初一数学竞赛系列讲座16逻辑原理.docx
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初一数学竞赛系列讲座16逻辑原理
初一数学竞赛系列讲座()
逻辑原理
一、知识要点
逻辑原理问题,并不需要多少特别专门的知识,关键在于审题,要认真仔细地分析题意,弄清楚各个量之间的关系,深刻理解每句话的含义。
二、例题精讲
例小明、小强、小华三人参加迎春杯赛,他们是来自金城、沙市、水乡的选手,并分别获得一、二、三等奖。
现在知道:
(1)小明不是金城的选手;
(2)小强不是沙市的选手;
(3)金城的选手不是一等奖;
(4)沙市的选手得二等奖;
(5)小强不是三等奖。
根据上述情况,小华是的选手,他得的是等奖。
(第三届迎春杯决赛试题)
分析:
显然选手所在城市与选手获奖情况有联系,我们就从这里找突破口,搞清了各个城市的选手分别获得哪等奖,问题就解决了。
解:
由()知:
金城的选手获一等奖或三等奖,又由()得金城的选手获三等奖,从而水乡的选手获一等奖。
由()知:
小强是金城或水乡的选手,又由()得小强是水乡的选手,
由()得小明是沙市的选手,从而小华是金城的选手,他获三等奖。
例教室里的椅子坏了,第二天上学时,老师发现椅子修好了。
经了解,椅子是、、三人中的一个人修好的,老师找来这三人。
说:
“是做的。
”
说:
“不是我做的。
”
说:
“不是我做的。
”
经调查,三人中只有一个说了实话,椅子是谁修的呢?
分析:
因为三人中只有一个说了实话,所以可以假设椅子是某人修好的,看结论是否符合“三人中只有一个说了实话”这一条件。
解:
()假设椅子是修好的,那么说的是假话,、说的都是实话。
这样有两人说了实话与“三人中只有一个说了实话”这一条件相矛盾,所以椅子不是修好的。
()假设椅子是修好的,那么说的是假话,、说的都是实话。
这样有两人说了实话与“三人中只有一个说了实话”这一条件相矛盾,所以椅子不是修好的。
()假设椅子是修好的,那么、说的是假话,说的是实话,符合“三人中只有一个说了实话”这一条件,所以椅子是修好的。
评注:
本题运用先假设,再根据假设推出一个结论;如果结论与已知条件相矛盾,说明假设不成立;如果结论符合已知条件,说明假设正确。
这种假设的方法是逻辑推理中经常使用。
例赵、钱、孙、李四人,一个是教师,一个是售货员,一个是工人,一个是个体户,根据以下条件,判断这四人的职业。
(1)赵、钱是邻居,每天一起骑车上班;
(2)赵年龄比孙大;
(3)赵在教李打太极拳;
(4)教师每天步行上班;
(5)售货员的邻居不是个体户;
(6)个体户和工人互不认识;
(7)个体户比售货员和工人年龄都大。
解:
由()和()可知,赵、钱不是教师。
由()和()知,孙不是个体户。
因为假设孙是个体户,则由()和()知,赵不是售货员,不是工人;由()和()可知,赵也不是教师;这样赵也是个体户,与假设矛盾。
于是我们可得出下表:
售货员
工人
教师
个体户
赵
钱
孙
李
假设赵是工人,个体户是钱或李,由()可知,赵与钱或李应互不认识,这与()、()相矛盾,这样可知赵不是工人。
又假设赵是个体户,由()、()、()可知,孙是工人,钱是售货员,但又与()矛盾,所以赵是售货员。
这样又可得出下表:
售货员
工人
教师
个体户
赵
√
钱
孙
李
根据()、()继续分析,把上面的表格填满,可得:
钱不是个体户,则钱是工人;则孙不是工人,孙是教师,最后得李是个体户。
如下表:
售货员
工人
教师
个体户
赵
√
钱
√
孙
√
李
√
最后得:
赵是售货员,钱是工人,孙是教师,李是个体户。
评注:
分析逻辑推理问题,借助表格,能使已知条件和推出的有用结论一目了然。
在填表时通常把正确的结论打“√”,错误的打“”。
这样可以确保推理的速度和正确性,而且不易被错误信息干扰。
例今有棋子颗,甲、乙两人做取棋子的游戏,甲先取,乙后取,两人轮流各取一次,规定每次取颗,为或以内的任一质数,不能不取。
谁最后取完谁为胜者。
问甲、乙两人谁有必胜的策略。
解:
乙有必胜的策略。
由于为或以内的任一质数,所以或者是,或者可以表示为或(为或正整数)形式,乙可以采取如下的策略:
若甲取颗,则乙也取颗;
若甲取颗,则乙取颗;
若甲取颗,则乙取颗;
这样,每次甲、乙两人取走的棋子之和都是的倍数。
由于是的倍数,因此余下的棋子数必定还是的倍数。
从而经过若干回合后,剩下的棋子数必定为不超过的的倍数。
因为不是的倍数,所以这时甲不能取走全部的棋子,从而最终乙可以取走全部的棋子。
评注:
本题中,甲虽然先取,但他没有必胜的策略。
而乙虽然后取,但他能根据甲的取法,应对有序,后发制人,最终取胜。
由此看出,谁能取得最后胜利,一要看他所面临的情形,二要看他采用的策略,两者缺一不可。
例有三堆小石子。
每次操作从每堆中取走同样数目的小石子(不同次操作,取走的小石子数目可以不同),或将其中任一堆(如果其小石子数是偶数)的一半小石子移到另一堆上。
开始时,第一堆有小石子块,第二堆有小石子块,第三堆有小石子块。
能否使()某两堆小石子一个不剩?
()三堆小石子都一个不剩?
(第十五届全俄数学奥林匹克试题)
分析:
()很容易发现三堆小石子刚开始时的小石子数的末两位数字相同,因而首先三堆各取块,这样剩下的石子数是:
、、,接下来将第二堆移块到第三堆,石子数变为:
、、,再接下来三堆各取走块就可以了。
()发现最初三堆的石子数的和是:
,它不被整除。
而题目中的两种操作方法不改变这个特征,因而可得出结论。
解:
()可以使某两堆小石子一个不剩。
只要按如下步骤取即可。
(,,)(,,)(,,)(,,)
()最初三堆石子的总数是,它不能被整除。
而进行任何一次操作后所得的三堆石子的总数被除所得的余数不变,所以不管进行几次操作,三堆石子的总数被除所得的余数都不为,即不可能将三堆石子都取光。
评注:
本题第二步中,抓住了三堆石子的总数被除所得的余数不变这个特征,从而使问题得到顺利解决。
因而解题时应认真分析,抓住关键。
例人的血型通常为型、型、型、型。
子女的血型与其父母血型间的关系如下表所示:
父母的血型子女可能的血型
、
、、
、、
、、
、、
、、、、
、、、
、、
、、、
、、、
现有三个分别身穿红、黄、蓝上衣的孩子,他们的血型依次为、、。
每个孩子的父母都戴着同样颜色的帽子,颜色也分别为红、黄、蓝三种,依次表示所具有的血型为、、。
问穿红、黄、蓝上衣的孩子的父母各戴什么颜色的帽子?
(第五届华杯赛复赛试题)
分析:
因为父母都戴着同样颜色的帽子,所以父母的血型都相同,这样血型表只需保留一、五、八、十这行。
又由于三种颜色的帽子分别表示、、三种血型,所以第八行也可划去。
这样血型表就比原来简单多了,再讨论这个简表就不难得出血型间的关系,从而再得出题目结论。
解:
因为父母都戴着同样颜色的帽子,所以父母的血型都相同,根据血型表,只有、,、,、,、符合条件。
又因为父母都戴着红、黄、蓝三种颜色的帽子,而三种颜色依次表示所具有的血型为、、,所以符合条件的只有、,、,、。
因而,可以得出下面的简表:
父母的血型子女可能的血型
、
、、
、、、
从上面的简表可以看出父母的血型为的,孩子血型一定为,即穿红上衣的孩子,父母戴蓝帽子。
划去简表的第一行及子女血型中的,又三个孩子中没有血型,所以子女血型中的也可划去,这样只剩第二行。
由第二行,父母的血型为的,子女的血型一定为,即穿黄上衣的孩子,父母戴黄帽子。
最后,穿蓝上衣的孩子,父母戴红帽子。
评注:
、本题先将问题简化,再从最简单的情况入手,把结果能确定下来的先确定下来,然后再继续讨论,结果不能确定下来的,就分情况讨论,这种方法叫枚举法。
枚举法在逻辑推理中常用。
、上面的解法是从父母的血型出发分析,从而确定孩子的血型,本题也可从孩子的血型出发分析来确定父母的血型。
例在某市举行的一次乒乓球比赛中,有名选手参赛,其中专业选手与业余选手各名.比赛采用单循环方式进行,就是说每两名选手都要比赛一场。
为公平起见,用以下方法计分:
开赛前每位选手各有分作为底分,每赛一场,胜者加分,负者扣分:
每胜专业选手一场的加分,每胜业余选手一场的加分;专业选手每负一场扣分,业余选手每负一场扣分。
现问:
一位业余选手至少要胜几场才能保证他必定进入前三名?
(第六届华杯赛复赛试题)
分析:
名选手进行单循环比赛,每名选手共进行场比赛,显然名业余选手只胜场不能进入前三名,场全胜肯定能进入前三名,因而我们只需讨论名业余选手胜二场、胜三场和胜四场三种情况,看是否能保证他必定进入前三名。
解:
设业余选手为、、,专业选手为、、。
(一)、如果只胜两场,有三种情况:
()胜两名专业选手,不妨为、。
在、、都胜、,而且胜、时,、、的分数都比高,因此不能进入前三名。
()胜一名专业选手,一名业余选手,不妨为、
在、、都胜、,而且、都胜时,、、的分数都比高,因此不能进入前三名。
()胜两名业余选手、
在、、都胜、,而且胜,胜,胜时,、、的分数都比高,因此不能进入前三名。
所以如果只胜两场,那么他不一定能进入前三名。
(二)、如果恰好胜三场,情况比刚才要复杂。
()胜、、。
这时比底分分增加=分,其中又分两种情况:
①如果有一名专业选手,比如,胜其他四人,则比底分增加=分,刚好与的得分相同。
从而、的得分均低于,、两人即使都胜、,他俩比底分增加=分与分,从而必定进入前三名。
②如果每一名专业选手均未全胜其他四人,那么他们的得分都低于,必定进入前三名。
()胜两名专业选手,如、,及一名业余选手,如。
这时比底分分增加分,其中又分多种情况。
如果恰好胜、中的一个,那么在胜、时,的得分比底分增加分,名次在之上。
假设同时、也都胜、,并且胜,胜,那么的得分比底分增加分,的得分比底分增加分,因此、、的排名均在前,即胜场并不能保证他进入前三名。
因为前面已得到胜场并不能保证他进入前三名,所以胜场的其他情况就不需要再讨论。
(三)、如果胜场,分两种情况讨论。
()仅负于一名专业选手,比如,这时比底分增加分,而专业选手、由于被击败,每人至多比底分增加分,名次均在后面。
同时、中至少有一人(、之间的失败者),负的场数多于,从而名次在后面。
所以必定进入前三名。
()仅负于一名业余选手,比如,按()中所说的理由,、、的名次均在后面,所以必定进入前三名。
所以,如果胜场,必定进入前三名。
综上所述,一名业余选手至少要胜场才能保证他必定进入前三名。
评注:
本题也采用了枚举法,可见枚举法是逻辑推理问题中最常用的一种方法。
枚举一定要耐心、仔细。
例袋内有只球,其中红球只、绿球只、黄球只、蓝球只、白球只、黑球只。
任意从袋内摸球,要使一次摸出的球中,一定有只同色的球,那么,从袋内摸出的球的只数至少应是多少?
分析:
如果运气好的话,一下子从袋中摸出的只球中都是红球,或都是绿球,或都是蓝球,问题就解决了。
但是,运气不是一直这样好的,所以要一定有只同色的球,必须从“最坏”处考虑。
解:
从运气“最坏”处考虑。
若一开始只黄球、只白球、只黑球全摸上了,此时已摸出只球,但只同色的球也没摸到。
接下来,又摸出只红球、只绿球、只蓝球,但还是没摸到只同色的球,此时已摸出只球。
接下来再摸出任意一只,就可摸到只同色的球,这样从袋内摸出的球的只数至少应是只。
评注:
本题应用了数学中的极端原理,也就是从问题“最坏”的情况来分析。
例在黑板上写上三个整数,然后将其中一个擦去,换上其他两数的和与的差,将这个过程重复若干次后得到,,.问一开始黑板上写出的是哪三个数?
分析:
按照操作规则,三个整数中擦去一个,换上其他两数的和与的差,若擦去的是三个整数中的较大者,那么这三个整数越来越小,若擦去的是三个整数中的较小者,那么这三个整数越来越大。
现在经过若干次操作后,结果是,,,显然我们要寻找最初最小的三个整数,因而,要擦去的是三个整数中的较大者。
因为题目告诉我们的是最后的结果,所以我们要往前推,寻找擦数的规律。
解:
按照题意,要擦去的是三个整数中的较大者。
因为现在的结果是,,,由于,所以前三数中最大的是,即为(,,)。
根据规则,有,∴
所以又知再前面的三数中最大的是,即(,,),
又根据规则,有∴。
这样,最大的数渐渐变小,直到出现比还小。
接下来,寻找擦数的规律。
设某次操作中的一组数为(,,),且<<<,则,
擦去,则有(,,),此时
这样,经过一次变换后,得()
经过二次变换后,可得(),经过次变换后,可得(),
这说明变换的次数与最大数及最小数有关。
∵(),(),
说明经过次变换后,。
从而可知(,,)是由
(,,)经过次变换后得来的。
现在只要考虑(,,)是怎么样变换得来的。
(,,)(,,)(,,)()()()()()(),则一开始黑板上写的三个数是
评注:
本题是从最后状况去探索初始状况的逻辑推理问题,这是一种逆向思维的方法,关键是找出逆向的规律。
三、巩固练习
选择题
1、某学生在暑假期间观察了天的天气情况,其结果是:
()共有天上午是晴天;()共有天下午是晴天;()下午下雨的那天,上午是晴天;()共下了次雨,在上午或下午,则等于()
、、、、
2、某中学初一年级有个课外兴趣小组,各组人数如下:
组别
人数
一天下午,学校同时举办语文、数学两个讲座。
已知个小组去听讲座,其中,听语文讲座的人数是听数学讲座人数的倍,还剩下一个小组在教室里讨论问题,这一组是()
、第组、第组、第组、第组
、甲、乙两人轮流在黑板上写下不超过的自然数,规定禁止在黑板上写已写过的数的约数,最后不能写的为失败者,如果甲第一个写,那么,甲写数字()时有必胜策略。
、、、、
、有、、、、五位同学一起比赛象棋,每两人之间只比赛一盘,比赛过程中间统计比赛的盘数知赛了盘,赛了盘,赛了盘,赛了盘,那么同学赛了()盘
、、、、
、甲、乙、丙三个人每次从写有整数、、(<<<)三张卡片中摸出一张,并按卡片上的数字取相同数目的石子,放回卡片算做完一次游戏,然后再继续进行。
当它们做了(≥)次游戏后,甲有粒石子,乙有粒石子,丙有粒石子,并且知道最后一次乙摸的是,那么第一次游戏时,摸到的()
、必是甲、必是乙、必是丙、或甲或乙
、体育馆内正在进行一场乒乓球双打比赛,观众议论双方运动员甲、乙、丙、丁的年龄:
()“乙比甲的年龄大”;()“甲比他的伙伴的年龄大”;()“丙比他的两个对手的年龄都大”;()“甲与乙的年龄差距比乙与丙的年龄差距更大些”。
根据这些议论,甲、乙、丙、丁的年龄从大到小的顺序是()
、甲、丙、乙、丁、丙、乙、甲、丁
、乙、甲、丁、丙、乙、丙、甲、丁
填空题
、甲、乙、丙三位老师分别上语文、数学、外语课。
()甲上课全用汉语;()外语老师是一个学生的哥哥;()丙是一个女的,比数学老师年轻。
则甲上课,乙上课,丙上课。
、某楼住着个女孩和个男孩,他们的年龄各不相同,最大的岁,最小的岁。
最大的男孩比最小的女孩大岁,最大的女孩比最小的男孩大岁,那么最大的男孩是
岁。
、甲、乙两人在说李伟和江海的职业。
甲说:
“李伟是演员,江海是教师。
”乙说:
“两人之中一个是演员,另一个是教师。
”已知甲、乙两人中一个说真话,另一个说假话,则李伟是,江海是。
、个男生和个女生一起跳舞,规定男生不和男生跳舞,女生不和女生跳舞,跳舞结束后,各人记得自己跳舞的次数分别为:
,,,,,,,,,,,,,,则其中有人记错吗?
、某参观团根据下列约束条件,从、、、、五个地方选定参观地点:
()若去地,也必须去地;()、两地至少去一地;()、两地只去一地;()、两地都去或都不去;()若去地,、两地也必须去。
则该参观团最多能去的地方是
、将、、、、、、、八个数分成两组,每组个数,并且两组数之和相等。
从组拿一个数到组后,组五个数之和将是组剩下三数之和的倍;从组拿一个数到组后,组剩下三数之和是组五个数之和的
。
则组是
组是
解答题
、在三个盒子里,一只装有两个红球,一只装有两个白球,还有一只装有一个白球一个红球。
现在三个盒子上的标签全贴错了。
你能只从一只盒子里拿出一个球来,就确定这三个盒子里各装的是什么吗?
、甲、乙、丙在南京、苏州、无锡工作,他们的职业分别是工人、农民和教师。
现已知:
()甲不在南京工作;()乙不在苏州工作;()在苏州工作的是工人;()在南京工作的不是教师;()乙不是农民。
问三人各在什么地方工作?
各是什么职业?
、在每星期的七天中,甲在星期一、二、三讲假话,其余四天都讲真话;乙在星期四、五、六讲假话,其余各天都讲真话。
今天甲说:
“昨天是我说谎的日子。
”乙说:
“昨天也是我说谎的日子。
”问今天是星期几?
、今有的方格表,能否在每一格中填入、、这三个数字中的一个,使得各行数字之和,各列数字之和及主对角线上数字之和,副对角线上数字之和均不相等。
、有、、支足球队,每两队都比赛一场。
比赛结果是:
两战两胜,共失球个;共进球个,失球个;有一场踢平,共进球个,失球个。
请写出每场比赛的比分。
、甲、乙、丙三人分糖块,分法如下:
先在三张纸片上各写三个正整数、、,使<<,分糖时,每人抽一张纸片,然后把纸片上的数减去,就是他这一轮分得的糖块数,经过若干轮这种分法后,甲总共得到块糖,乙总共得到块糖,丙总共得到块糖,又知最后一次乙拿到的纸片上写的数是,而丙在各轮中拿到的纸片上写的数字之和是,问:
、、分别是哪三个正整数?
为什么?
、两人做游戏,轮流在的表中画十字和圈。
先开始的人画十字,其对手画圈。
所有方格都画满之后,按如下方式计分:
数出这样的行和列的数目,其中十字多于圈,并将该数作为第一个人的得分,再数出其中圈多于十字的行和列的数目,作为第二个人的得分,以得分多的人为胜,试问,第一个人怎样才能取胜?
、某俱乐部有个成员,他们的名字分别是到。
这些人分为两派,一派人总说实话,另一派人总说谎话。
某日,老师问:
“个人里面,总说谎话的有几个人?
”那天,和休息,余下的个人这样回答:
说:
“有个人。
”
说:
“有个人。
”
说:
“有个人。
”
说:
“有个人。
”
说:
“有个人。
”
说:
“有个人。
”
说:
“有个人。
”
说:
“有个人。
”
说:
“有个人。
”
那么,这个俱乐部的位成员中,总说谎话的有几个人?
个人整理,仅供交流学习
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