版高中数学苏教版必修一学案221 函数的单调性二.docx
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版高中数学苏教版必修一学案221函数的单调性二
2.2.1 函数的单调性
(二)
学习目标
1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.会借助单调性求最值.3.掌握求二次函数在闭区间上的最值.
知识点一 函数的最大(小)值
思考 在如图表示的函数中,最大的函数值和最小的函数值分别是多少?
1为什么不是最小值?
梳理 设y=f(x)的定义域为A.
如果存在x0∈A,使得对于任意的x∈A,都有f(x)≤f(x0),那么称f(x0)为y=f(x)的最大值,记为ymax=f(x0).
如果存在x0∈A,使得对于任意的x∈A,都有f(x)≥f(x0),那么称f(x0)为y=f(x)的最小值,记为ymin=f(x0).
知识点二 函数的最大(小)值的几何意义
思考 函数y=x2,x∈[-1,1]的图象如下:
试指出函数的最大值、最小值和相应的x的值.
梳理 函数最大值对应图象中的最高点,最小值对应图象中的最低点.
知识点三 函数的单调性与最值
若函数y=f(x)在区间[a,b]上是单调增函数,则函数的最小值为ymin=f(a),最大值为ymax=f(b);若函数y=f(x)在区间[a,b]上是单调减函数,则函数的最小值为ymin=f(b),最大值为ymax=f(a).即单调函数在闭区间上必有最大值、最小值.
类型一 借助单调性求最值
例1 已知函数f(x)=
(x>0),求函数的最大值和最小值.
反思与感悟
(1)若函数y=f(x)在区间[a,b]上为单调增函数,则f(x)的最大值为f(b),最小值为f(a).
(2)若函数y=f(x)在区间[a,b]上为单调减函数,则f(x)的最大值为f(a),最小值为f(b).
(3)若函数y=f(x)有多个单调区间,那就先求出各区间上的最值,再从各区间的最值中决出最大(小).函数的最大(小)值是整个值域范围内最大(小)的.
(4)如果函数定义域为开区间,则不但要考虑函数在该区间上的单调性,还要考虑端点处的函数值或者发展趋势.
跟踪训练1 已知函数f(x)=|x+1|+|x-1|.
(1)画出f(x)的图象;
(2)根据图象写出f(x)的最小值.
类型二 求二次函数的最值
例2
(1)已知函数f(x)=x2-2x-3,若x∈[0,2],求函数f(x)的最值;
(2)已知函数f(x)=x2-2x-3,若x∈[t,t+2],求函数f(x)的最值;
(3)已知函数f(x)=x-2
-3,求函数f(x)的最值;
(4)“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度hm与时间ts之间的关系为h(t)=-4.9t2+14.7t+18,那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻?
这时距地面的高度是多少(精确到1m)?
反思与感悟
(1)二次函数在指定区间上的最值与二次函数的开口、对称轴有关,求解时要注意这两个因素.
(2)图象直观,便于分析、理解;配方法说理更严谨,一般用于解答题.
跟踪训练2
(1)已知函数f(x)=x4-2x2-3,求函数f(x)的最值;
(2)求二次函数f(x)=x2-2ax+2在[2,4]上的最小值;
(3)如图,某地要修建一个圆形的喷水池,水流在各个方向上以相同的抛物线路径落下,以水池的中央为坐标原点,水平方向为x轴、竖直方向为y轴建立平面直角坐标系.那么水流喷出的高度h(单位:
m)与水平距离x(单位:
m)之间的函数关系式为h=-x2+2x+
,x∈[0,
],求水流喷出的高度h的最大值是多少?
类型三 函数最值的应用
例3 已知x2-x+a>0对任意x∈(0,+∞)恒成立,求实数a的取值范围.
引申探究
若将本例中“x∈(0,+∞)”改为“x∈(
,+∞)”,再求a的取值范围.
反思与感悟 恒成立的不等式问题,任意x∈D,f(x)>a恒成立,一般转化为最值问题:
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