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第二章判断题
1.若f(z)在z0的某个邻域内可导,则函数f(z)在z0解析.()错
2.若函数f(z)在z0可导,则f(z)在z0解析.()错
3.若f(z)在区域D内解析,则|f(z)|也在D内解析.()错
4若函数在解析,则在连续.()√
5.若f(z)在z0解析,则f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件.()√
6.若函数f(z)在区域D内解析且,则f(z)在D内恒为常数.()√
7、若函数在解析,则在的某个邻域内可导.()√
8.若函数f(z)在区域D内的解析,且在D内某个圆内恒为常数,则在区域D内恒等于常数.()√
9.设函数在复平面上解析,若它有界,则必为常数.()√
10、若函数是单连通区域内的解析函数,则它在内有任意阶导数.()√
11.函数在复平面上处处可微。
()×
12、若函数在内连续,则与都在内连续.()√
13cosz与sinz的周期均为.()×
14.函数与在整个复平面内有界.()×
15、与均为单值函数。
(对)
16、与均为无界函数。
(对)
17、如果为解析函数,则的共轭调和函数(√)
18、一对共轭调和函数的乘积仍为调和函数(√)
19若函数在处满足Caychy-Riemann条件,则在解析.()×
20、(错)
21、(错)
22、的各分支在除去原点及负实轴的平面内解析,并且有相同的导数值(对)
23、指数函数在整个复平面内有定义并且解析。
对
24、对数函数是单值函数。
错
25、由于对数函数的多值性,幂函数一般是一个多值函数。
对
26、幂函数是一个多值函数。
错
27、当是正整数时,幂函数是一个单值函数。
对
28、复变函数在区域D内解析的充要条件是区域D内,的虚部是实部的共轭调和函数。
(对)
29、复变函数在区域D内解析的充要条件是区域D内,的实部是虚部的共轭调和函数。
(错)
30指数函数是周期为得周期函数。
对
31.的周期是(×)
32在复平面上处处不解析(√)
33.在处解析(×)
34.对于,只要,必有(×)
35.由,可得(×)
第二章填空题
1、如果在及的某个邻域内处处可导,则称在处(解析)。
2、设函数f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)在点可导的充要条件是u(x,y)和v(x,y)在点(x,y)处(可微),且满足柯西-黎曼方程。
3、设函数f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析的充要条件是u(x,y)和v(x,y)在D内处处(可微),且满足柯西-黎曼方程。
4、对数函数的定义域为(整个复平面去掉原点),是一个多值解析函数。
5.若,则
6若,则
7若,则
8函数ez的周期为__________.,.
9的周期为_______________________.
10公式称为_____________________.欧拉公式
11.设,则___________________.
12=
13计算=
14
第二章选择题
1.函数在点则称在点解析。
C
A)连续B)可导C)可微D)某一邻域内可微
2.函数在点的条件指:
D
A)B)
C)D)
3.一般幂函数是函数D
A)单值B)有限的多值C)无限多值D)以上都不对
4.复数,其幅角主值D
A)B)C)D)0
5.下列说法正确的是()A
若函数在处有导数,那么在一定连续
若函数在处连续,那么在有导数
若函数在处有导数,那么在解析
在解析
6.下列说法正确的是(A)
(A)若函数在有导数,那么在一定连续
(B)若函数在有连续,那么在一定可导
(C)若函数在有导数,那么在一定解析
(D)在解析
7.下列函数在整个复平面内不是解析函数的是(C)
(A)(B)(C)(D)
8下列函数不是多值函数的是(C)(本题2分)
(A)(B)(C)(D)
9下列函数不是多值函数的是(A)
(A)(B)(C)(D)
10由柯西-黎曼条件,下列函数在复平面上不解析的是(D)
(A)(B)(C)(D)
11.下面关于函数解析的结论错误的是(A)
(A)在解析。
(B)在除了的点都解析。
(C)在复平面上处处不解析。
(D)在复平面上处处解析。
12、函数(B)
A.处处可导;B.仅在上可导;C.处处不可导.
13、设,则(B)
A.;B.;C..
第二章计算题
1.由求解析函数
解:
容易验证是全平面上的调和函数,利用C-R条件,先求出的两个偏导数
则
所以,
又因为,所以
结果得到
2、由,求解析函数。
解:
因=3,所以
=
又,而,所以,
则.故=+
=
=+C
3由,求解析函数。
解:
因=2,=,由解析,有
.又,而
所以,,则,故
4由求解析函数。
解:
因,由的解析性,有,
,又,而,
所以,则,故,由得
推出C=0,即
=
5、由,求解析函数。
解:
因,
由的解析性,有,
则+C=
=
故由知C=0,即
6、已知调和函数,求函数,使函数解析且满足.
解:
(1)由,有
,
由,有,
,
即得,
;
(2)由,
故
.
7、设,问在何处可导?
何处解析?
并在可导处求出导数值.
解:
均连续,要满足条件,必须要
成立
即仅当和时才成立,所以函数处处不解析;
8、设求,使得为解析函数,且满足。
其中(为复平面内的区域).
解:
,
故,
9.设。
求,使得为解析函数,且满足.其中(为复平面内的区域).
解:
.
又
.
故.
10设,验证是调和函数,并求解析函数,使之.
解:
是调和函数.
11设a、b是实数,函数在复平面解析,则分别求a、b之值,并求.
解:
是复平面上的解析函数,则在平面上满足C—R方程,即:
故对成立,
12已知,试确定解析函数:
解:
由得
=
两式相加并结合条件得:
从而
故
13求解析函数,已知
解易验证是全平面上的调和函数。
利用条件,先求出的两个偏导数
则
所以
又因为,所以,结果得到
14已知一调和函数,求一解析函数使。
解因为
得
由,得
故,因此
从而
=
即
由,得,故所求的解析函数为
15求满足下列条件的解析函数
解
由已知
第二章证明题
1、若函数在区域D内解析,并满足在D内解析;试证必为常数。
证因为在区域D内解析,所以满足C-R条件
=,=—,=也在D中解析,也满足C-R条件
=,=—从而应有====0恒成立,故在D中为常数,为常数。
2、若函数在区域D内解析,并满足;试证必为常数。
(2)因在D中解析且有,由C-R条件,有
则可推出即。
故必为D中常数
3、若函数在区域D内解析,并满足在D内为常数;试证必为常数。
证明设,由条件知,从而求导得
或化简,利用C-R条件得
所以==0,同理==0,即在D中在D内为常数。
4、若函数在区域D内解析,并满足(为不全为零的实常数);试证必为常数。
证明设求导得,
由C-R条件,故必为常数,即在D中为常数。
设知为常数,又由C-R条件知也必为常数,所以在D中为常数。
5、设在区域D内解析,试证(=4
证明:
设=,=+
而=+
=2,
又解析,则实部及虚部均为调和函数,故
=0,=0.
则==4
6、试证C-R方程的极坐标形式为,,并且有
7、试证,都是调和函数,但不是解析函数。
证明:
因,,则,
故是调和函数,又,
,,则+,
故是调和函数,但,故不是解析函数
8、如果是一解析函数,试证:
也是解析函数。
证明:
因解析,则,,且均可微,从而也可微,而,又,。
即也是解析函数。
*9设,验证是调和函数,并求解析函数,使之.
解:
由,有
故是调和函数。
10验证是z平面上的调和函数,并求以为实部的解析函数,使.
解:
(1)故是调和函数。
(2)利用C—R条件,先求出的两个偏导数。
则
由
故
11验证是一调和函数,并构造解析函数满足条件.
证明由,故为调和函数。
,
由于,得(9分),
12.函数在区域内解析.证明:
如果在内为常数,那么它在内为常数.
证明设在内.
令.
两边分别对求偏导数,得
因为函数在内解析,所以.代入
(2)则上述方程组变为
.消去得,.
若,则为常数.
若,由方程
(1)
(2)及方程有,.
所以.(为常数).
所以为常数.
13.设函数f(z)在区域D内解析,试证:
f(z)在D内为常数的充要条件是在D内解析.
证明(必要性)令,则.(为实常数).
令.则.
即满足,且连续,故在内解析.
(充分性)令,则,
因为与在内解析,所以
且.
比较等式两边得.从而在内均为常数,故在内为常数.
14证明函数除去在外,处处不可微.
证明因为,故.
这四个偏导数在平面上处处连续,但只在处满足条件,故只在除了外处处不可微.
15若函数在区域内解析,等于常数,则在恒等于常数.
证明:
设,则,由于在内解析,因此有,.
于是故,即在内恒为常数.
16、若函数在区域内连续,则二元函数与都在内连续.
证明:
因为,在内连续,所以,
当时有
从而有
即与在连续,由的任意性知与都在内连续
17证明:
函数在点可导,且导数等于0。
证
当时,,故在可导,且导数等于0。
18设证明在全平面处处没有导数。
证因为对任意
考虑在直线上,上式恒等于0
在直线上上式恒等于1
故不存在,即不可导,再由的任意性知在全平面处处没有导数。
19.设,证明:
证明:
因为
而,则
故
所以
20.设函数在区域内解析,且或在区域内为常数,则在内为常数
证明:
令,则由条件得(常数)
故
由于在内解析,可得
因此,(常数)
所以,为常数.
同样可证,当时,在内为常数。
21设,试证在处不连续。
证明:
即当沿不同的曲线趋向于时,上述极限值不同。
故上述极限不存在。
即在
不连续。
22验证是调和函数,求以为实部的解析函数,使之适合.
解由
.
故而由的二阶偏导显然连续。
故为调和函数。
由,得
,
。
所以,即。
因此
因而得到一个解析函数
因为故=1.所以
23如果在区域内解析,而且满足常数,则在为常数。
证由=常数,故。
由方程知,从而为常数。
24如果在区域内解析,而且满足为常数。
,则在为常数。
证常数,分别对求偏导数得
,,
由方程得
,,
所以,
当时,,故,因而得证。
当时,,故常数,再由
(2)知在内为常数。
&25证明:
若函数在上半平面解析,那么函数在下半平面解析。
证明:
设在下半平面任取一点,是下半平面内的异于的点,则由得:
其中,在上半平面内,由于在上半平面内解析,因此有,故在下半平面内解析。
26证明:
函数在复平面内处处不解析。
解由且
故不满足条件,从而在复平面内处处不可导,即处处不解析。
27证明函数的解析性并求。
解由且
从而满足条件,而且上面四个一阶偏导均连续,故在复平面内处处可导,故也处处解析。
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