5•三种常见的离散型随机变量的概率分布
(1)0-1分布(X)
(2)二项分布(X~B(h,p))
p,==0,1,2,,n
(3)泊松分布(XPU))
3*
p,=P{X=M=-e-\A:
=0,1,2,,n,
二、连续型随机变量分布函数及其概率密度
1•连续型随机变量的分布函数即概率密度定义:
r(x)=P{X/r
其中,Fd)为X的分布函数,/(X)为X的概率密度。
2.概率密度的性质
(1)
(2)
(3)
P{a(4)
3
•三种常见的连续型随机变量
、,4f(x)=U_a^
I0,其他
九7,兀〉0
0,x<0
(3)
正态分布(X~N(“,cH))
2,厂8(4)标准正态分布(X-N((M))及其性质
丄
/(X)=€2,-o0yj2^
6.0(0)=-
2
(5)非标准正态分布标准化
z=^^N(0J)
a
三、随机变量函数的概率分布
1•离散型随机变量函数的概率分布
设离散型随机变量X的分布律为:
X
«««Xr♦♦♦
p
PlPz几…Pk-
则X的函数Y=g(X)的分布律为:
g(Xl)g(兀)&("丫3)•••g(X*)•••
2•连续型随机变量函数的分布
设X的连续型随机变量,其概率密度为A(x)O设ga)是一严格单调的可导函数,其值域为[0,0],且g\x)^Qcis%=//(%)为)'=&(乳)的反函数,贝l"=g(X)的概率密度为
八\M(/?
(y))iF(y)M皿鬥0,其他
特别地,当0=8,0=+8时,
fyiy)=fx(方(y))"r(y)i,Y本章历届试题
1.(2013.10.2).设随机变量X~NqT,①⑴为标准正态分布函数,则P{X>X}=
A.®(x)
X-
D・1叫宁
p{x>x}=1-p{x2.(2013.10.13).设随机变量X服从参数为1的指数分布,则
P{X>1}=-.
e
解:
因为,随机变量X服从参数为1的指数分布
所以,X的概率密度为/(x)=.
P{X>1}=1€-^dx=-e-"
3.(2013.10.14).设随机变量XZ2V(l,l),y=X-1,则丫的概率密度
4.(2013.10.29).15随机变量X的概率密度为
CX,00,其他.
求:
(1)常数C;
(2)X的分布函数F(x);(3)P{|X|M2}・
解:
(1)由匸=l得:
r+xcX
ff(x)dx=fcxdx=—J-xJu2
X
F(X)=
—,08
IO,其他
(2)由F(x)=£/(r)rfr得:
当X£O时,F(x)=0
当。
当X>4时,F(X)=jF(T)DT=jODT+j—DT
8o8
(X
+JODT=1
4
O,X即X的分布函数为F(x)=—,016
1,XS4
(3)P{lXl<2)=F{-2Pllxl<2}=P{-2(2)-F(-2)=---0=-
164
5.
(2013.4.3),设随机变量X的分布函数为F(X)则P{a6.(2013.4.14).设随机变量X服从参数为1的泊松分布,则
分怩泊松分布的分布律为PTZ心务
解:
由于随机变量X服从参数为1的泊松分布,所以
Z=P{X=R}=-『,R=(U2
k\
P{X>1}=1-P{X<1}=1_P{X=0}=1-上厂=1一上
0!
e
0,x<17.(2013.4.15).设随机变量X的概率密度为几力=1",用Y
Vx-表示对X的3次独立重复观察中事件{X>3}岀现的次数,则p{y>3}=_o_・
分析:
Y~B(3,p),P{Y>3}=0
「+8r+~11
解:
H(X)OX=J尹"匸
|3/311
P=p{x>3}=1-p{x<3}=1-JF(X)DX=1-J—DX=-•8IX3
J”J宀F+cJ+c
由于,Y表示"对X的3次独立重复观察中事件{X>3}出现"的次
数,
所以Y-B(3,3丿,(Y=0,1,2,3)
P{Y>3}=0
P{Y>3}=1-P{Y<3}
=1-P{Y=0}-P{Y=1}・P{Y=2}-P{Y=3}
7.(2014.4.2)设随机变量X的分布律为
-1
2
0.10.3
0.6
尸仅丿为X的分布函数,则F(0)=
A.0.1
B.0.3
C.0.4
D.0.6
F(O)=P{x=-l}+P{x=0}=0.1+0.3=0.4
8.(2014.4.14)设随机变量X服从区间[1,5]上的均匀分布,f(x)为X的分布函数,当lF(X)=
—,1SXS5
4
IO,其他
(X\TX
当1<1<5时,F(x)=J-DT=-i44
X-1
9.(2014.4.15)设随机变量X的概率密度为
2x,0其他则——•
p{x>£=J;
^2xdx=x^li=
22
丄-3
4~4
10.
9),P{X>c}=P{X^c},
(2014.4.16)已知随机变量X~/V(4,则常数c=.
P{X>c}=1-P{X5c}=P{Xsc},所以P{Xsc)=-=cto)
X-4
由于X~N(4,9),所以Z=N(O,1)
p{x*}=i4乎詈
c-4
=PZ<
I3)
3厂仞)
c-4
=O,C=4^3
11.(2014.4.29)设随机变量X〜N(0,1),记Y=2X,求:
(:
L)P{Xv・
1};
(2)P{|X|<1};(3)r的概率密度•(附:
①
(1)=0.8413)
解:
(1)曲于X~N(O,i),所以
P{x<-1}=1)=1-=1-0.8413=0.1587
(2)由于X-N(0,l),所以
Pllxl<1)=1=2X0.8413-1=0.6826
(3)由于X-N(0,l),Y=2X,所以Y~N(0,4),那么Y的概率密
度函数为
(¥■讶护
F®)=盒』=二尹
8.
(2013.1.3)以下函数屮能成为某随机变量分布函数的是()
9.
(D)F(+8)=limd=l,工>0时,尸⑴有增有减,淘汰。
XTY
F\x)=1-(xe■”)'=0-+x(e~"y]=-e~"+xe~"=(x-l)e~^=0,x=1
10.(2013.1.4).设X〜N(0」),X的分布函数为①a),则P{\X\>2}的
值为()
D.1-2①
(2)
P{IX\>2}=l-P{IXI<2}=1-[210.(2013.1.14).设X的分布律为P{X=k}=k/a(1,2,3),则
解:
i+-+-=l=ta=6aaaa
11.(2013.1.15)/U)=P^'其中2>o,若P{X10,x<0
则P{X<2}=
解:
P{X/(x)dx=[:
;鬥:
=-『7)=1-€"=0・3
P{n2}=J>FT严s)一02—严箱_盏=盏
10.I10
49
yj-100
12.(2013.1.16)设X的分布律为
13.
解:
P{-213.(2013.28)设连续型随机变量X的分布函数为
(1)由匸yax/zi得:
Jf(x)dx=pOrfx+£lAxdx++p==2/1=1
fo,
(2)X的概率密度为/(x)=
(3)
*1
X,
2
0,
0lx>2
2.4