01第一节 认识三角形.docx
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01第一节认识三角形
第一节认识三角形
第二课时
第五章三角形
●课时安排
15课时
第一课时
●课题
§5.1.1认识三角形
●教学目标
(一)教学知识点
1.三角形的概念;
2.三角形的三边关系.
(二)能力训练要求
1.通过观察、操作、想象、推理、交流等活动,发展空间观念,推理能力和有条理地表达能力.
2.结合具体实例,进一步认识三角形的概念,掌握三角形三条边的关系.
(三)情感与价值观要求
联系学生的生活环境、创设情景,使学生通过观察、操作、交流和反思,获得必需的数学知识,激发学生的学习兴趣.
●教学重点
三角形三边关系的探究和归纳
●教学难点
三角形三边关系的应用
●教学方法
探究——归纳
学生在教师的指导下,自己探索,归纳,从而加深他们对所学的内容的理解.
●教具准备
图片:
含有三角形的建筑物的图片.
投影片六张
第一张:
问题(记作投影片§5.1.1A)
第二张:
议一议(记作投影片§5.1.1B)
第三张:
做一做(记作投影片§5.1.1C)
第四张:
练习(记作投影片§5.1.1D)
第五张:
例题(记作投影片§5.1.1E)
第六张:
练习(记作投影片§5.1.1F)
●教学过程
Ⅰ.创设现实情景,引入新课
[师]看下列实物中,有你熟悉的图形吗?
(出示投影:
一些含有三角形的建筑物)
立交桥、起重机、自行车、红领巾、空调外机的支架等.
[生]线段、角、三角形、圆.
[师]好,在生活中随处可见含有几何图形的物体,线段、角已系统地介绍过.圆将在以后的章节中介绍.从今天开始,我们来系统地研究第五章:
三角形.
三角形,它简单、有趣,也十分有用.既可以帮助我们更好地认识周围的世界,也可以帮助我们解决很多的实际问题.
在本章里,我们将学习三角形的基本性质,探索三角形全等的条件,并利用这些结果解决一些实际问题.
今天我们先来认识三角形.
Ⅱ.讲授新课
在小学数学中我们学习了有关三角形的一些初步知识,现在大家观察下面的屋顶框架图,并回答以下问题:
(出示投影片§5.1.1A)
观察下面的屋顶框架图.
图5-1图5-2
(1)你能从图5-1中找出4个不同的三角形吗?
(2)与同伴交流各自找的三角形.
(3)这些三角形有什么共同特点?
[师]要找三角形,必须知道什么是三角形.
[师生共析]由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形(triangle).
三角形的基本要素:
边、角、顶点.
三角形有三条边,三个内角和三个顶点.
[生]我能找到4个不同的三角形.
[师]好.与同伴交流一下.
……
[师]能说清楚吗?
可能同桌的两位或前后能指着说,隔一行或隔一排就恐怕不行,你说的是这个,他说的是那个,容易混淆,那怎么样就可以表示清楚呢?
[生]用符号表示.
[师]对,这就需要用符号来表示三角形.“三角形”可以用符号“△”表示,如图5-3
(1)中顶点是A、B、C的三角形,记作“△ABC”读作“三角形ABC”,∠A、∠B、∠C是三角形的角,线段AB、BC、CA是三角形的边.
(1)
(2)
图5-3
△ABC的三边,有时也用a、b、c来表示.如图5-3
(2):
顶点A所对的边BC用a表示,边AC、边AB分别用b、c来表示.
好.下面大家从图5-3
(1)中找出6个不同的三角形,并用符号表示.
[生甲]△ABD、△ADF、△ADE、△AGE、△BDF、△ADC.
[生乙]还可以△AEC、△ECG、△ABC.
[师]很好,大家看看这些三角形有什么共同特点呢?
[生丙]由三条线段组成.
[生丁]不行,必须是由三条线段顺次首尾相接,否则如图5-4,不是由线段AB、CD、EF组成的三角形.
图5-4
[生戊]这三条线段不能在同一直线上,否则构不成三角形.
[师生共析]由此可知三角形的本质特点:
(1)不在同一直线上的三条线段.
(2)这三条线段首尾顺次相连.
[师]好,下面我们来议一议.(出示投影片§5.1.1B)
(1)元宵节的晚上,房梁上亮起了彩灯,装有黄色彩灯的电线与装有红色的彩灯的电线哪根长呢?
说明你的理由.
图5-5
(2)在一个三角形中,任意两边之和与第三边的长度有怎样的关系?
为什么?
[生甲]装有黄色彩灯的电线长,我是通过测量得到的.
[生乙]装有黄色彩灯的电线长.因为我们在上册书中学习过这样一个性质:
两点之间的所有连线中,线段最短.所以把装有红色灯的电线两端当作两个点,这样它就最短.因此,装有黄色彩灯的电线长.
[生丙]在一个三角形中,任意两边之和大于第三边.如图5-6:
图5-6
△ABC中,若把B、C这两个顶点看作是定点,由“两点之间的所有连线中,线段最短”,可以得到:
AB+AC>BC.
同样,若把顶点A、C看作定点,可以得到:
AB+BC>AC
若把顶点A、B看作定点,可以得到:
BC+AC>AB
因此可以得:
三角形的任意两边的和大于第三边.
[师]同学们讨论得很好,尤其是第
(2)个问题说得很透彻,由此得到了三角形的三边之间的关系:
三角形任意两边之和大于第三边.
注意:
“任意”是没有任何条件的限制.
下面同学们来画一个锐角三角形,一个钝角三角形,一个直角三角形.然后根据下列问题来做一做(出示投影片§5.1.1C).
分别量出下面三个三角形的三边长度,并填入空格内:
(1)
(2)(3)
图5-7
(1)a=___________,b=___________,c=___________
(2)a=___________,b=___________,c=___________
(3)a=___________,b=___________,c=___________
计算每个三角形的任意两边之差,并与第三边比较,你能得到什么结论?
(学生画、量、计算)
[生甲]这三个三角形的三边中,每两边的差都小于第三边.
[生乙]通过计算,我们得到了:
三角形任意两边之差小于第三边.
[师]很好.这样我们又得到了三角形的三边之间的关系:
三角形任意两边之差小于第三边.
这个关系实际上可以由“三角形任意两边之和大于第三边”推导而来.所以,任意三角形都满足:
“任意两边之和大于第三边”,或者:
“任意两边之差小于第三边”,二者相互制约.
下面我们做练习来熟悉三角形的三边关系.
(出示投影片§5.1.1D)
下列每组数分别是三根小木棒的长度,用它们能摆成三角形吗?
实际摆一摆,验证你的结论.
(1)7cm、5cm、11cm
(2)4cm、3cm、7cm
(3)5cm、10cm、4cm
[生甲]
(1)7+5=12>11
7+11=18>5
11+5=16>7
所以由7cm、5cm、11cm长的三根小木棒能摆成三角形.
[生乙]老师,这样比较太麻烦,是不是可以只计算一组就行呢?
[师]可以吗?
[生丙]不可以.如
(2):
7+3=10>4,但进行拼摆时,这三根小木棒在同一直线上,说明由4cm、3cm、7cm长的三根小木棒不能构成三角形.
[生丁]我也觉得不行.如(3):
10+5=15>4,但通过摆时,也发现这三根小木棒不能摆成三角形.
[生戊]我觉得可以,只需要求出两条较短的线段的和与最长的线段进行比较,如果满足“两线段的和大于第三条线段”,则这三条线段就能构成三角形,否则就不行.
[生子]也可以先求出两条较长线段的差,然后与最短的线段进行比较.若小于,则这三条线段就能构成三角形,若等于或大于,就不行.
[师]噢,大家讨论得很激烈,戊同学和子同学说得对吗?
同学们来试一试.
[生]他们俩说得对.
[师]很好,这样给你三条线段,问能否组成三角形,就不必一一去验证了,只需要求出两条较短的线段的和与最长的线段进行比较,或求出两条较长的线段的差与最短的线段进行比较即可.所以刚才的
(2):
由于4+3=7.出现了两边之和等于第三边的情况,所以它们不能摆成三角形.(3):
由于4+5=9<10,出现了两边之和小于第三边的情况,所以它们不能摆成三角形.
好,下面我们来看例题:
(出示投影片§5.1.1E)
[例1]有两根长度分别为5cm和8cm的木棒,用长度为2cm的木棒与它们能摆成三角形吗?
为什么?
长度为13cm的木棒呢?
[师生共析]利用刚才讨论的方法去解.
解:
取长度为2cm的木棒时,由于2+5=7<8,出现了两边之和小于第三边的情况,所以它们不能摆成三角形.
取长度为13cm的木棒时,由于5+8=13,出现了两边之和等于第三边的情况,所以它们也不能摆成三角形.
[师]大家想一想:
你能取一根木棒,与原来的两根木棒摆成三角形吗?
[生甲]能.取一根4cm长的木棒.
[生乙]取5cm、6cm、7cm、8cm长的木棒都可以.
[师]很好.实际上,若有两根长度分别为5cm和8cm的木棒,那么第三根木棒的长度只需大于8-5=3cm,而小于8+5=13cm.即能摆成三角形.
接下来我们做练习进一步巩固本节所学内容.
Ⅲ:
练习
补充练习(出示投影片§5.1.1F)
1.指出图5-8中有几个三角形,并用符号表示出来.
图5-8
图5-9
答案:
图中有12个三角形.如图5-9中标上字母时,这12个三角形分别为:
△ADE、△BCF、△BCD、△BCE、△BCA、△DEF、△DEB、△DEC、△ABE、△ACD、△BDF、△CEF.
2.如果线段a、b、c可以构成三角形,那么它们的长度的比有可能是
A.2∶3∶4B.2∶2∶4
C.2∶2∶5D.1∶2∶3
答案:
A
Ⅳ.课时小结
本节课我们学习了三角形的概念及基本要素,重点研究了三角形的三边关系.
(1)从三角形三边关系的研究中可知三角形的三边相互制约——任意两边之和大于第三边,且任意两边之差小于第三边.
(2)判断a、b、c三条线段能否组成一个三角形,应注意:
a+b>c,b+c>a,a+c>b.三个条件缺一不可.当a是a、b、c三条线段中最长的一条时,只要b+c>a,就有任意两条线段的和大于第三边.
Ⅴ.课后作业
(一)课本P119习题5.11、2
(二)1.预习内容.P120~122
2.预习提纲.
(1)三角形的三个内角关系如何?
如何得证.
(2)三角形按角如何分类?
(3)直角三角形的两个锐角的关系如何?
Ⅵ.活动与探究
1.一个三角形的两边b=4,c=7,试确定第三边a的范围.当各边均为整数时,有几个三角形?
有等腰三角形吗?
等腰三角形的各边长各是多少?
[过程]让学生讨论、归纳,进一步掌握三角形的三边关系.
[结果]当一个三角形的两边b=4,c=7时,第三边a的范围为:
7-4<a<7+4即:
3<a<11.
当各边均为整数时,第三边可能为:
4、5、6、7、8、9、10.因此共有7个三角形.当a=4或a=7时,这个三角形为等腰三角形.其各边长分别为:
4、7、4;4、7、7.
●板书设计
§5.1.1认识三角形
一、三角形的概念
(1)定义
(2)要素
二、三角形的三边关系
两边之和大于第三边,两边之差小于第三边
注意:
任意
三、练习
四、例题
五、练习
六、课时小结
七、课后作业
●课题
§5.1.2认识三角形
●教学目标
(一)教学知识点
1.三角形三个角之间的关系.
2.三角形按角进行分类
3.直角三角形的性质.
(二)能力训练要求
1.通过观察、操作、想象、推理、交流等活动,发展空间观念、推理能力和有条理地表达能力.
2.掌握“三角形的内角和等于180°”这个结论,并会按角将三角形分类.了解直角三角形的两锐角之间的关系.
(三)情感与价值观要求
在学生活动中,培养其相互协作意识及数学表达能力,体验探索、交流与成功.
●教学重点
三角形三个内角的关系.即三角形的内角和为180°.
●教学难点
利用平行线的特性,得出三角形的内角和.
●教学方法
开放型的探究或方法
通过这种教学模式,培养学生的观察、猜想、动手、归纳能力.充分体现学生是数学学习的主人.教师是数学学习的组织者、引导者、合作者.
●教具准备
三角形纸片.
投影片四张:
第一张:
引例(记作投影片§5.1.2A)
第二张:
做一做(记作投影片§5.1.2B)
第三张:
猜一猜(记作投影片§5.1.2C)
第四张:
三角形分类(记作投影片§5.1.2D)
学生用具:
三角形纸片
●教学过程
Ⅰ.巧设现实情景,引入新课
[师]假如你是一名技术人员,现在有一实际问题,你能解决吗?
(出示投影片§5.1.2A)
某水泥厂需要一大型模板.如图5-10,设计时要求BA和CD相交成30°角,DA和CB相交成20°角,怎样通过测量∠A、∠B、∠C、∠D的度数,来检查模板是否合格?
图5-10
图5-11
(学生讨论)
[师]要检验模板是否合格,需要测量∠A、∠B、∠C、∠D的度数,那如何测量呢?
从已知可知:
BA与CD相交成30°角,DA与CB相交成20°,如图5-11,这时出现了△BCE和△DCF,这样就把所要测量的一些角放到三角形中.只要知道三角形的角之间的关系,这个问题便可解答.那么三角形的三个内角的关系如何呢?
我们这一节课就来探讨它.
Ⅱ.讲授新课
[师]在小学,我们曾用量角器量出三角形三个内角的具体度数后,计算它们的和;也曾用折叠一张三角形纸片,把三角形的三个内角拼在一起,得到“三角形三个内角的和等于180°”的结论.
(教师演示)
图5-12
如图5-12的折叠拼合,相当于把三角形的三个内角剪下来拼在一起.其实,拼出:
∠A+∠B+∠C=180°的方法有多种多样,大家来拼一拼.
(学生动手拼摆,把具有代表性的拼图贴在黑板上).
图5-13
[师]同学们拼摆得很好,通过把三角形的三个内角撕下来,拼在一起.得到了三角形的内角和为180°.
大家看图(5),这个图只是撕下三角形的一个角,也得到了上面的结论吗?
(请贴这个图的学生叙述)
图5-14
[生]因为把∠A撕下后,摆放到∠C那儿后,这时,边a∥b.又由两直线平行,同旁内角互补,就可得到:
∠A+∠B+∠C=180°.
[师]噢,大家想一想他说得有道理吗?
他是这样做的.(出示投影片§5.1.2B)
(1)做一个三角形纸片,它的三个内角分别为∠1,∠2和∠3,如图5-15
图5-15图5-16
(2)将∠A撕下,按图5-16所示进行摆放,其中∠1的顶点与∠2的顶点重合,它的一条边与∠2的一条边重合.
此时∠1的另一条边b与∠3的一条边a平行吗?
为什么?
图5-17
(3)如图5-17所示,将∠2与∠3的公共边延长,它与b所夹的角为∠4.∠3与∠4的大小有什么关系?
为什么?
现在,你得到这个三角形的内角和了吗?
[生甲]他说得有道理.因为∠1撕下后,摆放到如图5-16的位置,且∠2的顶点与∠1的顶点重合,它的一条边与另一条边重合,这时,实际上就形成了两条直线被第三条直线所截.两个∠1为内错角,由“内错角相等,两直线平行”可得:
a∥b.
又因为∠1+∠2与∠3是同旁内角,由“两直线平行,同旁内角互补”即可得:
∠1+∠2+∠3=180°.
这样就得到了:
三角形的内角和等于180°.
[师]同学们说得很有道理,很好.如果有第(3)时,那又该如何说呢?
[生乙]∠3与∠4是相等的.因为a与b平行,∠3与∠4是同位角.由“两直线平行,同位角相等”即可得.
这样,把∠1、∠2、∠4就拼成了一个平角.即:
∠1+∠2+∠3=180°.
同样,也得到了三角形的内角和.
[师]同学们思路清晰,并用语言说清了理由,很好.接下来,大家自己任意做一个三角形纸片,重复刚才的过程,你能得到同样的结论吗?
分小组讨论、交流一下.
(学生分组制作、交流)
[师]怎么样?
[生齐声]能得到一样的结论.
[师]什么结论?
[生齐声]三角形三个内角的和等于180°.
[师]这样,我们又有了三角形三个内角的关系了.下面看开头的那个问题,大家能解决吗?
与同伴交流交流.
[生丙]能.根据三角形三个角的和等于180°,可知只要量得∠B+∠C=150°,就可以判定BA与CD相交成30°角.同样,只要量得∠C+∠D=160°,就可以判定DA与CB相交成20°角.
[师]同学们表现得真棒.下面大家来猜一猜(出示投影片§5.1.2C)
(1)图5-18
(1)中三角形被遮住的两个内角是什么角?
图
(2)中的呢?
试说明理由.
图5-18
(2)如图(3)中三角形被遮住的两个内角可能是什么角?
将所得结果与
(1)的结果进行比较.
[生甲]图
(1)的三角形被遮住的两个内角都是锐角.因为图
(1)露出的角是直角.根据三角形的内角和是180°,可知一个三角形中不可能有两个直角,也不可能有一个直角和一个钝角.所以,图
(1)中的三角形被遮住的那两个内角一定是锐角.
图
(2)中的三角形被遮住的两个内角也一定是锐角.
[生乙]图(3)中三角形被遮住的两个内角是一个直角和一个锐角.
[生丙]不对,应该是一个锐角和一个钝角.
[生丁]不,应该是两个锐角.
[生戊]都不对,三种情况都有可能.
[师]戊同学说得对吗?
[生齐声]对.
[师]当一个三角形的两个内角被遮住时,如果露出的那个角是直角或钝角时,那么被遮住的两个内角都是锐角,如果露出的那个角是锐角时,那么被遮住的两个内角可能都是锐角,也可能是一个直角一个锐角,也可能是一个钝角一个锐角.
好,把这一结果与
(1)的结果进行比较,又会得到什么?
[生]三角形按角可分为:
锐角三角形、直角三角形、钝角三角形.
[师]很好,我们可以按三角形内角的大小把三角形分为三类:
(出示投影片§5.1.2D)
锐角三角形(acutetriangle)
三个内角都是锐角
直角三角形(righttriangle)
有一个内角是直角
钝角三角形(obtusertiangle)
有一个内角是钝角
图5-19
通常,用符号“Rt△ABC”表示“直角三角形ABC”,把直角所对的边称为直角三角形的斜边(hypotenuse),夹直角的两条边称为直角边.(leg)
直角三角形有许多性质,你发现它的两个锐角之间有什么关系吗?
[生]三角形的三个内角和等于180°,直角三角形中有一个直角,那么另外两个锐角的和等于90°.即这两个锐角互余.
[师]很好,这样我们得到了直角三角形的一个性质:
直角三角形的两个锐角互余.
好,下面我们来做练习以掌握三角形的内角和性质.
Ⅲ.课堂练习
(一)课本P122随堂练习
1.在△ABC中,∠A=80°,∠B=∠C,求∠C的度数.
解:
在△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°,∠A=80°
∴∠B+∠C=100°
∵∠B=∠C
∴∠B=∠C=50°
2.观察下面的三角形,并把它们的标号填入相应的圈内.
图5-20
答案:
锐角三角形:
③⑤
直角三角形:
①④⑥
钝角三角形:
②⑦
3.一个三角形两个内角的度数分别如下,这个三角形是什么三角形?
①30°和60°②40°和70°③50°和20°
解:
①由三角形的内角和等于180°得:
第三个角为90°,所以这个三角形是直角三角形.
②它是锐角三角形.
③这个三角形是钝角三角形.
(二)看课本P120~122,然后小结
Ⅳ.课时小结
本节课我们重点探讨了三角形三个内角之间的关系,并按内角的大小把三角形进行了分类.
“三角形的内角和等于180°”揭示了三角形三个内角之间的一个确定的数量关系,所以求解一个三角形的三个内角时,只要再给出两个条件即可.
由“三角形的内角和等于180°”这个性质还推出了直角三角形的一个性质:
直角三角形的两锐角互余.
三角形按内角的大小分为
Ⅴ.课后作业
(一)课本P123习题5.21、2、3、4
(二)1.预习内容P124~125
2.预习提纲:
(1)三角形的角平分线的概念.
(2)三角形的中线的概念.
Ⅵ.活动与探究
1.已知三角形三个内角的度数之比为:
1∶3∶5,求这三个内角的度数.
[过程]在活动过程中,让学生进一步熟悉掌握三角形的内角和等于180°这个性质.解题时,可用方程,也可用比例分配.
[结果]
解法一:
设这个三角形的最小角为x,那么其他两个角分别为3x、5x,根据“三角形的内角和等于180°”可得:
x+3x+5x=180°
解得:
x=20°
3x=60°,5x=100°
答:
这三个内角的度数分别为20°、60°、100°.
解法二:
180°×
=20°
180°×
=60°
180°×
=100°
因此,这三个内角的度数分别为20°、60°、100°.
●板书设计
§5.1.2认识三角形
一、三角形三个内角的关系:
三角形的内角和等于180°
二、猜一猜.
三、三角形按角进行分类:
四、直角三角形的表示:
Rt△
五、直角三角形的性质:
六、课堂练习
七、课时小结
八、课后作业
第三课时
●课题
§5.1.3认识三角形
●教学目标
(一)教学知识点
1.三角形的内角平分线.
2.三角形的中线.
(二)能力训练要求
1.通过观察、操作、想象、推理、交流等活动,发展空间观念、推理能力和有条理地表达能力.
2.了解三角形的内角平分线、中线,并能在具体三角形中作出它们.
(三)情感与价值观要求
在学生观察、操作、思考和交流的过程中,丰富学生的知识,激发学生进一步探索知识的激情,同时发展他们的空间观念.
●教学重点
三角形的角平分线、中线的概念.
●教学难点
准确画出三角形的角平分线、中线.
●教学方法
探索——归纳法
●教具准备
电脑制作课件,三角形纸片.
投影片四张
第一张:
做一做(记作投影片§5.1.3A)
第二张:
做一做(记作投影片§5.1.3B)
第三张:
议一议(记作投影片§5.1.3C)
第四张:
练习(记作投影片§5.1.3D)
学生用具:
三类三角形纸片各两张.
●教学过程
Ⅰ.巧设现实情景,引入新课
[师]上两节课我们认识了三角形及其基本要素:
边、角,现在来回顾一下:
什么样的图形叫做三角形?
三角形的三条边有什么关系呢?
三个角呢?
[生甲]由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
[生乙]三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.
[生丙]三角形的三个内角的和等于180°.
[师]很好.下面大家来观察和思考:
(电脑演示):
如图5-22,△ABC中,有一条红色线段,一端点在顶点A处,另一端点从点B沿着BC边移动到点C,观察移动过程中形成的无数条线段(AD、AE、AF、AG……)中,有没有特殊位置的线段?
你认为有哪些特殊位置?
图5-22
[生甲]在这些线段中,有一条线段平分∠BAC,即是∠BAC的平分线.
[生乙]我观察到,还有一条线段的端点是BC的中点.
[生丙]还有一条线段垂直边BC.
[师]很好.同学们通过观察,找到了具有特殊位置的线段,这三条线段是三角形的重要线段,它们分别是三角形的角平分线、中线和高线.这节课我们重点探讨三角形的角平分线和中线.
Ⅱ.讲授新课
[师]现在同学们动手来做一做(出示投影片§5.1.3A)
在一张薄纸上任意画一个三角形,你能设法画出它的一个内角的平分线吗?
你能通过折纸的方法得到它吗?
[生甲]我画了一个三角形,然后我用量角器测出一个内角的度数,再画一条射线,使它平分这个角,这样,这条射线就是这个
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- 01第一节 认识三角形 01 第一节 认识 三角形