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向量技巧全集
利用向量巧解中学数学题
郑
摘要:
向量是沟通代数、三角、几何等内容的桥梁之一,利用向量解决一些数学问题,将大大简化解题的步骤,使学生多掌握一种行之有效的数学工具。
本文首先回顾了向量的一些基本性质,接着分别从空间几何,平面解析几何、不等式、最值问题,以及其他一些数学问题总结归纳向量在解决一系列数学问题中的应用,并举例说明使用向量更加快捷直观地解决一些较复杂的数学问题.
关键字:
向量;向量法应用;数学题;解题方法
Abstract:
Thispaperlooksbacksomebasicpropertiesofvectoratfirst,andthensummarizingandindueingvector'sapplicationinaseriesofmathematicsproblemsineveryaspect(Spacegeometry,Flatsurfaceanalyticgeometry,MaximumandMinimum,Inequalityandsomethingothermathematicsproblems),andillustratingthemwithexamples,itwillbefastertoworkout
somedifferentmathematicsproblemsbyusingvector.
Keywords:
Vector;Vector'sapplication;Mathematicalproblem;Solutingmethod
1.前言,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2
2.向量基本性质回顾3
3.向量巧解空间几何中的问题5
3.1向量巧解角的问题5
3.1.1求异面直线a与b所成角9,,,,,,,,,,,,,,,5
3.1.2求线面所成角9,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,7
3.1.3求二面角的大小8
3.2向量巧解距离问题9
3.2.1求点到平面的距离9
3.2.2求两异面直线的距离10
3.3向量巧解平行与垂直的问题11
3.3.1平行,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,11
3.3.2垂直12
4.向量巧解平面解析几何中的问题12
41平面几何12
4.2解析几何13
5.向量巧解复数的问题14
6.向量巧解三角函数的问题15
7.向量巧解其他代数问题16
7.1求取值,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,16
7.2求取值范围17
^^.^3万,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,1^^
7.4代数求值17
7.5证明等式,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,17
7.6解不等式18
77代数式19
78数列19
8.纟口束!
语,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,19
1.前言
随着新课改逐步深入,向量及其运算成为高中数学新增内容,它融数、形于体,具有代数形式和几何形式的双重身份,是中学数学知识的一个重要交汇点,常与函数、复数、导数、平面几何、立体几何和平面解析几何等方面内容交叉渗透,使数学问题情境新颖别致,自然流畅,令人赏心悦目。
能够灵活和综合应用向量法思维解决数学中的问题,对于我们拓展解题思路、提高解决效率、掌握解题技巧等方面起到了很好的直观帮助。
2.向量基本性质回顾
1.向量的概念
既有方向又有大小的量叫做向量(物理学中叫做矢量),只有大小没有方向的量叫做数量(物理学中叫做标量)。
2.向量的几何表示
具有方向的线段叫做有向线段,以A为起点,B为终点的有向线段记作
ABo(AB是印刷体,书写体是上面加个f)
有向线段AB的长度叫做向量的模,记作|AB|o
有向线段包含3个因素:
起点、方向和长度。
长度等于0的向量叫做零向量,记作0。
零向量的方向是任意的;且零向量与任何向量都垂直。
长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量。
3.相等向量与共线向量
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,向量a、b平行,记作
allb,零向量与任意向量平行,即0〃a。
任意一组平行向量都可移到同一直线上,因此平行向量也叫共线向量。
4.向量的运算
4.1加法运算
AB+BC=AC,这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。
(首尾相连,
指向终点)
已知两个从同一点0出发的两个向量0A、OB,以0A、OB为邻边作平行四边形OACB则以0为起点的对角线0C就是向量0A、0B的和,这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。
对于零向量和任意向量a,有:
—►—K—►f
0+a=a+0=a。
|a+b|a|+|b|。
向量的加法满足所有的加法运算定律。
4.2减法运算
与a长度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量,一(一a)=a,零向
量的相反向量仍然是零向量。
(1)a+(—a)=(—a)+a=0
(2)a—b=a+(—b)
4.3数乘运算
实数入与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作入a,
|入a|入||a|,当入>0时,入a的方向和a的方向相同,当入<0时,入a的方向和a的方向相反,当入=0时,入a=0。
设入、卩是实数,那么:
(1)(入卩)a=入(卩a)
—*―p-—+
(2)(入+卩)a=入a+卩a
(3)入(a±b)=入a±入b
(4)(一入)a=一(入a)=入(一a)。
向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。
5.向量的数量积
已知两个非零向量a、b,那么|a||b|cos0叫做a与b的数量积或内积,记作ab,0是a与b的夹角,|a|cos0(|b|cos0)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影。
零向量与任意向量的数量积为0。
ab的几何意义:
数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影
|b|cos0的乘积。
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
向量的数量积的性质
—►-*ffy
(1)a^=|a|>0
⑵ab=ba
(3)kab=kab=akb
(4)abc=ab+ab
(5)ab=0?
a丄b
6.平面向量的基本定理
如果&和e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的任一向量a,有且只有一对实数入、□,使a=入e+卩e2。
7.空间向量的基本性质
7.1共线向量定理
对空间任意两个向量a、b(b丰0),a//b的充要条件是存在实数入,使a=入b7.2共面向量定理
如果两个向量a,b不共线,则向量p与向量a,b共面的充要条件是存在实数
对x,y,使p=xa+yb
7.3向量的数量积
7.4数量积的性质
a丄b二ab=0
|a|=aa
3.向量巧解空间几何中的问题
3.1向量巧解角的问题
3.1.1求异面直线a与b所成角B
求异面直线的夹角的传统解法是把空间角转化为平面角并用余弦定理来解,向量法在教材中的引入,使得在以往传统几何法的基础上又多了以向量为工具的向量解法。
应掌握如下公式:
向量AB和CD所成的角记为<AB,CD>,若AB=(x1,y1,z1)
CD=(x2,y2,Z2),则
所以直线AB和CD所成的角为arccosa.
特别的,AB_C—AB2CD=0:
=xix2yiy2ziz2=0。
例i:
如图i,三棱柱AOB-Ai0iBi中,平面OBROj丄平面AOB,Z0iOB=60°,
/AOB=90且OB=OO=2,OA=3,求:
⑴异面直线AiB与AQ所成角的大小;⑵
分析i:
由条件可得OA丄0B,OAL0i0,再结合题干可知共点于0的三条线段OA0B、00i的长度已知,且两两夹角已知,故可选择以{OA,OB,OOi}为基底来解决异面直线AB与A0所成角的大小,关键是把所求异面直线上的两个方向向量AB、
图3.i.i
解:
•••平面OBBO丄平面A0B0A匚平面A0B平面OBBOG平面A0B=OB且
OAL0B,
•••OAL平面OBBO1•••OAL001,即/AO*90°,/AOQ=90°,因此,选择一
组基向量{OA,OB,OOi},贝UAOi=OOi-OA,A,B=OB-OA-OOi,
同理
IAB|=J|OB|+|OA+|OOi|-2OOiOB-2OBOA+2OAOOi=丿7,又
.,>-——-2
AOiA<|B=00<|OB—00<|OA—OOi
=22cos60-23cos90-4-32cos903.32cos90=i
所以9=arccos1.
7
3.1.2求线面所成角9
用向量求线面所成角的公式如下:
如图2,若n为平面〉的一条法向量,直线AB与平面〉所成角为二,则
例2:
如图3,正方体ABCD-ABiGDi中,E是GC的中点,
(1)求BE与平面
B1BD所成角的余弦值;
(2)求二面角B-B1E-D的余弦值。
图3.1.2.2
解:
如图,以D为坐标原点建立空间直角坐标系D-xyz,则设正方体的棱长为
2,贝9
(1)因为B(2,2,0),B1(2,2,2),E(0,2,1),所以BD=(-2,-2,0),
BB1=(0,0,2),BE=(-2,0,1),设平面B1BD的一个法向量是n=(x,y,z),则由
所以si*n,BE>=15
5
即BE与平面B1BD所成角的余弦值为泄.
5
(2)略.
3.1.3求二面角的大小
用向量法求二面角的大小,一般先找出两平面的法向量,则两个法向量所成的角或它的补角即为二面角的平面角。
公式如下:
如图,若平面:
->[的法向量分别为n、m,则
结合图形判断,若二面角为锐角,则
-=arccosa;
若二为钝角,则
v=二-arccosa.
图4
例3:
上题第
(2)问
解:
令m、I分别为平面B1DE与平面B1BE的法向量,则易知
m=(1,1,-2),丨=(-1,0,0),
所以二面角B-B1E-D的余弦值丄6.
6
3.2向量巧解距离问题
3.2.1求点到平面的距离
所谓法向量就是和平面垂直的向量,通过它和平面上任意两不共线向量的乘积为0,可确定法向量.设P为平面a外一点,则点P到面a的斜线段向量在平面法向量方向的射影,即为点P到平面a的距离.而线到面的距离可通过线上取一点,
转化为点面距求之.其公式为PO=PAn。
,其中no为单位法向量,PO面。
于
n
点O,A€,PA为面〉的斜线段向量.注意:
只有单位法向量才不会改变摄影的长
度。
例4:
如图,在正方体中,棱长为1,E、F分别为A1B1,CD的中点,求点B
到平面AECF的距离
图6
简解:
A(1,0,0),B(1,1,0),E(1,丄,1),F(0,-,0),AE=(0,
22
11
1),AF(-1,-,1)。
设平面AECF的法向量为n=(x,y,z),则n-AE,n_AF,
22
.2
严),因为ab=(0,2,1),
令y=2,得n=(1,2,1),则仁=(丰,诗,
322求两异面直线的距离
图7
我们先来看看空间向量在轴上的投影。
设向量Ab,那么它在u轴上的投影为
PrjuAB=|abcosAB,u,
式中Prju表示向量在u轴上的投影.
从图7可以看出,为了作出ab在u轴上的投影,可以过点A、B分别作与u轴垂直的两个平面g3,那么点A、B在7轴上的射影分别为A'B',且点A'B必定在平面八[上,
显然,AB就是AB在u轴上的投影•从另一方面看,线段A'就是异面直线A'A和B'B如果它们不平行的话)的公垂线段,也就是两异面直线间的距离•所以,异面直线上任意两点所连接的向量在公垂线方向上投影的绝对值就是两异面直线间的距离.
F—P
—■-1—■-—.—-*■hI11—•-iab•
因为ABu=ABucos〈AB,u),所以PrjuAB=|abcos(;AB,u》=—―,于是有d=u
PrjuAB•式中d表示两异面直线间的距离。
由于a//0,它们之间的距离处处相等,所以u轴的选取不一定要是公垂线,而只要同时与两异面直线垂直,也就是说只要与公垂线方向向量共线即可。
例5:
若上题中的已知条件不变,求异面直线EG与CB1的距离.
nEB,3
3.3向量巧解平行与垂直的问题
3.3.1平行
无论是证明线线平行,还是线面平行,都对空间图形抽象思维有较高要求,用
向量法的话,则显得简单、易于上手。
若要证明AB和CD两条直线平行,AB=
(x,,y,,z,),CD=(x2,y2,z2),则只要证实数■=空=竺=兰;若要证MN与面ABCyiy2y3
平行,则只要证明MN能用AB、BC、CA中任两个向量进行线性表示就可以了。
例6:
如图8,P是正方形ABCE所在平面外一点,PA=PB=PC=PD=AB=mM,N分别在PABD上,且PM=-BN=!
PABD3
(1)求证:
MN〃平面PBC
(2)
图8
求证:
MNAD.
分析:
(1)根据共面向量定理,只需证明MN可以表示为PB、PC、BC中任两个向量的线性组合,为此,必须选基底,再利用基底和三角形法则,找到上述向
量之间的线性关系。
取基底{PA,PB,PC},设PA=a,PB=b,PC=c,则
]1—r]――h—b]-i—b
PM=-a,BA=a-b,BC=cb,
3
4Jib—►—fc-—r
BD=BA+BC=a+c-2b,
一一一一1一
•••PN=PB+BN=PB+—BD
3
1
=(a+b+c),
3
——1又PM=—a,
3
•••MN=PN-PM=丄(b+c)=丄PB+丄PC,
333
•••MN与PB、PC共面,
又MN二平面PBC,
•••MN//平面PBC.
(2)略.
3.3.2垂直
要证AB和CD互相垂直,只要证AB2CD=0即可;而涉及到线面垂直的论证问题时,也可构造向量,并运用两向量垂直的充要条件去判断线线垂直,从而使线面垂直问题或证。
例7:
上题第
(2)问
解:
只需证MNAD=o.
百■—►f
AD=BC=c-b,
=4
2
—*
c
b
2
)=0,
11221
MNAD=—(b+c)(gb)=—(c2-b2)=—(
333
•••MN_AD,MNAD.
4.向量巧解平面解析几何中的问题
4.1平面几何
向量法与综合法、解析法,被认为是研究初等几何的三种主要方法,向量法在
处理有关三角形“三线”(中线、角平分线、高)与“四心”(重心、垂心、内心、外心)等问题时有独到之处,另外,用向量知识处理平面几何问题时,可以避免去考虑几何中较复杂的关系。
例8:
D是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足
ABAc
OP=OA+(——+—C),扎E[o,+co],贝yp的轨迹一定通过厶ABC勺().
ABAC
(A)外心(B)内心(c)重心(D)垂心
ABAC
而OP=OA+(+),
AB|AC
所以,点P在AD上移动,P的轨迹通过△ABC的内心,故答案选(B).点评:
本题将向量加法的几何意义及轨迹问题有机地结合在一起,通过向量加法的几何意义来求解平面几何的问题。
由于向量具有几何形式,利用向量的运算去解决平面几何问题,可以少引或不引辅助线(如证三角形三条高线交于一点),使解题的思路更加清晰、简捷,解法顺理成章。
4.2解析几何
由于向量可以通过坐标来表示,因此平面向量与解析几何之间有着天然的联系。
如:
平面直角坐标系内的两点间距离公式,对应于平面内相应向量的长度公式;分一条线段成定比的分点的坐标,可根据相应的两个向量的坐标直接求得;“两条直线平行的充要条件是其斜率相等”与“两个向量平行的充要条件是其对应坐标成比例”的说法没有本质的不同。
因此,在有关解析几何的题目中,如果涉及到夹角、
平行、垂直、共线、轨迹等问题时,常可考虑用平面向量来处理,将几何问题坐标化、符号化、数量化,利用向量运算的几何意义,省去解析几何中一些繁杂的运算,可以收到事半功倍的效果。
22
例9:
椭圆—11的焦点为F!
、F2,点P为椭圆上的动点,当.FfF2为94
钝角时,点P横坐标的取值范围是().
解:
F!
(-5,0),F2(5,0),设P(xo,y0),则PR=(-5-x。
,-y。
),PF?
=(5-xo,-yo),
因为•FfF2为钝角,所以PF,PF2:
:
0,即(…5-xo)(5-x。
)+yo2<0,
即9x02+9y02<45,
22
又因为仝
94
点评:
在解析几何中,一方面存在着度量、角度、平行、垂直等问题,这为向量的应用提供了广阔的空间;另一方面解析几何问题是用代数方法来处理的,这又符合了向量的双重身份,给向量的应用创造了良好的环境。
5.向量巧解复数的问题
一方面,由于复数可以通过向量表示,另一方面,由于向量的坐标表示法与复数的代数形式在表达形式上非常相似,因此,向量与复数也有紧密的联系,在解题中,运用向量来解决复数问题也是常见的。
例10:
设x,y€R,i,j为直角坐标平面内x,y轴正方向上的单位向量,若向量a=xi+(y+2)j,b=xi+(y-2)j,且耳+幵=8,
(I)求点M(x,y)的轨迹C的方程;
(II)过点(O,3)作直线L与曲线C交于A、B两点,设OP=OA+OB是否存在这样的直线L,使得四边形OAPB是矩形?
若存在,求出直线L的方程;若不存在,试说明理由。
略解:
(I)由题意,得..x2•y22,x2y-22=8,故点M(x,y)到两个定点
F1(0,-2)、F2(0,2)的矩离之和为8,所以轨迹C为以F1,F2为焦点的椭圆,其
22
方程为—y10
1216
(II)因为L过丫轴上的点(O,3),若直线L是y轴,则A、B两点是椭圆的顶点。
又因为OP=OA+OB=O,所以P与0重合,与四边形OAPB是矩形矛盾,因而,直线L的斜率存在,设L的方程为y=kx+3,A(X1,yJ,B(x2,y2).
y二kx3
由tx2y2消y得:
(4+3k2)x2+18kx-21=0,
—+^—=1
.1216
21
2
43k2
18k
此时,△=(18k)2-4(4+3k2)(-21)>0恒成立,且x1+x2^2,xA^2
4+3k
又因为OP=OA+OB,所以四边形OAPB是平行四边形.
若存在直线L,使得四边形OAPB是矩形,则OA丄OB即OAOB=0,因为OA=((x1,y1)),OB=((x2,y2),所以OAOB=x1x2+y1y2=0,
f21
即(1+k2)x1x2+3k(x1+x2)+9=0,即(1+k2•—2叶9=0,
l4+3k丿
即k2=-,得k=_三.
164
点评:
本题的第1小题,其实质是将复数问题“已知复数Z1=-2i,Z2=2i,点Z所对应的复数z满足z-z1+z-z2=8,求点Z的轨迹方程”以向量为背景给出,体现了复数与向量之间的联系。
6.向量巧解三角函数的问题
利用单位圆研究三角函数的几何意义时,表示三角函数的三角函数线其实就是
平面向量。
由于用向量解决问题时常常是从建立向量三角形入手的,这就使向量在三角里有关解三角函数的问题中发挥了重要作用。
首先,两个向量的模,引出了两
点间的距离公式,其次深入到三角函数。
例11:
已知向量m=(cos),sin,n=(、2-sin,cos),)(二,2二),
且m+n=^z,求cos(3+=)的值.
528
解:
因m+n=(cosr-sin、2,cos+sin),
J4+4cos
日十一|=21+cos
0+—I
V
<4丿飞
<4丿
由已知m十n=8^.,得cos日+='\=—,又cos4i=2cos2电+工i—1,
5I4.丿25<4.丿128丿
故cos2=16,才二Z。
而8二厂「严,cos0,
(28丿255288「28丿
故cos:
=--.
128丿5
本题先运用向量坐标形式的和运算及模的定义,转化为三角赋值问题,脱去了向量的外壳后,实质是已知cos2■=空,才二,2二,求cos■的值。
由于向
128丿25128丿
量具有代数和几何形式,在解决有关三角函数的问题时,从向量三角形入手,常使问题能简便明了获解。
7.向量巧解其他代数问题
由于平面向量融数、形于一体,具有几何形式与代数形式的“双重身份”,使它成为中学数学知识的一个交汇点和联系多项内容的媒介。
因此,向量的引入大大拓宽了解题的思路与方法,使它在研究其它许多问题时获得广泛的应用。
禾用平面向量这个工具解题。
可以简捷、规范地处理代数中的许多问题。
7.1求最值
例12:
求函数y=2-cosx(Ovxv二)的最小值.
sinx
解:
由题设知y>0,且ysinx+cosx=2,
—►—>
设a=(cosx,sinx),b=(1,y),
由ab兰ajb得cosx+ysinx|兰Ji+y2,所以y乏V3,
当且仅当a与b共线,即ycosx-sinx=0时等号成立,
此匕时2cosxcosx=sinx,即cosx=1,
sinx2
故当x=时,y取得最小值■-3.
3
7.2求取值范围
根据向量的性质,当求取值范围时可适当建模,一般有冋+n兰m+n、
m—n兰m—n和mn
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