第二章24第1课时等比数列的概念及通项公式.docx
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第二章24第1课时等比数列的概念及通项公式
2.4等比数列
第1课时等比数列的概念及通项公式
会应用.3•掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程.
预冃案*自建迸习j研读•M•営试
新知提炼
1.等比数列的定义
条件
(1)从第2项起
(2)每一项与它的前一项的比等于同一个常数
结论
这个数列就叫做等比数列
有关概念
这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q(qM0)表示
2•等比数列的通项公式
门―1
an=aq1.
3.等比中项
若a、G、b成等比数列,称G为a,b的等比中项且G=±ab.
■自我尝试‘
1•判断(正确的打“V”,错误的打“x”)
(1)数列1,—1,1,-1,…是等比数列.()
(2)若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数,则该数列为等比数列.()
⑶等比数列的首项不能为零,但公比可以为零.()
(4)常数列一定为等比数列.()
(5)任何两个数都有等比中项.()
答案:
(1)2
(2)x
⑶x⑷x⑸x
2.等比数列{an}中,
a1=2,q=3,贝Uan等于()
A.6
B.3x2n—1
C.2x3n—1
D.6n
答案:
C
C.i6D.36
答案:
C
111
4.等比数列一10-而,一而0,…的公比为.
1
答案:
10
5.在等比数列{an}中,已知an=4n3,贝Va1=,q=
1
答案:
14
探究案讲练互普
探究点一等比数列的通项公式
H在等比数列{an}中,
(1)a4=2,a7=8,求an.
(2)a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n.
a4=ag3,
[解]
(1)因为
6a7=a1q,
a1q3=2,①
所以
a1q6=8,②
②3,
由①,得43=4,从而q=-4,而a1q3=2,
a2+a5=a〔q+a1q4=18,①
⑵因为25
a3+a6=a1q2+a1q5=9,②
n—1
又an=1,所以32x
即26-n=20,故n=6.
方祛归纳
等比数列通项公式的求法
ai和q是等比数列的基本量,只要求出这两个基本量,问题便迎刃而解.关于ai和q
的求法通常有以下两种方法:
⑴根据已知条件,建立关于ai,q的方程组,求出ai,q后再求an,这是常规方法.
(2)充分利用各项之间的关系,直接求出q后,再求ai,最后求an,这种方法带有一定
的技巧性,能简化运算.
”i.在等比数列{an}中,
(1)已知ai=3,q=—2,求a6;
(2)已知a3=20,a6=i60,求an;
…9i2十
(3)已知ai=8〉an=3,q=3,求n.
解:
⑴由等比数列的通项公式,得a6=3X(—2)6—i=—96.
⑵设等比数列的公比为q,
aiq2=20,
由已知可得
aiq5=i60,
q=2,
解得
ai=5.
所以an=aiqn—i=5X2n—i.
⑶由an=aiqn—i,
3,得n=4.
探究点二等比数列的判定
■-在数列{an}中,若an>0,且an+i=2an+3(n€N*).证明:
数列{an+3}是等比数
列.
[证明]法一:
因为an>0,
所以an+3>0.
又因为an+1=2an+3,
an+1+32an+3+32(an+3)
所以===2.
an+3an+3an+3
所以数列{an+3}是首项为ai+3,公比为2的等比数列.法二:
因为an>0,
所以an+3>0.
又因为an+1=2an+3,
所以an+2=4an+9.
所以(an+2+3)(an+3)=(4an+12)(an+3)
=(2an+6)2
=(an+1+3)2.
即an+3,an+1+3,an+2+3成等比数列,
所以数列{an+3}是等比数列.
Rm貝*本例的条件不变,若a1=2,求数列{an}的通项公式.
解:
由数列{an+3}是等比数列,
当a1=2时,a1+3=5,
所以数列{an+3}是首项为5,
公比q=2的等比数列,
所以an+3=5x2n-1,
即an=5x—1—3.
方注归期
等比数列的三种判定方法
(1)定义法
an+1=anan+2(n€N*且an丸)等价于{an}是等比数列.
(3)通项公式法
an=a1qn—1(a1^0且qz0)等价于{an}是等比数列.
数列{bn}是等比数列,并求其通项公式.
解:
由已知得,an=2+(n—1)x(—1)=3—n,
所以数列{bn}是等比数列.
探究点三等比中项及其应用
方祛归抽
已知等比数列中的相邻三项an—1,an,an+1,则an是an—1与an+1的等比中项,
an-1an+1,运用等比中项解决问题,会大大减少运算过程,同时等比中项常起到桥梁作用,要认真感悟和领会.
"!
"'||[3.
(1)如果一1,a,b,c,—9成等比数列,那么()
A.b=3,ac=9
B.b=—3,ac=9
C.b=3,ac=—9
D.b=—3,ac=—9
⑵已知等比数列{an}的前三项依次为a—1,a+1,a+4,贝Uan=
解析:
(1)因为b2=(—1)x(—9)=9,
且b与首项—1同号,
所以b=—3,且a,c必同号.
所以ac=b2=9.
⑵由已知可得(a+1)2=(a—1)(a+4),
解得a=5,所以a1=4,a2=6,
所以an=4x3
起.
1.等比数列定义的再认识
(1)每一项与它的前一项的比是同一个常数,是具有任意性的,但须注意是从“第2项”
⑵从“第2项”起,每一项与它的前一项的比是同一个常数,强调的是“同一个”.
(3)对于公比q,要注意它是每一项与它前一项的比,次序不能颠倒,q不为零.
⑷各项不为零的常数列既是等差数列,又是等比数列.
2.等比数列的通项公式
(1)已知首项a1和公比q,可以确定一个等比数列.
⑵在公式an=a1qn1中有an,a1,q,n四个量,已知其中任意三个量,可以求得第四
个量.
⑶等比数列{an}的通项公式的推导
法一:
(迭代法)
根据等比数列的定义,有
2n—2n—1
an=an-iq=an—2q2=^=a2q2=aiq1法二:
(累乘法)
根据等比数列的定义,可以得到
把以上n-1个等式左右两边分别相乘,得
a2a3a4
aia2a3
即an=qn—1,
ai
所以an=a1qn-1.
3.等比中项的理解
(1)当a,b同号时,a,b的等比中项有两个;当a,b异号时,没有等比中项.
(2)在一个等比数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项.
(3)“a,G,b成等比数列”等价于“G2=ab”(a,b均不为0),可以用它来判断或证明三数是否成等比数列.
当堂检测♦
1•数列{an}的通项公式是an=5x3n,则此数列是()
A•公比为3的等比数列
B•公比为5的等比数列
C.首项为5的等比数列
D.公差为3的等差数列
解析:
选A.因为an=5x3n,
所以an-1=5x3n-1(n》2),
所以当n>2时,—匹=3.
an-1
由等比数列的定义知,{an}是公比为3的等比数列.
2.在首项a1=1,公比q=2的等比数列{an}中,当an=64时,序号n等于()
C.6
解析:
选D.因为an=aiq—1,所以1x2n-1=64,即1=26,得n—1=6,解得n=7.
3.(2015高考广东卷)若三个正数a,b,c成等比数列,其中a=5+2丁6,c=5—2.6,
则b=.
解析:
因为a,b,c成等比数列,
所以b2=ac=(5+2'6)(5—2.:
6)=1.
又b>0,所以b=1.
答案:
1
4•求下列各等比数列的通项公式:
(1)a1=—2,a3=—8;
(2)a1=5,且2an+1=—3an.
解:
(1)因为a3=a1q2,
所以q2=4,
所以q=±2.
当q=2时,an=(—2)x2n—1=—2n;
当q=—2时,an=(—2)x(—2)n—1=(—2)n.
an+13
(2)因为q="a^=—2,又a1=5,
3n—1所以an=5x—2.
应用案巩固提升丄
[A基础达标]
1.若{an}为等比数列,且2a4=a6—a5,则公比是()
A.0B.1或一2
D.—1或一2
解析:
选C.由已知得2a1q3=a1q5—ag4,得2=q2—q,
所以q=—1或q=2.
2.在等比数列{an}中,an>0,且ai+a2=1,a3+a4=9,贝Ua4+a5的值为()
A.16B.27
C.36D.81
解析:
选B.由a3+a4=q2(a1+a2)=9,所以q2=9,又an>0,所以q=3.a4+a5=q(a3+
a4)=3X9=27.
3.彳,是等比数列4,2,4,22,…的()
A.第10项B.第11项
C.第12项D.第13项
解析:
选b.由题意可知q=痣二乎,令¥=4返x普,所以土=32=扌2
10
,故n—1=10,即n=11.
4.在数列{an}中,a1=1,点(an,an+1)在直线y=2x上,贝Ua4的值为()
A.7B.8
C.9D.16
解析:
选B.因为点(an,an+1)在直线y=2x上,
所以an+1=2an.
因为a1=1丰0,
所以an丸,
所以{an}是首项为1,公比为2的等比数列,
所以a4=1x23=8.
5.一个数分别加上20,50,100后得到的三个数成等比数列,其公比为()
54
a・3%
31
CQDQ
解析:
选A.设这个数为x,
则(50+x)2=(20+x)(100+x).
解得x=25,
所以这三个数为45,75,125,
755
公比q为45=3
所以a+b=(-4)+8=4.
答案:
4
9.已知数列{an}为等比数列,首项a1=—9,
16a3=—4,且公比为正数.
①一1,—2,—4,—8;②1,2,3,4;
1111
③x,x,x,x;④a,評評尹
③不一定是等比数列.
答案:
①④
1
解析:
因为a4=a1q3=a1—3=27,
所以a1=—36,所以a6=a1q5=—36x
答案:
3(—1)n37—n
(1)写出此等比数列的通项公式an;
⑵—20丁是否为{an}中的项?
若是,是第几项?
若不是,请说明理由.
解:
(1)设公比为q(q>0),
由a3=aiq2,得一4=—£q2,
3
解得q=3,
163n—1
所以an=——X2.
n—1
人16、/3181
⑵令—-X2=—204=—7,
3n—181936
得2=乎X16=3,解得n=7.
1
故—204是{an}中的第7项.
10.已知数列{an}的前n项和为Sn,对一切正整数n,点(n,Sn)都在函数f(x)=2x+2—4
的图象上.求证:
数列{an}是等比数列.
4,n=1,
证明:
由题意得Sn=2n+2—4,
S1,n=1,所以an=
Sn—Sn—1,n》22n+1,n》2.
又ai=4也符合an=zZlnGN*,n》2),
所以an=2n+1(n€N),
an+12n+2
因为百=产=2,
所以数列{an}是等比数列.
[B能力提升]
1.已知数列{an},下列选项正确的是()
A.若a2=4n,n€N*,则{an}为等比数列
B.若anan+2=an+1,n€N*,则{an}为等比数列
C.若aman=2mn,m,n€N*,则{an}为等比数列
D.若anan+3=an+1an+2,n€N*,则{an}为等比数列
解析:
选C•由a2=4n知|an|=2n,则数列{an}不一定是等比数列;对于B,D选项,满足
条件的数列中可以存在为零的项,所以数列{an}不一定是等比数列;对于C选项,由aman
an+1
=2m+n知,aman+1=2m+n+S两式相除得石=2(n€N),故数列{an}是等比数列.故选C.
1
2.已知等比数列{an}中,ai=1,且ai,2玄3,2a2成等比数列,则an=解析:
设等比数列{an}的公比为q,
贝Ua2=q,a3=q2.
1
因为ai,§a3,2a2成等比数列,
1
所以4q4=2q,
解得q=2,
所以an=2n—I
答案:
2n_1
3.已知数列{an}的前n项和Sn=2an+1.
(1)求证:
{an}是等比数列,并求出其通项公式;
⑵设bn=an+1+2an,求证:
数列{bn}是等比数列.
解:
(1)因为S=2an+1,所以Sn+1=2an+1+1,
Sn+1—Sn=an+1=(2an+1+1)—(2an+1)=2an+1—2an,
所以an+1=2an①,
由已知及①式可知anMO.
an+1
所以由丁=2,知{an}是等比数列.
an
由a1=S1=2a1+1,
得a1=—1,所以an=—2n—1.
⑵证明:
由
(1)知,an=—2n—1,
所以bn=an+1+2an=—2n—2X2n—1=—2X2n=—2n+1=—4X2n—1.
所以数列{bn}是等比数列.
4.(选做题)已知等比数列{an}中,a1=1,公比为q,且bn=an+1—an.
(1)判断数列{bn}是否为等比数列?
说明理由;
⑵求数列{bn}的通项公式.
解:
⑴因为等比数列{an}中,ai=1,公比为q,所以an=1xqn—1=qn一1,若q=1,贝yan=1,bn=an+1—an=0,
所以数列{bn}是各项均为0的常数列,
不是等比数列.
若q丰1,由于
bn+1
an+2—an+1qn+1—qn
bn-
=an+1—an=qn—qn-1
=q,
qn(q—1)
qn—1(q—1)
所以数列{bn}是首项为b1=a2—a1=q—1,公比为q的等比数列.
⑵由
(1)可知,当q=1时,bn=0;
当q工1时,bn=(q—1)qn—1
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