向量组的线性相关与线性无关.docx
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向量组的线性相关与线性无关
向量组的线性相关与线性无关
1.线性组合
设a
一k2
【备注1】按分块矩阵的运算规则,匕印+k2a2+…+ktat=(a“a2,…,q)亠。
这
+
+
占丿
样的表示是有好处的。
2.线性表示
设aa,gRn,bRn,如果存在匕山,KR,使得
b=Kak2a2-■■■■ktat
则称b可由q,a?
,a线性表示。
k2
b=ki&+k2a2+■■■+k(at,写成矩阵形式,即b=(ai@,■■■©)■。
因此,b可
+
+
由a,a2,…,at线性表示即线性方程组(ai,a2,…,aj«=b有解,而该方程组有解 + + 当且仅当r(q,a2,,at),at,b)。 3.向量组等价 设^包,…,ad,b2,…,bs•Rn,如果^总,…,耳中每一个向量都可以由 匕,鸟,…,bs线性表示,则称向量组a「a2,…,a可以由向量组gp,…,bs线性表示。 如果向量组a,a2,…,at和向量组b|,b2,…,bs可以相互线性表示,则称这两个向 量组是等价的。 向量组等价的性质: (1)自反性任何一个向量组都与自身等价。 ⑵对称性若向量组I与II等价,则向量组II也与I等价。 ⑶传递性若向量组I与II等价,向量组II与III等价,则向量组I与III等价。 证明: 自反性与对称性直接从定义得出。 至于传递性,简单计算即可得到。 设向量组I为矽总,…,ar,向量组II为b,b,…,bs,向量组III为g,q,…,G。 t 向量组II可由III线性表示,假设bj八yqCk,j=12…,s。 向量组I可由向 s 量组II线性表示,假设a「vXjibj,i=1,2,…,r。 因此,j二 sstts a='Xjjbj='Xjiykjck='(.一ykjXji)Ck,i=h2,…,r j1jkakmjT 因此,向量组I可由向量组III线性表示。 向量组II可由I线性表示,III可由II线性表示,按照上述办法再做一次,同样可得出,向量组III可由I线性表示。 因此,向量组I与III等价。 结论成立! 4.线性相关与线性无关 设印心,…,.Rn,如果存在不全为零的数匕也,…,R,使得 则称a「a2,,a线性相关,否则,称a「a2,…,at线性无关 按照线性表示的矩阵记法,a,a2,…,越线性相关即齐次线性方程组 k2 佝旦,…,aj: =0 + 有非零解,当且仅当r(a1,a2^,at) k? (印旦,…,aj+=0 + + 只有零解,当且仅当「(印总,…,越)=t。 特别的,若t=n,则a,⑦,…,a「Rn线性无关当且仅当r(ai,a2,,an)二n, 当且仅当(ai,a2,…,an)可逆,当且仅当(&,a2,…,a*)工0。 例1.单独一个向量a・Rn线性相关即a=0,线性无关即a=0。 因为,若a线性相关,则存在数k=0,使得ka=0,于是a=0。 而若a=0,由于1・a=a=0,1-0因此,a线性相关。 例2.两个向量a,bRn线性相关即它们平行,即其对应分量成比例。 因为,若a,b 线性相关,则存在不全为零的数k1,k2,使得k,a・k2b=0。 k,,k2不全为零,不妨 k 假设匕=0,则a--」b,故a,b平行,即对应分量成比例。 如果a,b平行,不妨 k1 假设存在■,使得a二■b,则a-%b二0,于是a,b线性相关。 上1" 例3. 0线性无关,且任意 x=|x2-R3都可以由其线性表示,且表示 方法唯一。 事实上, X1 - - X +X21+X3 丿b 0 〔1丿 5.线性相关与无关的性质 (1)若一向量组中含有零向量,则其必然线性相关。 证明: 设q,a2,…,q,Rn,其中有一个为零,不妨假设q=0,则 0a10a^"0at10=0 因此,印总,,a线性相关。 (2)若一向量组线性相关,则增添任意多个向量所形成的新向量组仍然线性相关;若一向量组线性无关,则其任意部分向量组仍然线性无关。 证明: 设ai,a2,…,和2…,「Rn,印总,,a线性相关。 存在不全为零的数 k1,k2,,kt,使得 Kak2a2--kta^0 这样, kici]■k? a2Kat■0…i■0■-2■0…s=0 ki,k2,,kt不全为零,因此,ca,…,a.■],-2,…,'s线性相关。 后一个结论是前一个结论的逆否命题,因此也正确。 (3)若一个向量组线性无关,在其中每个向量相同位置之间增添元素,所得到的新向量组仍然线性无关。 证明: 设ai,a2,…,Q•Rn为一组线性无关的向量。 不妨假设新的元素都增加在向量 最后一个分量之后,成为Ci,",…,印,0,鸟,…,bt是同维的列向量。 令 也丿电丿lbt丿 ai k2 a2 kt at ‘匕耳+k2a2+■■峠隔'出E+k? b2+…+kb丿 -0 则k1a1k2a2「一隔=0。 由向量组a^a? ,a线性相关,可以得到&=k2=…=K=0。 结论得证! (4)向量组线性相关当且仅当其中有一个向量可以由其余向量线性表示。 证明: 设a1,a2^,a^Rn为一组向量。 必要性若印厶,…,a线性相关,则存在一组不全为零的数人也,,k,使得 k1a1k2a2g=0 ki,k2,,kt不全为零,设kj=0,则 k-q*…+kj冋-*«护计+…+ktat引一kj 充分性若即a2,…,at中某个向量可以表示成其余向量的线性组合,假设aj 可以表示成a1,…,aj」,aj.<],…,a的线性组合,则存在一组数匕,…,kj」,kj.「…,kt, 使得 引二k-a-%网」•%•Rq 也就是 k-a-■■■'kjjaj二-ajkj-aj-ktat二0 但k1,…,kj二,-1,kj-,…,kt不全为零,因此,a^a? …,at线性无关。 【备注2】请准确理解其意思,是其中某一个向量可以由其余向量线性表示,而不是全部向量都可以。 (5)若a-,a2,,a「 Rn线性无关,bRn,使得a^a? …,q,b线性相关,则b可由 a1,a2,…,q线性表示,且表示方法唯一。 证明: a1,a2,,^,b线性相关,因此,存在不全为零的数匕也,,kt,kt1,使得 Kak2a2「「Ka匕初=0 «1=0,否则&1=0,则k-a我4「飞4=0。 由c,a2,…,a线性无关,我们就得到匕=k2=…=K=0,这样,k「k2,kt,ktd均为零,与其不全为零矛盾! 这样, 匕厲+k2a2+…*+ktat b二 kt1 因此,b可由印总,,a线性表示。 假设b=x^-i-x2a2…「人印二-y2a2…「ytQ,贝U (咅-y-)a-(X2-丫2归2气人-yjq=0 由a1,a2,…,Q线性无关,有x,-y-=X2-y2二…二k-=0,即 xi=%,X2二%,,人二yt 因此,表示法唯一。 【备注3】刚才的证明过程告诉我们,如果向量b可由线性无关向量组ai,…,at线 性表示,则表示法唯一。 事实上,向量b可由线性无关向量组知…,a线性表示, 即线性方程组(◎,…,at)x=b有解。 而q,…,a线性无关,即r(a,,at)二t。 因此, 若有解,当然解唯一,即表示法唯一。 ⑹右线性无关向量组a^a2,…,q可由向量组b|,b2,…,bs线性表示,则t_s。 证明: 假设结论不成立,于是ts。 ai,a2^,at可由0山2,…,bs线性表示。 假设 印=XiibX2ib2x/s=(d,b2,,bs) a2=Xi2biX22b2亠亠Xs2bs=(bi,b2,,bs) 任取ki,k2,…,kt,则 Xii X21 X12 X22 为t X2t 印=冷0+X2Q2+■+Xstbs=(b1,b2,',bs): kiaik? a2Kat=(ai,a2,,aj fki、 * Xi2ill xj k2 -(b1,b2, …,bs) X2i X22川 X2t k2 + + + I a 4 rf ha + + + 4 t 4 Xs2HI Xst」 lkt」 由于 Xu心 X21X22 +4 +4 III川 ■ 1 x1t X2t r I- 为一个SXt阶矩阵,而tAS,因此,方程组 凶Xs2 III xst; ■‘Xii X12 III Xit、 X21 X22 III X2t x=0 + + * ■i 1 ■ ■1 I- rh F 宀1 Xs2 III Xst; 必有非零解,设为k2,于是匕印+k2a2十…宀KQ=0。 因此,存在一组不全为 + + lkt」 零的数《也,…,kt,使得k£i•kza? -十耳=0。 因此,向量组印耳,…,越线性相 关,这与向量组a,a2,…,越线性无关矛盾! 因此,t乞s。 ⑺若两线性无关向量组&月2,…,越和bi,b2,…,bs可以相互线性表示,则t=s。 证明: 由性质⑹,t 【备注4】等价的线性无关向量组所含向量个数一样。 (8)设a,a2,,atRn,P为n阶可逆矩阵,则a「a2,,a线性无关当且仅当 Pd,Pa2,…,Pat线性无关。 b可由印总,…,at线性表示,当且仅当Pb可由 Pq,Pa2,…,Pq线性表示。 若可以线性表示,表示的系数不变。 证明: 由于P可逆,因此 Kak2a2爲爲匕越=0二P(Kak2a2心圧匕越)=0 =ki(Pa)k2(Pa2)飞(PaJ=0 k1a1k2a2囂囂ktat=b=P(k1a1k2a2-囂ktq)=b 二k1(Pa1)k2(Pa2)kt(PQ)二Pb 如此,结论得证! 6.极大线性无关组 定义1设印忌…,q亡Rn,如果存在部分向量组a»,a2,…,air,使得 ⑴线性无关; ⑵ai,a2,…,at中每一个向量都可以由a「ai2,…,a.线性表示; 则称ah,a2,…,a#为印,a? a的极大线性无关组。 【备注5】设q,a2,,atRn,虫,雹,…,虫为其极大线性无关组。 按照定义, a1,a2,•'',at可由a»,ai2,…,air线性表示。 但另一方面,aii,ai2■■,air也显然可以由 a「a2,…,4线性表示。 因此,ai,a2,…,耳与a»,ai2,air等价。 也就是说,任何一个向量组都与其极大线性无关组等价。 向量组的极大线性无关组可能不止一个,但都与原向量组等价,按照向量组等价的传递性,它们彼此之间是等价的,即可以相互线性表示。 它们又都是线性无关的,因此,由之前的性质(7),向量组的任意两个极大线性无关组含有相同的向量个数。 这是一个固定的参数,由向量组本身所决定,与其极大线性无关组的选取无关,我们称其为向量组的秩,即向量组的任何一个极大线性无关组所含的向量个数。 【备注6】按照定义,向量组印82,…,q线性无关,充分必要条件即其秩为to 定义2设q,a2,…,q€Rn,如果其中有r个线性无关的向量aii,ai2^",air,但没有更多的线性无关向量,则称aj%,…,a^为a1,a2^,at的极大线性无关组,而r为ai,a2,…,越的秩。 【备注7】定义2生动地体现了极大线性无关组的意义。 一方面,有r个线性无关的向量,体现了“无关性”,另一方面,没有更多的线性无关向量,又体现了 “极大性”。 【备注8】两个定义之间是等价的。 一方面,如果a「a2,…,a.线性无关,且ai,a2,",at中每一个向量都可以由乳,%,■■■,a-线性表示,那么,印^? …,^就没 有更多的线性无关向量,否则,假设有,设为b,b,…,bs,sr。 b,b,…,bs当然 可以由a」%,…线性表示,且还线性无关,按照性质(6),s兰r,这与假设矛盾! 另一方面,假设aii,ai2,■■■,air为ai,a2,…,at中r个线性无关向量,但没有更多的线性无关向量,任取c,a2,…,a中一个向量,记为b,则印,%,…,%,b线性相关。 按照性质⑸,b可有aii,ai2,■■■,air线性表示(且表示方法唯一)。 【备注9】设向量组ai,a2,…,at的秩为r,则其极大线性无关向量组含有r个向量。 反过来,其中任何r个线性无关向量所成的向量组也是a,a2,…,at的一个极大线 性无关组。 这从定义即可得到。 6.向量组的秩的矩阵的秩的关系 称矩阵A的列向量组的秩为A的列秩,行向量组转置后所得到的列向量组的 秩称为矩阵A的行秩。 定理1任意矩阵的秩等于其行秩等于其列秩。 证明: 设A=(a)Rmn,r(A)=r。 将其按列分块为A=(a「a2,…,an)。 存在m阶 可逆矩阵P,使得PA为行最简形,不妨设为 n 0 III 0 b1,r+1 III b1,n、 1 III ■ 0 ¥ b2,r比 i III b2,n I- PA=(Pai,Pa? …,Pa.)= 4 V 1 R br,r出 III I- br,n 0 0 HI 0 0 III 0 川 III III III III HI HI 3 0 HI 0 0 III 0丿 线性无关,且PA中其余列向量都可以由其线性表示,因此, 为PA的极大线性无关组,其个数为 r,因此,ai,a2<,ar线性无 关,且A中其余列向量均可由其线性表示(且表示的系数不变)。 因此,A的列秩等于A的秩。 bi 将A按行分块,A=;,则N=山4,,因此,按照前面的结论,A的行秩为A的秩,而A的秩等于A的秩。 至此,结论证明完毕! 【备注10]证明的过程其实也给出了求极大线性无关组的方法。 7.扩充定理 定理2设a1,a2^,a^Rn,秩为r,a」%,…,aik为其中的k个线性无关的向量, k …,a的极大线性无关组。 证明: 如果k=r,则ail,a,2,■■■,aik已经是q,a? …,耳的一个极大线性无关组,无须再添加向量。 如果k汀,则即,%,…,qk不是耳包,…,q的一个极大线性无关组,于是,印忌…,a必有元素不能由其线性表示,设为aik+,由性质(5),向量组ai「ai2,…,ak,aik+线性无关。 如果k+^r,则ai「a2,…,aik,ak+已经是印总,…,a的一个极大线性无关组,无须再添加向量。 如果k+Kr,则ail,a2,;aka“不是印忌…,at的一个极大线性无关组,于是,a「a2,…,q必有元素不能由其线性表示,设为ak2,由性质⑸,向量组a」%,81.,萤2线性无关。 同样的过程一直进行下去,直到得到r个线性无关的向量为止。 【备注11】证明的过程其实也给出了求极大线性无关组的方法。 只是,这方法并不好实现。 8.求极大线性无关组并将其余向量由极大线性无关组线性表示 求向量组a,a2,…Q•Rn的极大线性无关组,可以按照下面的办法来实现 ⑴将印总,a合在一起写成一个矩阵A=(a,a2,aj; (2)将A通过初等行变换化成行阶梯形或者行最简形,不妨设化得的行阶形为 '01 b12 III九 b1,r卅111 b! n' 0 + b22 IIIb2r k4 b2,r+HI “』・・ b2,n i At + 0 0 44 IIIbrr ■1 br,卄III 4 br,n =B,I *M0,i=1,2,…,r,r=r(A) 0 + 0 III0 ・・・■* 0III ■*・ 0 i + <0 0 ■1 III0 4 0III i 0」 ⑶在上半部分找出r个线性无关的列向量,设为ji,j2,…,jr列,则jl,j2,…,jr为B列向量组的极大线性线性无关组,也是A列向量组的极大线性线性无关组,也就是a1,a2^at的极大线性无关组。 为了在上半部分寻找r个线性无关向量,必须且仅须在上半部分寻找r阶的非奇异子矩阵。 r阶非奇异子矩阵的列向量组线性无关。 显而易见,上面矩阵第1到第r列即向量组的一个极大线性无关组。 其余情形同理。 (4)将其余向量组表示为极大线性无关组的线性组合。 这时候得解方程组。 我们将矩阵化为行最简形,则一步就很容易完成了。 不妨设行最简形为 广1 0 + 0 1 HI III 卜 0 0 D,r申b2,r申 i III III b\n、b2,n 1- At + 0 0 ■ III 1 片 br,r III I- br,n =B 0 + 0 III 0 4 0 i III 0 b + <0 0 III q 0 0 III b 0」 在B中第1到第r列为列向量组的极大线性无关组,而其余向量表示成其线性组合也非常容易,表示系数即对应的分量。 于是,在A中,第1到第r列为列向量组的极大线性无关组,其余向量表示为该极大线性无关组的线性组合,表示系数与B中的一致。 我们的理论依据是性质(8)。 2-1-112、 11-214 例4.设矩阵A=1'2'4,求A的列向量组的一个极大线性无关组, 4-62-24 Q6-979」 并把不属于极大线性无关组的列向量用极大线性无关组线性表示。 【解答】记A工佝总厶耳旦), 2 -1 -1 1 2' 1 1 -2 1 4、 r_2r 1 1 -2 1 4、 A= 1 1 -2 1 4 r1T2 2 -1 -1 1 2 l^2l1 r3-4«1 0 -3 3 -1 -6 T —> 4 -6 2 -2 4 4 -6 2 -2 4 r4_3r1 0 -10 10 -6 -12 6 -9 7 9> <3 6 -9 7 9> <0 3 -3 4 —3」 2$同1r310_;7*b巾… 0 1 -1 1 3 2 0 0 0 8 3 8 2 0 0 3 —9」 3 「3J) 8 T 「4Ag Fl 0 0 1° 0 1 0 0 -1 0 0 04 03 1-3 00 a1,a2,a4,a3=-旦一a2, 因此,A的列向量的一个极大线性无关组为a^=4a〔3a2—3a3。
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