八年级数学华师大版 第18章 函数及其图象.docx
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八年级数学华师大版第18章函数及其图象
第18章函数及其图象
18.1变量与函数
(1)
教学目标
1.掌握常量和变量、自变量和因变量(函数)基本概念;
2.了解表示函数关系的三种方法:
解析法、列表法、图象法,并会用解析法表示数量关系.
教学重点难点
重点:
函数的概念及三种表示方法
难点:
函数的概念
教学过程
一、创设情境
在学习与生活中,经常要研究一些数量关系,先看下面的问题.
问题1见书P22结合图形,提出问题。
二、探究归纳
①问题2见书P22结合图形,提出问题。
观察上表,说说随着存期x的增长,相应的年利率y是如何变化的.
解随着存期x的增长,相应的年利率y也随着增长.
②问题3见书P22结合图形,提出问题。
观察上表回答:
(1)波长l和频率f数值之间有什么关系?
(2)波长l越大,频率f就________.
解
(1)l与f的乘积是一个定值,即
lf=300000,
或者说
.
(2)波长l越大,频率f就 越小 .
③问题4见书P23结合图形,提出问题。
解S=πr2.
圆的半径越大,它的面积就越大.
④由上面的问题,得到变量、自变量、因变量、函数的概念。
表示函数关系的方法通常有三种:
(1)解析法,如问题3中的
,问题4中的S=πr2,这些表达式称为函数的关系式.
(2)列表法,如问题2中的利率表,问题3中的波长与频率关系表.
(3)图象法,如问题1中的气温曲线.
问题的研究过程中,还有一种量,它的取值始终保持不变,我们称之为常量。
三、实践应用
例1见书P24练习2
例2见书P24练习3
四、交流反思
1.函数概念包含:
(1)两个变量;
(2)两个变量之间的对应关系.
2.在某个变化过程中,可以取不同数值的量,叫做变量;数值始终保持不变的量,叫做常量.例如x和y,对于x的每一个值,y都有惟一的值与之对应,我们就说x是自变量,y是因变量.
3.函数关系三种表示方法:
(1)解析法;
(2)列表法;(3)图象法.
五.作业
P26习题18.11.2.6
18.1变量与函数
(2)
教学目标
1.掌握根据函数关系式直观得到自变量取值范围,以及实际背景对自变量取值的限制;
2.掌握根据函数自变量的值求对应的函数值.
教学重点难点
重点:
列函数关系式,确定自变量取值范围
难点:
列函数关系式
教学过程
一、创设情境
问题1见书P24试一试
(1)
解能发现涂黑的格子成一条直线.函数关系式:
y=10-x.
问题2试写出等腰三角形中顶角的度数y与底角的度数x之间的函数关系式.
解y与x的函数关系式:
y=180-2x.
问题3见书P24试一试(3)
解y与x的函数关系式:
.
二、探究归纳
思考
(1)在上面问题中所出现的各个函数中,自变量的取值有限制吗?
如果有,写出它的取值范围.
(2)在上面问题1中,当涂黑的格子横向的加数为3时,纵向的加数是多少?
当纵向的加数为6时,横向的加数是多少?
分析问题1,观察加法表中涂黑的格子的横向的加数的数值范围.
问题2,因为三角形内角和是180°,所以等腰三角形的底角的度数x不可能大于或等于90°.
问题3,开始时A点与M点重合,MA长度为0cm,随着△ABC不断向右运动过程中,MA长度逐渐增长,最后A点与N点重合时,MA长度达到10cm.
解
(1)问题1,自变量x的取值范围是:
1≤x≤9;
问题2,自变量x的取值范围是:
0<x<90;
问题3,自变量x的取值范围是:
0≤x≤10.
(2)当涂黑的格子横向的加数为3时,纵向的加数是7;当纵向的加数为6时,横向的加数是4.
在用解析式表示函数时,要考虑自变量的取值必须使解析式有意义.在确定函数中自变量的取值范围时,如果遇到实际问题,不必须使实际问题有意义.
对于函数y=x(30-x),当自变量x=5时,对应的函数y的值是y=5×(30-5)=5×25=125.
125叫做这个函数当x=5时的函数值.
三、实践应用
例2见书P25
解
(1)x取值范围是任意实数;
(2)x取值范围是任意实数;
(3)x的取值范围是x≠-2;(4)x的取值范围是x≥2.
归纳四个小题代表三类题型.
(1),
(2)题给出的是只含有一个自变量的整式;(3)题给出的是分母中只含有一个自变量的式子;(4)题给出的是只含有一个自变量的二次根式.
例3见书P25
解当MA=1cm时,重叠部分的面积是
cm2.
练习P251.2.3
四、交流反思
1.求函数自变量取值范围的两个依据:
(1)要使函数的解析式有意义.
①函数的解析式是整式时,自变量可取全体实数;
②函数的解析式分母中含有字母时,自变量的取值应使分母≠0;
③函数的解析式是二次根式时,自变量的取值应使被开方数≥0.
(2)对于反映实际问题的函数关系,应使实际问题有意义.
2.求函数值的方法:
把所给出的自变量的值代入函数解析式中,即可求出相应的函数值.
五、作业
P26习题18.13.4.5
18.2函数的图象
(1)
教学目标
1.掌握平面直角坐标系的有关概念;
2.能正确画出直角坐标系,以及根据点的坐标找出它的位置、由点的位置确定它的坐标;
3.理解直角坐标系上的点和有序实数对是一一对应.
教学重点难点
重点:
直角坐标系上的点的坐标和有序实数对
难点:
直角坐标系上的点和有序实数对是一一对应的含义.
教学过程
一、创设情境
如图是一条数轴,数轴上的点与实数是一一对应的.数轴上每个点都对应一个实数,这个实数叫做这个点在数轴上的坐标.例如,点A在数轴上的坐标是4,点B在数轴上的坐标是-2.5.知道一个点的坐标,这个点的位置就确定了.
我们学过利用数轴研究一些数量关系的问题,在实际生活中.还会遇到利用平面图形研究数量关系的问题.
二、探究归纳
问题1例如你去过电影院吗?
还记得在电影院是怎么找座位的吗?
问题2在教室里,怎样确定一个同学的座位?
阅读书27—28页
介绍平面直角坐标系,坐标轴,坐标原点,横坐标,纵坐标,坐标,象限等相关概念
三、实践应用
例1见书P28试一试1
例2见书P28试一试2
解A(-1,2)、B(2,1)、C(2,-1)、D(-1,-1)、E(0,3)、F(-2,0).
(1)在第一象限内的点,横坐标是正数,纵坐标是正数;
在第二象限内的点,横坐标是负数,纵坐标是正数;
在第三象限内的点,横坐标是负数,纵坐标是负数;
在第四象限内的点,横坐标是正数,纵坐标是负数;
(2)x轴上点的纵坐标等于零;y轴上点的横坐标等于零.
说明直角坐标系上的点和有序实数对是一一对应的.
练习P281.2
思考在直角坐标平面内,
(1)第一、三象限角平分线上点的坐标有什么特点?
(2)第二、四象限角平分线上点的坐标有什么特点?
解
(1)第一、三象限角平分线上点:
横坐标与纵坐标相同;
(2)第二、四象限角平分线上点:
横坐标与纵坐标互为相反数.
四、交流反思
1.平面直角坐标系的有关概念及画法;
2.在直角坐标系中,根据坐标找出点;由点求出坐标的方法;
3.在四个象限内的点的坐标特征;两条坐标轴上的点的坐标特征;第一、三象限角平分线上点的坐标特征;第二、四象限角平分线上点的坐标特征;
4.分别关于x轴、y轴及原点的对称的两点坐标之间的关系.
五、作业
P2318.21.2.3
4.填空:
(1)点P(5,-3)关于x轴对称点的坐标是 ;
(2)点P(3,-5)关于y轴对称点的坐标是 ;
(3)点P(-2,-4)关于原点对称点的坐标是 .
18.2函数的图象
(2)
教学目标
1.掌握用描点法画出一些简单函数的图象;
2.理解解析法和图象法表示函数关系的相互转换.
教学重点难点
重点:
函数的图象,用描点法画函数的图象的步骤.
难点:
理解函数的图象的意义
教学过程
一、创设情境
问题1在前面,我们曾经从如图所示的气温曲线上获得许多信息,回答了一些问题.现在让我们来回顾一下.
二、探究归纳
先考虑一个简单的问题:
你是如何从图上找到各个时刻的气温的?
上面气温曲线图是用图象表示函数的实际例子.
一般来说,函数的图象是由直角坐标系中的一系列点组成的图形.图象上每一点的坐标(x,y)代表了函数的一对对应值,它的横坐标x表示自变量的某一个值,纵坐标y表示与它对应的函数值.
三、实践应用
例1画出函数y=x+1的图象.
分析要画出一个函数的图象,关键是要画出图象上的一些点,为此,首先要取一些自变量的值,并求出对应的函数值.可以得到一系列的有序实数对:
在直角坐标系中,描出这些有序实数对(坐标)的对应点。
通常,用光滑曲线依次把这些点连起来,便可得到这个函数的图象.
这里画函数图象的方法,可以概括为列表、描点、连线三步,通常称为描点法.
例2画出函数
2的图象.
分析用描点法画函数图象的步骤:
分为列表、描点、连线三步.要求学生在课本上画。
四、交流反思
由函数解析式画函数图象,一般按下列步骤进行:
1.列表:
列表给出自变量与函数的一些对应值;
2.描点:
以表中对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点;
3.连线:
按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用光滑的曲线连结起来.
描出的点越多,图象越精确.有时不能把所有的点都描出,就用光滑的曲线连结画出的点,从而得到函数的近似的图象.
五、作业
P301.2
18.2函数的图象(3)
教学目标
1.使学生掌握用描点法画实际问题的函数图象;
2.使学生能从图形中分析变量的相互关系,寻找对应的现实情境,预测变化趋势等问题.
教学重点难点;
重点.难点:
实际问题的函数图象的特征
教学过程
一、创设情境
问题1P30思考
问图中有一个直角坐标系,它的横轴(x轴)和纵轴(y轴)各表示什么?
答横轴(x轴)表示两人爬山所用时间,纵轴(y轴)表示两人离开山脚的距离.
问如图,线段上有一点P,则P的坐标是多少?
表示的实际意义是什么?
答P的坐标是(3,90).表示小强爬山3分后,离开山脚的距离90米.
我们能否从图象中看出其它信息呢?
二、探究归纳
看上面问题的图,回答下列问题:
(1)小强让爷爷先上多少米?
(2)山顶离山脚的距离有多少米?
谁先爬上山顶?
分析
(1)小强让爷爷先跑的路程,应该看表示爷爷的这条线段.由于从小强开始爬山时计时的,因此这时爷爷爬山所用时间是0,而x轴表示爬山所用时间,得x=0.可在线段上找到这一点A.A点对应的函数值y=60.
(2)y轴表示离开山脚的距离,山顶离山脚的距离指的是离开山脚的最大距离,也就是函数值y取最大值.可分别在这两条线段上找到这两点B、C,过B、C两点分别向x轴、y轴作垂线,可发现交y轴于同一点Q,Q点的数值就是山顶离山脚的距离,分别交x轴于M、N,M、N点的数值分别是小强和爷爷爬上山顶所用的时间,比较两值的大小就可判断出谁先爬上山顶.
归纳在观察实际问题的图象时,先从两坐标轴表示的实际意义得到点的坐标意义.如图中的点P(3,90),这一点表示小强爬山3分后,离开山脚的距离90米.再从图形中分析两变量的相互关系,寻找对应的现实情境.如图中的两条线段都可以看出随着自变量x的逐渐增大,函数值y也随着逐渐增大,再联系现实情境爬山所用时间越长,离开山脚的距离越大,当x达到最大值时,也就是到达山顶.
三、实践应用
例P32问题2
分析
(1)高尔夫球飞行的路线,也就是函数
的图象,用描点法画出图象.在列表时要注意自变量x的取值范围,因为x是球飞出的水平距离,所以x不能取负数.在建立直角坐标系时,横轴(x轴)表示球飞出的水平距离,纵轴(y轴)表示球的飞行高度.
(2)高尔夫球的最大飞行高度就是图象上函数值y取最大值的点,如图点P,点P的纵坐标就是高尔夫球的最大飞行高度;球的起点与球进洞点是球飞出的水平距离最小值的点和最大值的点,如图点O和点A,点O和点A横坐标差的绝对值就是球的起点与洞之间的距离.
(2)高尔夫球的最大飞行高度是3.2m,球的起点与洞之间的距离是8m.
四、交流反思
1.画实际问题的图象时,必须先考虑函数自变量的取值范围.有时为了表达的方便,建立直角坐标系时,横轴和纵轴上的单位长度可以取得不一致;
2.在观察实际问题的图象时,先从两坐标轴表示的实际意义得到点的坐标的实际意义.然后观察图形,分析两变量的相互关系,给合题意寻找对应的现实情境.
五、作业
P33习题18.25.6
18.3一次函数
(1)
教学目标
1.理解一次函数和正比例函数的概念;
2.根据实际问题列出简单的一次函数的表达式.
教学重点难点
重点:
一次函数的概念
难点:
一次函数的概念的理解
教学过程
一、创设情境
问题1书P34
分析我们设汽车在高速公路上行驶时间为t小时,汽车距北京的路程为s千米,根据题意,s和t的函数关系式是s=570-95t.
说明找出问题中的变量并用字母表示是探求函数关系的第一步,这里的s、t是两个变量,s是t的函数,t是自变量,s是因变量.
问题2书P35
分析我们设从现在开始的月份数为x,小张的存款数为y元,得到所求的函数关系式为:
y=50+12x.
问题3以上问题1和问题2表示的这两个函数有什么共同点?
二、探究归纳
上述两个问题中的函数解析式都是用自变量的一次整式表示的.函数的解析式都是用自变量的一次整式表示的,我们称它们为一次函数.一次函数通常可以表示为y=kx+b的形式,其中k、b是常数,k≠0.
特别地,当b=0时,一次函数y=kx(常数k≠0)出叫正比例函数.正比例函数也是一次函数,它是一次函数的特例.
三、实践应用
例1下列函数关系中,哪些属于一次函数,其中哪些又属于正比例函数?
(1)面积为10cm2的三角形的底a(cm)与这边上的高h(cm);
(2)长为8(cm)的平行四边形的周长L(cm)与宽b(cm);
(3)食堂原有煤120吨,每天要用去5吨,x天后还剩下煤y吨;
(4)汽车每小时行40千米,行驶的路程s(千米)和时间t(小时).
分析确定函数是否为一次函数或正比例函数,就是看它们的解析式经过整理后是否符合y=kx+b(k≠0)或y=kx(k≠0)形式,所以此题必须先写出函数解析式后解答.
解
(1)
,不是一次函数.
(2)L=2b+16,L是b的一次函数.
(3)y=150-5x,y是x的一次函数.(4)s=40t,s既是t的一次函数又是正比例函数.
例2已知函数y=(k-2)x+2k+1,若它是正比例函数,求k的值.若它是一次函数,求k的值.
分析根据一次函数和正比例函数的定义,易求得k的值.
解若y=(k-2)x+2k+1是正比例函数,则2k+1=0,即k=
.
若y=(k-2)x+2k+1是一次函数,则k-2≠0,即k≠2.
四、交流反思
一次函数、正比例函数以及它们的关系:
函数的解析式都是用自变量的一次整式表示的,我们称它们为一次函数.一次函数通常可以表示为y=kx+b的形式,其中k、b是常数,k≠0.
特别地,当b=0时,一次函数y=kx(常数k≠0)出叫正比例函数.正比例函数也是一次函数,它是一次函数的特例.
五、作业
P34练习1.2.3
一次函数
(2)
教学目标
1.理解一次函数和正比例函数的图象是一条直线;
2.熟练地作出一次函数和正比例函数的图象,掌握k与b的取值对直线位置的影响.
教学重点难点
重点:
一次函数的特征
难点:
一次函数中k与b的取值对直线位置的影响,
教学过程
一、创设情境
前面我们学习了用描点法画函数的图象的方法,下面请同学们根据画图象的步骤:
列表、描点、连线,在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象.
(1)
;
(2)
;(3)y=3x; (4)y=3x+2.
同学们观察并互相讨论,并回答:
你所画出的图象是什么形状.(图略)
二、探究归纳
观察上面四个函数的图象,发现它们都是直线.请同学举例对你们的发现作出验证.
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线,这条直线通常又称为直线y=kx+b(k≠0).特别地,正比例函数y=kx(k≠0)是经过原点的一条直线.
问几点可以确定一条直线?
(两点).
结论那么今后画一次函数图象时只要取两点,过两点画一条直线就可以了.通过比较,老师点拨,得出结论:
一般情况下,要取直线与x轴、y轴的交点比较简便.
请同学们在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象.
(1)y=-x、y=-x+1与y=-x-2;
(2)y=2x、y=2x+1与y=2x-2.(图略)
通过观察发现:
(1)第一组三条直线互相平行,第二组的三条直线也互相平行.为什么呢?
因为每一组的三条直线的k相同;还可以看出,直线y=-x+1与y=-x-2是由直线y=-x分别向上移动1个单位和向下移动2个单位得到的;而直线y=2x+1与y=2x-2是由直线y=2x分别向上移动1个单位和向下移动2个单位得到的.
(2)y=-x与y=2x、y=-x+1与y=2x+1、y=-x-2与y=2x-2的交点在同一点,为什么呢?
因为每两条直线的b相同;而直线与y轴的交点纵坐标取决于b.
所以,两个一次函数,当k一样,b不一样时,有
共同点:
直线平行,都是由直线y=kx(k≠0)向上或向下移动得到;
不同点:
它们与y轴的交点不同.
而当两个一次函数,b一样,k不一样时,有
共同点:
它们与y轴交于同一点(0,b);
不同点:
直线不平行.
三、实践应用
例直线
分别是由直线
经过怎样的移动得到的.
分析只要k相同,直线就平行,一次函数y=kx+b(k≠0)是由正比例函数的图象y=kx(k≠0)经过向上或向下平移
个单位得到的.b>0,直线向上移;b<0,直线向下移.
四、交流反思
通过这节课的学习,我们学到了哪些新知识?
1.一次函数的图象是一条直线.
2.画一次函数图象时,只要取两个点即可,一般取直线与x轴、y轴的交点比较简便.
3.两个一次函数,当k一样,b不一样时,共同之处是直线平行,都是由直线y=kx(k≠0)向上或向下移动得到,不同之处是它们与y轴的交点不同;当b一样,k不一样时,共同之处是它们与y轴交于同一点(0,b),不同之处是直线不平行.
五、作业
P37练习1.2
18.3一次函数(3)
教学目标
1.使学生熟练地作出一次函数的图象,会求一次函数与坐标轴的交点坐标;
2.会作出实际问题中的一次函数的图象.
教学重点难点
重点:
求一次函数与坐标轴的交点坐标会作一次函数的图象
难点:
会作出实际问题中的一次函数的图象
教学过程
一、创设情境
1.一次函数的图象是什么,如何简便地画出一次函数的图象?
2.正比例函数y=kx(k≠0)的图象是经过哪一点的直线?
3.平面直角坐标系中,x轴、y轴上的点的坐标有什么特征?
4.在平面直角坐标系中,画出函数
的图象.我们画一次函数时,所选取的两个点有什么特征,通过观察图象,你发现这两个点在坐标系的什么地方?
二、探究归纳
1.在画函数
的图象时,通过列表,可知我们选取的点是(0,-1)和(2,0),这两点都在坐标轴上,其中点(0,-1)在y轴上,点(2,0)在x轴上,我们把这两个点依次叫做直线与y轴与x轴的交点.
2.求直线y=-2x-3与x轴和y轴的交点,并画出这条直线.
分析x轴上点的纵坐标是0,y轴上点的横坐标0.由此可求x轴上点的横坐标值和y轴上点的纵坐标值.
所以一次函数y=kx+b,当x=0时,y=b;当y=0时,
.所以直线y=kx+b与y轴的交点坐标是(0,b),与x轴的交点坐标是
.
三、实践应用
例1若直线y=-kx+b与直线y=-x平行,且与y轴交点的纵坐标为-2;求直线的表达式.
分析直线y=-kx+b与y=-x平行,可求出k的值,与y轴交点的纵坐标为-2,可求出b的值.
解因为直线y=-kx+b与直线y=-x平行,所以k=-1,又因为直线与y轴交点的纵坐标为-2,所以b=-2,因此所求的直线的表达式为y=-x-2.
例2求
与x轴、y轴的交点坐标,并求这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积.
解直线与x轴y轴的交点坐标是A(2,0),B(0,-3).
.
例3见书P38例3
分析这是一题与实际生活相关的函数应用题,函数关系式s=570-95t中,自变量t是小明在高速公路上行驶的时间,所以0≤t≤6,画出的图象是直线的一部分.再者,本题中t和s取值悬殊很大,故横轴和纵轴所选取的单位长不一致.
讨论书P38
例4今年入夏以来,全国大部分地区发生严重干旱.某市自来水公司为了鼓励市民节约用水,采取分段收费标准,若某户居民每月应交水费y(元)是用水量x(吨)的函数,当0≤x≤5时,y=0.72x,当x>5时,y=0.9x-0.9.
(1)画出函数的图象;
(2)观察图象,利用函数解析式,回答自来水公司采取的收费标准.
分析画函数图象时,应就自变量0≤x≤5和x>5分别画出图象,当0≤x≤5时,是正比例函数,当x>5是一次函数,所以这个函数的图象是一条折线.
解
(1)函数的图象是:
(2)自来水公司的收费标准是:
当用水量在5吨以内时,每吨0.72元;当用水量在5吨以上时,每吨0.90元.
四、交流反思
1.一次函数y=kx+b,当x=0时,y=b;当y=0时,
.所以直线y=kx+b与y轴的交点坐标是(0,b),与x轴的交点坐标是
;
2.在画实际问题中的一次函数图象时,要考虑自变量的取值范围,画出的图象往往不再是一条直线.
五、作业
P38练习1
18.3一次函数(4)
教学目标
1.掌握一次函数y=kx+b(k≠0)的性质.
2.能根据k与b的值说出函数的有关性质.
教学重点难点
重点:
一次函数图象性质
难点:
一次函数图象性质
教学过程
一、创设情境
1.一次函数的图象是一条直线,一般情况下我们画一次函数的图象,取哪两个点比较简便?
2.在同一直角坐标系中,画出函数
和y=3x-2的图象.
问在你所画的一次函数图象中,直线经过几个象限.
二、探究归纳
1.在所画的一次函数图象中,直线经过了三个象限.
2.观察图象发现在直线
上,当一个点在直线上从左向右移动时,(即自变量x从小到大时),点的位置也在逐步从低到高变化(函数y的值也从小变到大).
即:
函数值y随自变量x的增大而增大.
3.请同学们讨论:
函数y=3x-2是否也有这种现象?
既然,一次函数的图象经过三个象限,观察上述两个函数的图象,从它经过的象限看,它必经过哪两个象限(可以再画几条直线分析)?
发现上述两条直线都经过一、三象限.又由于直线与y轴的交点坐标是(0,b)所以,当b>0时,直线与x轴的交点在y轴的正半轴,也称在x轴的上方;当b<0时,直线与x轴的交点在y轴的负半轴,也称在x轴的下方.所以当k>0,b≠0时,直线经过一、三、二象限或一、三、四象限.
4.在同一坐标系中,画出函数y=-x+2和
的图象(图略).
根据上面分析的过程,请同学们研究这两个函数图象是否也有相应的性质?
你能发现什么规律.
观察函数y=-x+2和
的图象发现:
当一个点在直线上从左向右移动时(即自变量x从小到大时),点的位置逐步从高到低变化(函
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- 八年级数学华师大版 第18章 函数及其图象 八年 级数 师大 18 函数 及其 图象