法向加速度,用an表示,有 d?
an?
vdtendetd?
?
vendtdt 考虑到?
?
d?
/dt,v?
r?
故上式为v2v22an?
r?
en?
en, an?
rr 式(2-10)和式(2-11b),可将质点作变速圆周运动时的加速度的表达式(2-8)写成 dvv2a?
at?
an?
et?
endtr 或 a?
r?
et?
r?
2en (2-12b) 其中切向加速度at是于速度数值的变化而引起的,法向加速度an则是于速度方向的变化而引 起。
在变速圆周运动中,于速度的方向和大小都在变化,所以加速度a的方向不再指向圆心(图2-11),其值和方向为 a212a?
(at2?
an), tg?
?
nat 图2-11 上述结果虽然是从变速圆周运动中得出的,但对于一般的曲线运动,式(2-10)、(2-11)仍然适用。
此时可以把一段足够小的曲线看成是一段圆弧。
这样包含这段圆弧的圆周就被称为曲线在给定点的曲率圆,从而可用曲率半径?
来替代圆的半径r。
vA?
1940km?
h?
1A例如图2-12所示,飞机在高空点时的水平速率为,沿近似于圆 ?
1弧的曲线俯冲到点B,其速率为vB?
2192km?
h,所经历的时间为?
t?
3s。
设圆弧AB的半 径约为,且飞机从A到B的俯冲过程可视为匀变速率圆周运动。
若不计重力加速度的影响,求:
(1)飞机在点B的加速度;
(2)飞机点A到达点B所经历的路程。
解:
(1)于飞机在AB之间作匀变速率圆周运动,所以dv/dt和角加速度?
均为常量。
切向加速度at的值为 at?
vBdvdt tt有 ?
vAdv?
?
atdt?
at?
dt00 9 得点B的切向加速度为 at?
vB?
vA?
?
s?
2?
t 而在点B的法向加速度为 2vBan?
?
106m?
s?
2r 故飞机在点B时的加速度的值为 21/2a?
(at2?
an)?
109m?
s?
2 图2-12 a与an之间夹角?
为 ?
?
arctgat?
(2)在时间t内,径矢r转过的角度为 ?
?
?
At?
?
t212 其中?
A是飞机在点A的角速度。
故在此时间内,飞机经过的路程为 S?
r?
?
r?
At?
11r?
t2?
vAt?
?
tt2?
1722m22 运动学的基本问题 运动学的问题一般分为两大类:
第一类问题是已知质点的位置矢量r=r(t),而求质点的速度和加速度,这类问题可以通过矢径对时间的逐级微商得到。
例如图2-13,长为l的细棒,在竖直平面内沿墙角下滑,上端A下滑速度为匀速v。
当下端B离墙角距离为x(x 解:
建立如图所示的坐标系设A端离地高度为y yyAl?
x2?
y2?
l2 方程两边对t求导 B2x?
dxdy?
2y?
0dtdt Oxxdxydyy?
?
?
vdtxdtx 图2-13 10
l2?
x2?
vx dx加速度:
dt22 =xdy/dt-ydx/dtx2vl22?
?
3vx 例质点作半径为R的圆周运动,其速率?
?
2t,求:
质点任意时刻的加速度a?
v24t2?
解:
?
an?
RR4t2a=Ra?
?
dv?
2dten+2et 第二类问题是已知质点的加速度或速度,而反过来求质点的速度、位置及运动方程。
第二类问题则是通过对加速度或速度积分而得到结果,积分常数要问题给定的初始条件,如初始位置和初始速度来决定。
例一质点沿圆周运动,其切向加速度与法向加速度的大小恒保持相等。
设?
为质点在圆周上任意两点速度?
1与?
2之间的夹角。
试证:
?
2证:
?
an?
v2Rat?
dvdt ?
?
1e?
。
dvdsdvv2dv?
v 即?
?
?
dsRdtRv ?
sdsR0?
?
?
?
21dvv积分得 sv?
ln2 ?
Rv1?
sv?
ln2Rv1 ?
2?
?
1e?
。
运动的叠加 1.运动叠加原理 在日常生活和生产实践中,常可看到一个物体同时参与两个或几个不同方向上运动的情形,大量实验事实表明,宏观物体任何一个方向的运动,都不因为其他方向的运动而受到影响,即各种方向的运动都具有独立性,这称为运动独立性原理。
2.实例:
以抛体运动为例。
抛体运动是平面曲线运动,物体在空中任意时刻速度分量为 11 vx?
v0co?
s y?
v0y?
vy?
v0sin?
?
gt 积分可得 ?
v0?
v?
gx?
v0cos?
?
t xy?
vt?
100sin?
?
2gt2 v?
0x 图2-14 消去t得轨迹方程y?
xtg?
?
g2v2?
x20cos2y=0得 v?
02射程xvsin2?
m?
0g g?
tvy=0 有t?
v0sin?
g v?
v22射高y?
0sin?
m2g 矢量形式为v?
(v0cosθ)i?
(v0sinθ?
gt)j 图2-15 即v?
(v0cosθ)i?
(v0sinθ?
gt)j?
v0?
gt r?
?
t10vdt?
v0t?
2gt2 可见抛体运动可归结为初速度方向的匀速直线运动122gt和竖直方向的自落体运动的叠加。
例证明在猎人和猴子的演示中,不论子弹的初速度如何总能击中猴子(不计空气阻力)。
解:
v弹猴?
v弹地?
v地猴?
v弹地?
v猴地?
v 图2-16 0?
gt?
gt?
v 0即子弹相对于猴子的速度为子弹的初速度,只要一开始瞄准猴子总能击中。
12 相对运动 质点的运动轨迹依赖于观察者(即参考系)的例子是很多的。
例如一个人站在作匀速直线运动的车上,竖直向上抛出一块石子,车上的观察者看到石子竖直上升并竖直下落。
但是,站在地面上的另一人却看到石子的运动轨迹为一抛物线。
从这个例子可以看出,石子的运动情况依赖于参考系。
在描述物体的运动时,总是相对选定的参考系而言的。
通常,我们选地面,如果另一个参考系相对于基本参考系K在运动,则称为运动参考系K’。
设一运动物体P在某一时刻相对于参考系K和K’的位置,可分别用位矢和K中的位矢为 表示;而运动参考系K’上的原点O’在基本参考系 相对位移 ,它们之间有如下的关系,即 yKK’y’?
u?
r’xx’?
rO’O?
r0z 图2-17 z’ .相对速度 drdr0dr?
?
?
得dtdtdt将2-13式对时间t求导, 1. :
物体在基本参考系K中观察到的速度,称为物体的绝对速度,用ν表示; 13 2.示; :
物体在运动参考系K’中观测到的速度,称为物体的相对速度,用ν?
表 3.u表示。
:
运动参考系自身相对于基本参考系K的速度,称为物体的牵连速度,用 于是,上式可以写成 ν?
u?
ν?
即绝对速度等于相对速度与牵连速度的矢量和,这一结论称为速度合成定理,它表述了不同参考系之间的速度变换关系。
例如图2-19,两船A和B各以速度νA和νB行驶,试问它们会相碰吗?
解:
B相对于A的速度 νBA?
νB地?
ν地A ?
νB地?
?
A地 A?
vAA?
vBBB=νB-νA 不会相碰。
?
vBA?
vB?
vBA?
vA图2-18 例东流的江水,流速为v1=4m/s,一船在江中以航速v2=3m/s向正北行驶。
试求:
岸上的人将看到船以多大的速率v,向什么方向航行?
解:
以岸为K系,江水为K’系船相对于岸的速度 ν?
ν1?
ν22?
ν?
ν12?
ν2?
v2?
图2-19 ?
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v114 方向?
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4v1 例一小船运载木料逆水而行,经过某桥下时,一块木料不慎落入水中,经过半小时后 才发觉,立即回程追赶,在桥下游5千米处追上木料,设小船顺流及逆流的速度相同。
求:
小船回程追赶所需时间?
水流速度?
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