北京市昌平临川育人学校高二数学上学期期末考试试题 文.docx
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北京市昌平临川育人学校高二数学上学期期末考试试题 文.docx
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北京市昌平临川育人学校高二数学上学期期末考试试题文
2016---2017学年北京临川学校高二期末数学试卷(北京卷)
一、选择题:
(12小题,共60分)
1.已知椭圆
+
=1上一点P到椭圆一个焦点的距离为7,则点P到另一个焦点的距离为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
2.直线x-√3y=3的倾斜角的大小为( )
A.30° B.60°C.120°D.150°
3.已知抛物线4y=x2,则它的焦点坐标是( )
A.(0,2)B.(1,0)C.(2,0)D.(0,1)
4.焦点在y轴上,虚半轴的长为4,半焦距为6的双曲线的标准方程为( )
A.
-
=1B.
-
=1C.
-
=1D.
-
=1
5.运动物体的位移s=3t2-2t+1,则此物体在t=10时的瞬时速度为( )
A.281B.58C.85D.10
6.若f(x)=ax3+3x2+2,f′(-1)=3,则a的值等于( )
A.5B.4C.3D.6
7.为了调查全国人口的寿命,抽查了十一个省(市)的2500名城镇居民,这个问题中“2500名城镇居民的寿命的全体”是( )
A.总体 B.个体C.样本D.样本容量
8.给出下列命题,其中真命题为( )
A.对任意x∈R,
是无理数
B.对任意x,y∈R,若xy≠0,则x,y至少有一个不为0
C.存在实数既能被3整除又能被19整除
D.x>1是
<1的充要条件
9..一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是( )
A.1+错误!
未找到引用源。
B.2+错误!
未找到引用源。
C.1+2错误!
未找到引用源。
D.2错误!
未找到引用源。
10.已知圆(x+1)2+y2=2,则其圆心和半径分别为( )
A.(1,0),2B.(﹣1,0),2C.
D.
11.抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为( )
A.
B.1C.2D.4
12.双曲线4x2﹣y2=1的一条渐近线的方程为( )
A.2x+y=0B.2x+y=1C.x+2y=0D.x+2y=1
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知函数f(x)=x3+2,则f′
(2)=________.
14.已知命题p:
“∀x∈R,x2≥0”,则¬p:
.
15.如图,函数y=f(x)的图像在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f′(5)=________.
16.椭圆x2+9y2=9的长轴长为 .
三.解答题(六大题,共70分)
17(10分).已知曲线C:
y=x3+5x2+3x
(1)求曲线C导函数.
(2)求曲线C在x=1处的切线方程.
18.(12分)
(1)设命题p:
(4x-3)2≤1,若p是真命题,求x的取值范围。
(2)已知p:
4x+m<0,q:
x2-x-2>0,且p是q的充分条件,求实数m的取值范围.
19.(12分)为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况,拟采用分层抽样的方法从A,B,C三个区中抽取7个工厂进行调查,已知A,B,C区中分别有18,27,18个工厂.
(1)求从A,B,C区中分别抽取的工厂个数;
(2)若从抽得的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比,用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率.
20.(12分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1=A1C1,D,E分别是棱BC,CC1上的点(点D不同于点C),且AD⊥DE,F为B1C1的中点.
求证:
(1)平面ADE⊥平面BCC1B1;
(2)直线A1F∥平面ADE.
21(12分).在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:
(x+3)2+(y-1)2=4和圆C2:
(x-4)2+(y-5)2=9.
(1)判断两圆的位置关系;
(2)求直线m的方程,使直线m过圆C1圆心,且被圆C
截得的弦长是6.
22.(12分)已知椭圆C1:
+y2=1,椭圆C2以C1的长轴
为短轴,且与C1有相同的离心率.
(1)求椭圆C2的方程;
(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆C1和C2上,=2,求直线AB的方程.
2016---2017学年北京临川学校高二期末数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题:
1.已知椭圆x225+y216=1上一点P到椭圆一个焦点的距离为7,则点P到另一个焦点的距离为()
A.3B.4C.5D.6
【解析】点P到椭圆两个焦点距离之和为2a=10,
∴10-7=3.
【答案】A
3.已知抛物线4y=x2,则它的焦点坐标是()
A.(0,2)B.(1,0)C.(2,0)D.(0,1)
[答案]D
2.直线x-√3y=3的倾斜角的大小为()
A.30°B.60°C.120°D.150°
【答案】A
4.焦点在y轴上,虚半轴的长为4,半焦距为6的双曲线的标准方程为()
A.y220-x216=1B.y216-x220=1
C.y216-x236=1D.y236-x216=1
【解析】由双曲线的焦点在y轴上,可设双曲线的标准方程为y2a2-x2b2=1(a>0,b>0).
已知b=4,c=6,则a2=c2-b2=62-42=20,
故所求双曲线的标准方程为y220-x216=1.故选A.
【答案】A
5运动物体的位移s=3t2-2t+1,则此物体在t=10时的瞬时速度为()
A.281B.58
C.85D.10
【解析】∵s′=6t-2,当t=10时,s′=6×10-2=58.
【答案】B
6.若f(x)=ax3+3x2+2,f′(-1)=3,则a的值等于()
A.5B.4
C.3D.6
【解析】∵f(x)=ax3+3x2+2,
∴f′(x)=3ax2+6x,
∴f′(-1)=3a-6=3,∴a=3.
【答案】C
7.为了调查全国人口的寿命,抽查了十一个省(市)的2500名城镇居民,这个问题中“2500名城镇居民的寿命的全体”是()
A.总体B.个体C.样本D.样本容量
【答案】C
8.给出下列命题,其中真命题为()
A.对任意x∈R,是无理数
B.对任意x,y∈R,若xy≠0,则x,y至少有一个不为0
C.存在实数既能被3整除又能被19整除
D.x>1是1x<1的充要条件
【解析】选项A为假命题,例如是有理数;选项B是假命题,若xy≠0,则x,y全都
不为0;选项C是真命题;选项D中,x>1是1x
<1的充分不必要条件.
【答案】C
9.一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是()
A.1+B.2+
C.1+2D.2
解析:
该四面体的直观图如图所示,平面ABD⊥平面BCD,△ABD与△BCD为全等的等腰直角三角形,AB=AD=BC=CD=.取BD的中点O,连接AO,CO,则AO⊥CO,AO=CO=1,由勾股定理得AC=,因此△ABC与△ACD为全等的正三角形,由三角形面积公式得,S△ABC=S△ACD=,S△ABD=S△BCD=1,所以四面体的表面积为2+.
答案:
B
10.已知圆(x+1)2+y2=2,则其圆心和半径分别为()
A.(1,0),2B.(﹣1,0),2C.
D.
【考点】圆的标准方程.
【分析】利用圆的标准方程的性质求解.
【解答】解:
圆(x+1)2+y2=2的圆心为(﹣1,0),
半径为
.
故选:
D.
11.抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为()
A.
B.1C.2D.4
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】直接利用抛物线方程求解即可.
【解答】解:
抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为:
P=2.
故选:
C.
12.双曲线4x2﹣y2=1的一条渐近线的方程为()
A.2x+y=0B.2x+y=1C.x+2y=0D.x+2y=1
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】将双曲线的方程化为标准方程,求得a,b,由双曲线的渐近线方程y=±
x,即可得到所求结论.
【解答】解:
双曲线4x2﹣y2=1即为
﹣y2=1,可得a=
,b=1,
由双曲线的渐近线方程y=±
x,
可得所求渐近线方程为y=±2x.
故选:
A.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知函数f(x)=x3+2,则f′
(2)=________.
[答案]12
14.已知命题p:
“∀x∈R,x
2≥0”,则¬p:
∃x∈R,x2<0.
【考点】命题的否定.
【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可.
【解答】解:
因为全称命题的否定是特称命题,所以命题p:
“∀x∈R,x2≥0”,则¬p:
∃x∈R,x2<0.
故答案为:
∃x∈R,x2<0.
15.如图,函数y=f(x)的图像在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f′(5)=________.
【答案】2
16.椭圆x2+9y2=9的长轴长为6.
【考点】
椭圆的简单性质.
【分析】将椭圆化为标准方程,求得a=3,即可得到长轴长2a.
【解答】解:
椭圆x2+9y2=9即为
+y2=1,
即有a=3,b=1,
则长轴长为2a=6.
故答案为:
6.
三、解答题:
17(12分).已知曲线C:
y=x3+5x2+3x
(1)求曲线C导函数.
(2)求曲线C在x=1处的切线方程.
[解析]
(1)y′=3x2+10x+3,
(2)切线斜率k=y′ᅵx=1=16,当x=1时,y=9
∴切线方程y-9=16(x-1),
即3x-y+2=0.
18.(12分)
(1)设命题p:
(4x-3)2≤1,若p是真命题,求x的取值范围。
(2)已知p:
4x+m<0,q:
x2-x-2>0,且p是q的充分条件,求实数m的取值范围.
[解析]
(1)若命题p为真,则
(2)由x2-x-2>0,得x>2或x<-1,令A={x|x>2或x<-1};由4x+m<0,得x<-m4,令B={x|x<-m4}.
因为p是q的充分条件,所以B⊆A,于是-m4≤-1,得m≥4,所以实数m的取值范围是[4,+∞).
19.(本小题满分12分)如图3,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1=A1C1,D,E分别是棱BC,CC1上的点(点D不同于点C),且AD⊥DE,F为B1C1的中点.
求证:
(1)平面ADE⊥平面BCC1B
1;
(2)直线A1F∥平面ADE.
【证明】
(1)因为ABCA1B1C1是直三棱柱,所以CC1⊥平面ABC.
又AD平面ABC,所以CC1⊥AD.
又因为AD⊥DE,CC1、DE平面BCC1B1,CC1∩DE=E,
所以AD⊥平面BCC1B1.
又AD平面ADE,
所以平面ADE⊥
平面BCC1B1.
(2)因为A1B1=A1C1,F为B1C1的中点,所以A1F⊥B1C1.
因为CC1⊥平面A1B1C1,且A1F平面A1B1C1,
所以CC1⊥A1F.
又因为CC1、B1C1平面BCC1B1,CC1∩B1C1=C1,
所以A1F⊥平面BCC1B1.
由
(1)知AD⊥平面BCC1B1,所以A1F∥AD.
又AD平面ADE,A1F平面ADE,所以A1F∥平面ADE.
20.(本小题满分13分)为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况,拟采用分层抽样的方法从A,B,C三个区中抽取7个工厂进行调查,已知A,B,C区中分别有18,27,18个工厂.
(1)求从A,B,C区中分别抽取的工厂个数;
(2)若从抽得的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比,用列举
法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率.
【解】
(1)工厂总数为18+27+18=63,样本容量与总体中的个体数比为763=19,所以从A,B,C三个区中应分别抽取的工厂个数为2,3,2.
(2)设A1,A2为在A区中抽得的2个工厂,B1,B2,B3为在B区中抽得的3个工厂,C1,C2为在C区中抽得的2个工厂,在这7个工厂中随机抽取2个,全部可能的结果有:
(A1,A2)
,(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C1),(A1,C2),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C1),(A2,C2),(B1,B2),(B1,B3),(B1,C1),(B1,C2),(B2,B3),(B2,C1),(B2,C2),(B3,C1),(B3,C2),(C1,C2),共有21种.
随机地抽取的2个工厂至少有1个来自A区的结果(记为事件X)有:
(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C1),(A1,C2),(A2,B1
),(A2,B2),(A2,
B3),(A2,C1),(A2,C2)共有11种,所以这2个工厂中至少有1个来自A区的概率为P(X)=1121.
21(12分).在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:
(x+3)2+(y-1)2=4和圆C2:
(x-4)2+(y-5)2=9.
(1)判断两圆的位置关系;
(2)求直线m的方程,使直线m过圆C1圆心,且被圆C
截得的弦长是6.
解:
(1)圆C1的圆心C1(-3,1),半径r1=2;
圆C2的圆心C2(4,5),半径r2=2.∴C1C2==>r1+r2,∴两圆相离;
(2)由题意得,所求的直线过两圆的圆心,即为连心线所在直线,
易得连心线所在直线方程为:
4x-7y+19=0.
22.(12分)已知椭圆C1:
x24+y2=1,椭圆C2以C1的长轴为短轴,且与C1有相同的离心
率.
(1)求椭圆C2的方程;
(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆C1和C2上,=2,求直线AB的方程.
【解】
(1)由已知可设椭圆C2的方程为y2a2+x24=1(a>2),其离心率为32,则a2-4a=32,解得a=4,故椭圆C2的方程为y216+x24=1.
(2)设点A,B的坐标分别为(xA,yA),(xB,yB),由=2及
(1)知,O,A,B三点共线且点A,B不在y轴上,因此可设直线AB的方程为y=kx.
将y=kx代入x24+y2=1中,得(1+4k2)x2=4,所以x2A=41+4k2.
将y=kx代入y216+x24=1中,得(4+k2)x2=16,所以x2B=164+k2.
由=2,得x2B=4x2A,
即164+k2=161+4k2,
解得k=±1,
故直线AB的方程为y=x或y=-x.
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