《概率论与数理统计》习题三答案解析.docx
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《概率论与数理统计》习题三答案解析
《概率论与数理统计》习题及答案
习题二
1.将一硬币抛掷三次,以X表示在三次中出现正面的次数,以丫表示三次中出现正面次数与
出现反面次数之差的绝对值.试写出X和丫的联合分布律.
【解】X和丫的联合分布律如表:
*
0
1
2
3
1
0
2228
C3^—X—X—=3/8
222
0
3
1
0
0
1111
—
X■—X
8
2228
2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球,在其中任取4只球,以X表示取到黑球的只数,以丫表示取到红球的只数.求X和丫的联合分布律.
【解】X和丫的联合分布律如表:
0
1
2
3
0
0
0
c2Uc2
c3Uc;
c;
-35
c;
-35
1
0
C比LC2
6
c3LJc;LJc;12
c3Uc;
2
c:
"35
c4
"35
c4
"35
2
P(0黑,2红,2白)=
C比上
6
c2Uc2
3
0
cjCC;/c:
=—
c:
"35
c4
—35
35
3.设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为
F(x,y)Jsinxsiny,。
沁兰才gy写L0,其他.
求二维随机变量(X,Y)在长方形域{o I463 .,nnn 【解】如图P{0cx<-—cY<—}公式(3.2) 463 F(n,n)-F(nn-F(o,n+F(o,n 434636 nnn—n厂n厂n =sin—0n——sin—sin—-sin0sin—+sin比sin— 434"636 出(屁1). 4 ⑶P{0 [k(6-X-y),0cXc2,2cyc4, (x,y)=(0,其他. 确定常数 求P{X<1,Yv3};求P{X<1.5}; 求P{X+YW4}. 【解】 (1)由性质有 -be-be24 fff(x,y)dxdy=rrk(6-x-y)dydx=8k=1, ・0・2 1 R=- 8 (2)P{X<1,Yc3} 13 -UUf(x,y)dydx 1313 =0L8k(6_x-y)dydx=8 ⑶P{Xv1.5}=JJf(x,y)dxdy如图aJJf(x,y)dxdy x£5D1 1.54127 =fdxf-(6—x-y)dy=——. 028、”y32 ⑷P{X+Y<4}=fff(x,y)dxdy如图bJJf(x,y)dxdy X-Y 24_x12 =[dxf-(6-X-y)dy=-. 0」283 y, 1.52 fa) 求: (1)X与丫的联合分布密度; (2)P{Y^X}. 题6图 【解】 (1)因X在(0,0.2)上服从均匀分布,所以X的密度函数为 I1 I——,0ex<0.2,fx(X)=\0.2 0,其他. 所以 fY(y)」5尹小 I0, 其他. f(x,yXY独立fxxCfYy() 25e^y, b, 0 (2)P(Y y 0.2x50.25 =f0dx025eydy=Jo(-5e+5)dx -1 =e止0.3679. 7.设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为 「(1—e"x)(1—e'y),xa0,y》。 F(x,y)=\ [0,其他. 求(X,Y)的联合分布密度. 8.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 『4.8y(2-x),0 求边缘概率密度. -be 【解】fx(x)=J*f(x,y)dy fx「2 _IJ4.8y(2—x)dy_J2.4x2(2-X),0 [0,[0,其他. fY(yf(x,y)dx 厂1.2 _! J4.8y(2-x)dx_l2.4y(3-4y+y2),0 =[0,"l0,其他. 题9图 Je二Ocxcy,f(x,y)[0,其他. 求边缘概率密度. fY(yHff(x,y)dx 1 w 0 X 题10图 10.设二维随机变量(X, Y) 的概率密度为 f(X,y)=fCx2y, 10, 兰y兰1, 其他. 【解】 (1) 试确定常数C;求边缘概率密度. JJf(x,y)dxdy如图JJf(x,y)dxdy D 1124 Jdxjcxgy^-cR. 21 c=一. 4 -be fx(x)=,Lcf(x,y)dy 21x2ydy 4 「21 —x2(1-x4),-1 L0, 詔8 L0, 其他. -be fY(yHJf(x,y)dx 11.设随机变量(X,丫)的概率密度为 求条件概率密度fylX(yIX),fxlY(xIy). y=x O 题11图 -be 【解】fx(x)=Jf(x,y)dy 0vxc1, 厂x 其他. If1cy=2x, 10, JJdx=1+y, 1 所以 fY(y)= ff(x,y)dx=«j1dx=1-y, Iy 0 fYix(y|x) f(x,y) fx(x) I0, 『y|z' 其他. fXY(x|y^f^- fY(y) -^,ycxv1, 1-y -^,-ycx<1, 1+y 0, 其他. 12.袋中有五个号码1,2,3,4,5,从中任取三个,记这三个号码中最小的号码为X,最大 的号码为Y. (1)求X与丫的联合概率分布; (2)X与丫是否相互独立? 【解】 (1)X与丫的联合分布律如下表 3 4 5 P{X=Xi} 1 1 1 2 2 3_3 6 c; 一10 cj— 10 £一10 10 2 0 1 1 22 3 CT 10 于W 10 3 0 0 11 1 疋―10 10 P{Y 1 3 6 10 10 10 ⑵因P{X= =1}DP{Y=3}=— 丄 6丰 丄_ P{X=1Y=3}, 10 10 100 10 故X与丫不独立 13.设二维随机变量 (X,Y) 的联合分布律为 .X 2 5 8 Y 、 0.4 0.15 0.30 0.35 0.8 0.05 0.12 0.03 (1): 求关于 X和关于 Y的边缘分布; (2) X与Y是否相互独立? 【解】 (1) X和Y的边缘分布如下表 X 2 5 8 P{Y=yi} Y 0.4 0.15 0.30 0.35 0.8 0.8 0.05 0.12 0.03 0.2 0.2 0.42 0.38 P{X =Xi} (2)因P{X=2}[p{Y=0.4}=0.2x0.8=0.16^0.15=P(X=2,Y=0.4), 故X与丫不独立( 14.设X和丫是两个相互独立的随机变量,X在(0,1)上服从均匀分布,丫的概率密度为 y》0, 其他. 匕e"2 fY(y)=<2 I0, (1)求X和丫的联合概率密度; 试求a有实根的概率. (2)设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0, 题14图 ⑵方程a2+2Xa+Y=0有实根的条件是 2 也=(2X)-4Y>0 P{X2>Y}=JJf(x,y)dxdy x23 r1J1-y/2. =fdx[—edy -0〕02' =1—厉[①⑴―①(0)] =0.1445. 15.设X和丫分别表示两个不同电子器件的寿命(以小时计),并设X和丫相互独立,且服 从同一分布,其概率密度为 f(x)=浮,x>1000, [0,其他. 求Z=X/Y的概率密度. X 【解】如图,Z的分布函数Fz⑵=P{Z (1)当ZWO0寸,Fz(z)=0 (2)当0 z yz 106-beyz106 Fz(z)=JJdxdy=电dy 於Xyz 16.设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从N(160,202)分布.随机地选取4只,求其中没有一只寿命小于180的概率. 【解】设这四只寿命为Xi(i=1,2,3,4),则Xi~N(160,202),从而 P{min(Xi,X2,X3,X4)>180}Xi之间独立P{Xi>180lp{X2>180} P{X3>18O}LP{X4>180} =[1-P{X,<180}]X{ 180}] 「不"80—160=1―① LI20. =[1_① (1)]4=(0.158)4=0.00063. 17.设X,Y是相互独立的随机变量,其分布律分别为 P{X=k}=P(k),k=0,1,2,…,P{Y=r}=q(r),r=0,1,2,…. 证明随机变量Z=X+Y的分布律为 =[1-P{X1C180}]4 i P{Z=i}=Sp(k)q(i—k),i=0,1,2,…. k=0 【证明】因X和丫所有可能值都是非负整数,所以 {z=i}={X+Y=i} ={X=0,Y=i}U[X=1,Y=i—1}U…U{X=i,Y=0} 于是 ii P{Z=i}=2P{X=k,丫二i—k}X,丫相互独立sP{X=k}[P{Y=i—k} kz0 i =送p(k)q(i-k) kz0 18.设X,Y是相互独立的随机变量, 数为2n,P的二项分布. 【证明】方法一: X+Y可能取值为 它们都服从参数为n,p的二项分布证明Z=X+Y服从参 0,1,2,…,2n. k P{X+Y=k}=2: P{X=i,Y=k—i} iz0 p(X=i)[P{Y=k-i} 【解】 (1)P{X=2|Y=2}=P{X=2,Y=2} P{Y=2} (2)P{V=i}=P{max(X,Y)=i}=P{X=i,Y i4i =SP{X=i,Y=k}+2: P{X=k,丫=i},i=0,123,4,5 kz0k=0 ⑶P{U=i}=P{min(X,Y)=i} 12345678 0.020.060.130.190.240.190.120.05 【解】因(X,丫)的联合概率密度为 (1)P{Y>0|Y>X}=P"AOIX} P{Y>X} JJf(x,y)db y^0 _y泮 JJf(x,y)db y> n_R1 fdOI"—rdr_"'0tR 5nR1 r卯一rdr 3/83. 172=4; ⑵P{M》0}=P{max(X,Y)>0}=1-P{max(X,Y)<0} 13 =1-P{X<0,Y<0}=1-JJf(x,y)db=1-—=—. x<44 y0 21.设平面区域D由曲线y=1/x及直线y=0,x=1,x=e所围成,二维随机变量(X,Y)在区域D上服从均匀分布,求(X,丫)关于X的边缘概率密度在x=2处的值为多少? (X,Y)关于X的边缘密度函数为 2 【解】因P{Y=yj}=Pj=送P{X=人,Y=yj}, i# 故P{Y=yi}=P{X=xi,Y=yi}+P{X=X2,Y=yi}, 而X与丫独立,故p{x=Xi}LP{Y=yj}=P{X 11 从而P{X-x^x-=P{X=n,Y=%}=— 624 111 即: P{X=X1}=—/—=—. 2464 又P{X=为}=P{X=心丫=yd+P{X=捲,Y =Xi,Y=yi}, =$2}+P{X=Xi,Y=ys}, 丄+! +p{x二为丫十}, 248I,皿 _1 "3 3 又2P{Y=yj}=1,故P{Y=ys}=1-一j土c 3 同理p{x=x2}=4. 从而 111 P{X=X2,Y=y3}=P{Y=y3}-P{X=X1,Y=y3}=3-12=- y1 y2 y3 P{X=X}=P 1 1 1 1 X1 — — — 24 8 12 4 1 3 1 3 X2 — — — — 八2 8 8 4 4 P{Y=yj}=Pj — — — 1 6 2 3 23.设某班车起点站上客人数X服从参数为XPO)的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率 为P(0 (1)在发 车时有n个乘客的条件下,中途有m人下车的概率; (2)二维随机变量(X,Y)的概率分布. 【解】 (1)P{Y=m|X=n}=cmpm(1-p)nq,O ⑵P{X=n,Y=m}=P{X=n}LIP{Y=m|X=n} =cmpm(1-pr』阳汀,n 24.设随机变量X和丫独立,其中X的概率分布为X~ 12],而丫的概率密度为f(y), 030.7丿 求随机变量U=X+Y的概率密度g(u). U=X+Y的分布函数为 【解】设F(y)是丫的分布函数,则由全概率公式,知 G(u)=P{X+Y =0.3P{Y 由于X和丫独立,可见 G(u)=0.3P{Y =0.3F(u—1)+0.7F(u—2). 由此,得U的概率密度为 g(u)=G'(u)=0.3F'(u-1)+0.7F'(u-2) =0.3f(u-1)+0.7f(u-2). 25.25.设随机变量X与丫相互独立,且均服从区间[0,3]上的均匀分布,求P{max{X,Y}W1}. 解: 因为随即变量服从[0,3]上的均匀分布,于是有 I1 I—,0 f(x,y)=(9'y 10,xc0,y<0,x>3,y>3. 推得 P{max{X,Y}<1}=[. 9 由E(X)=-0.2,可得 £+c=-0.1. 得a+b=0.3. 解以上关于a,b,c的三个方程得 a=02b=0.1,c=0.1. (2)Z的可能取值为-2,-1,0,1,2, P{Z=—2}=P{X=—1,Y=-1}=0.2, P{Z=—1}=P{X=—1,Y=0}+P{X=0,Y=-1}=0.1, P{Z=0}=P{X=—1,Y=1}+P{X=0,Y=0}+P{X=1,Y=-1}=0.3, P{Z=1}=P{X=1,Y=0}+P{X=0,Y=1}=0.3, P{Z=2}=P{X=1,Y=1}=0.1, 即Z的概率分布为 P{X=Z}=P{Y=0}=0.1+b+0.2=0.1+0.1+0.2=0.4. 20.雷达的圆形屏幕半径为R,设目标出现点(X,Y)在屏幕上服从均匀分布 (1)求P{Y>0I丫>X};
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