九年级数学上册《圆》复习.docx
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九年级数学上册《圆》复习
第24章圆知识体系复习
-■圆的基本概念:
1•圆的定义:
到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆.
2有关概念:
(1)弦、直径(圆中最长的弦)
(2)弧、优弧、劣弧、等弧
(3)弦心距
1.圆的基本性质
1•圆的对称性:
(1)圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴•圆有无数条对称轴.
(2)圆是中心对称图形拼且绕圆心旋转任何一个角度都能与自身重合,即圆具
2■垂径定理:
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
•••CD是圆0的直
径,CD丄AB
•••AP=BP—AD=BDAC=BC
T<1
3•同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的关系:
(1)在同圆或等圆中,如果圆心角相等,那么它所对的弧相等,所对的弦相等.
(2)在圆中,如果弧相等,那么它所对的圆心角相等,所对的弦相等.
(3)在一个圆中,如果弦相等,那么它所对的弧相等,所对的圆心角相等.
•••ZCOD=ZAOB
••AB=CD
C.・.AB=CD
1、如图,已知OO的半径OA长为5,弦AB的长AC=BC:
,
则OC的长为__3
半径
反思:
在OO中,若OO的半径I*、a
圆心到弦的距离d、弦长a中,任意知道两个量,可根据垂悝定理求出第三个量:
%
3、如图,P为OO的弦BA延长线上一点,PA牛AB=2,PO=5,求OO的半径。
弦长构成直角三角形,
便将问题转化为直角三角形的问题。
4■圖周角:
定义:
顶点在圆周上,两边和圆相交的角,叫做圆周角.
性质:
(1)在同一个圆中,同弧所对的I角等于它所对的圆心角的一半.
角的性质
(2)
圆周
r
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的所有的圆周角相等■相等的圆周角所对的弧相等.
D
TZADB与ZAEB、ZACB
,是同弧所对的庭9周角
角的性质:
性质3:
半圆或直径所对的圆周
角都
相等,都等于900(直角).
性质4:
90。
的|
I周角所对的弦是圆的直径.
B
TAB是OO的直径
・・・ZACB=90°
(2)(2005年,江西省)
如图36-2,在OO中,弦AB等于
半径,OCJ_AB交QO于Cy贝UX.ABC
15度.
图36-2
【例1】如图2-96,在OO中,弦AB=1.8cm,圆周角zLACB=30°,则OO的直径等
2•如图,AB是OO的直径QD是OO的弦,延长3D到点C,使
DC=BD,连接&C交与点E
(1)AB^AC的大小有什么关系?
为什么?
(2)按角的大小分类,请你判断△ABC属于哪一类三角形,并说明理由・(05宜昌)
3•如图在比赛中,甲带球向对方球门
PQ进攻,当他带球冲到A点时,同伴乙已经助攻冲到B点,此时甲是直接射门好,还是将球传给乙,让乙射门好?
为什么?
三■与圆有关的位置关系:
1•点和圆的位置关系
(1)点在圆内
(2)点在圆上(3)点在圆外
如果规定点与圆心的距离为d,圆的半径为r,则d与r的大小关系为:
d d=r d>r「磁 7•在RtAABC中,ZC=90°,BC=3cm,AC=4cm,D为AB的中点,E为AC的中点,以B为圆心,BC为半径作OB, 问: (1)A、C、D、E与OB的位置关系如何? (2)AB、AC与。 B的位置关系如何? ■ E 2•如图,0A是。 0的半径,已知AB=OA,试探索当ZOAB的大小如何变化时点B在圆内? 点B在圆上? 点B在圆外? 2 •直线和圆的位置关系: (1)相离: 一条直线与一个圆没有公共点,叫做 (2)相切: 皀蒙書舊言邑舉高貝有一个公共点,叫 (3)相交: 个公共点,叫做直线与这个圆相交.打 直线与圆位置关系的识别: 设圆的半径为匚圆心到直线的距离为d,则: (1)当直线与圆相离时d>r; (2)当直线与圆相切时d=r; (3)当直线与圆相交时dvr. 1■与圆有一个公共点的直线O 2.圆心到直线的距离等于圆的半径的直线是圆的切线。 3■经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 VOA是半径,0A丄I ・••直线上是。 0的切线. 切线的性质: (1)圆的切线垂直于经过切点的半径. (2)经过圆心垂直于切线的直线必经过切点・ (3)经过切点垂直于切线的直线必经过圆心. ・••直线/是OO的切线,切点为A /•0A丄I 切钱衣定f 从園外—攝引園的两条切线,它切 萌切线長祖等;这点与園心茁连线平分 这两条勿线的夹角。 ・・・PA、PB为(DO的切线 ・・・PA=PB, ZAPO=ZBPO 1•在RtAABC中,ZB=90。 的平分线交BC于D,以D为圆心,DB长为半径作OD. 试说明: AC是OD的切线・ 径BD 如图,AB在(DO的直径,点D^AB的延长线上,且点C在0O上,ZCAB=30。 ・ ⑴CD是0O的切线吗? 说明你的理由; (2)AC=,请给出合理的解释. 只要连接OC,而后证明OC垂直CD B 2・AB是OO的弦,C是©O外一点,BC是OO的切线,AB交过C点的直径于点D,OA丄CD,试判断ABCD的形状,并说明你的理由■ 三角形的外接圆与内切圆: 三角形的外心就是三角形各边垂直平分线的交点. 三角形的内心就是三角形各角平分线的交点. 不在同一直线上的三点确定一个圆. 特别的: 等边三角形的外心与内心重合. 二、过三点的圆及外接圆 1・过_点的圆有无数个 2•过两点的圆有无数个,这些圆的圆心的都在连结着两点的线段的垂直平分线上. 3•过三点的圆有°或〔 4•如何作过不在同一直线上的三点的圆(或三 角形的外接圆、找外心、破镜重圆、到三个村 囂翹囂形的外心在三角形丄L直角三角 形的外心在三角形在斜边的中点上,钝角三角形的外心在三角形如。 经过三角形的三个顶点的Ba外接圆的圆心叫做三角形白三角形叫做圆的内接三角无问题1: 如何作三角形的外如何找三角形的外心? 问题2: 三角形的外心一定在三角形内吗? 3•如图,是某机械厂的一种零件平面图・ (1)请你根据所学的知识找出该零件所在圆的圆心(要求正确画图,不写做法保留痕迹). ⑵若弦AB=80cm,XB的中点C到AB的距离是20cm,求该零件所在的半径长. 基础题 1・既有外接圆,又内切圆的平行四边形是疋方軫. 2•直角三角形的外接圆半径为5cm,内切圆半径为lcm,则此三角形的周长是_>2阿. 3.00边长为2cm的正方形ABCD的内切圆,E、F切OO于P点,交AB、BC于E、F,则ABEF的周长是2cm. G"・0 4•如图,O0为AABC的内切圆,切点分别为6E,F,P是弧尿上的一点,若度,则NFPE=度 B 5.如图,已知△ABC的三边长分别为AB=4cm, BC=5cm,AC=6cm,00是厶ABC的内切圆,切点分 别是E、F、G,贝! |AE=_,BF=_,CG= 7・如图,GW与兀轴相交于点4(2,0),B (8,0),与y轴相切于点C,求圆心M的坐 ty III III I-] III 鸞爍熬盈第r个锅盖,需要测量锅盖的520警更? S号雪1直径人而小红家只有-把长20cm、少臺乙‘晝杏不够长,怎么办呢? 小红想了想,釆取以下方瓷追鄭锅平放到墙根,锅边刚好靠到两墙,用直尺紧贴勰黑關豔即可求出锅盖的直径'请你利用图乙说 圆与圆的位置关系: 外离 相交 外切 内切 内含 数量关系及识别方法d>R+r 两圆的位置关系外离— 外切— 相交 内切 内含 \•如图,0O? 和002内切于点口 002的莎LTB分别交<301于C, D,连接AB,CD 典型例题: 1・如图,。 0的直径AB=12,以0A为直径的 交大圆的弦AC于D,过D点作小圆的 切线交0C于点E,交AB于F. ⑴说明D是AC的中点. ⑵猜想DF与0C的位置关系,并说明理由. ⑶若DF=4,求OF的长. 2•如图,正方形ABCD的边长为2,P是线段 BC上的一个动点•以AB为直径作圆0,过点 P作圆0的切线交AD于点F,切点为E. P (2)设BP=x,AF詡求y关 Q于x的函数裤析丸 三■正多边形: 1冲心: 一个正多边形外接圆的圆心 叫做这个正多边形的中心. 2•半径: 正多边形外接圆的半径叫做这 个正多边形的半径. F 3•中心角: 正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角. 4•边心距: 中心到正多边形一边的距离 叫做这个正多边形的边心距. 3正多边形和 (1)•有关概念 (2)•常用的方法 (3)•正多边形的作图 护+L 面积S=TTr2 四.圆中的有关计算: 1•圆的周长和面稅公式 周长C=2nr 24长的it算公式 1- L"180 3•扇形的面稅公式 5■圆锥的展开图: 侧面 1、扇形AOB的半径为12cm,ZAOB=120°,求 扇形的面积和周长. 2、如图,当半径为30cm的转动轮转过120。 时,传送带上的物体A平移的距离为・ 3: 如图,把Rt的斜边放在直线按顺时针方向转动一次,使它转到A40C的位置。 若 BC=1,ZA=30°o求点A运动到A,位置时”点A经过 的路线长。 C A Cf 4•如下图,所示的三角形铁皮余料, 剪下扇形制 成圆锥形玩具, 已知ZC=90度,AC=BC=4cm, 使剪下的扇形边缘半径在三角形边上,弧与其 他边相切, 直接写出扇形 设计裁剪的方案图, 的半径长。 斤=2y/2 厂2=4丫3=2 A r4=4a/2-4 EPI 5、扇形的面积是它所在圆的面积的$,这个扇形的圆心角的度数是一240。 °・ 6、圆锥的母线为5cm,底面半径为3cm,贝! |圆锥的表面积为24TTcm2 7、已知: 在RtAABC, NC=90°.AB=13cm,BC=5cm 分析: B 以AB为轴旋转一周所得到的几何体是由公共底面的两个圆锥所组成的几何体,因此求全面积就是求两个圆锥的侧面积。 &如图”在RtAABC中,ZACB=90°o⑴分别以AC,BC为轴旋转一周所得的圆锥相同吗? (2)以AB为轴旋转一周得到怎样的几何体? (3)若AB二5,BC=4,你能求出题 (2)中几何体的表 面积吗? 9•如图,圆锥的底面半径为2cm,母线长为 沿圆锥侧面爬行一周回到A点,求蚂蚁爬行的最短路线长是多少? 常见的基本图形及结论: 1•如图,在以0为圆心的 两个同心圆中,大圆的弦 AB交小圆于C、D,则: AC=BD 若大圆的弦切小圆于C,则 AC=BC 两圆之间的环形面积 1f 5=4^62 2•如图,以等腰△ABC的腰AB为直径作 r OO交底边BC于点D,则: A 3•如图,已知PA、PB切圆0于点A,B,过弧AB±任一点E作圆O的切线,交PA,PB于点C,D,则: 长=2PA (2)ZCOD=900-1ZAPB 5■在RtAABC中,ZACB是直角,三边分 为切线,则: 6•如图,AB是圆0的直径,AD,BC,DC均 (1)DC=AD+BC (2)ZDOC=90° 3・已知: AB为。 0的直径,P为AB弧的中点. (1)若与。 0外切于点P(见图甲),AP、BP的延长线分别交00,于点C、D,连接CD,则APCD是三角形; (2)若G)(T与相交于点P、Q (见图乙),连接AQ、BQ并延长分别交00,于点E、F, E 0z 5.已知OOPOO2,相交与A,B两点,两圆的半径分别是3忑和2羽,公共弦的长AB=6,求0[。 2和 01碍3+sj3或3-屈 NO"02=75度或15度 6•某电机长生产一批直径分别为10cm和20cm的形硅钢片,现在有宽度为20cm的硅钢片,现设计了两种裁料方法: 1.如图 (一),把两种规格的圆钢片分开排料: 2..如图 (二)把2片小的和1片大的圆钢片间隔起来排料: 问题1・上述问题主要反映了有关圆的位置关系是问题2•比较两种不同的方案,通过计算说明哪一种排料方法更节约用料? 专题一: 与圆有关的辅助线的作法: 2、已知(DO】与(DO? 相交于C、D, OiO2的延长线和OOi交于A, AC、AD分别与(DO? 相交于点E、Fo求证: CE=DF A 4、如图,OOP(DO? 外切于P,AB与切于A、B,CP为OO2的内公切线并交 AB于C,求证: O]C丄OqC。 本章安排复习内容 第1部分圆的基本性质 第2部分与圆有关的位置关系 第3部分正多边形和圆 第4部分弧长和面积的计算 第5部分有关作图 垂径定理的应用一 对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离 d、圆半径r、弓形高h,这四个量中,只要 已知其中任意两个量,就可以求出另外两个量,如图有: (l)d+h=r 要记住这个模型,他的结论有很多的应用 AABC叫做切点三角形 三■正多边形: 1冲心: 一个正多边形外接圆的圆心 叫做这个正多边形的中心. 2•半径: 正多边形外接圆的半径叫做这 个正多边形的半径. F 3•中心角: 正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角. 4•边心距: 中心到正多边形一边的距离 叫做这个正多边形的边心距.
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