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数学教育学
20世纪数学课程的两次大的改革运动
19世纪末,社会生产和科学技术飞速发展,许多国家都发现中学数学教学的内容和方法不能适应那个时代的科学和生活的需要,不能适应数学发展的要求。
为了解决这个问题,出现了改革数学教学的运动。
这些运动几乎席卷了所有的发达国家。
概括地说,主要有数学教育近代化运动和数学教育现代化运动。
下面分别作一简单介绍。
一、数学教育近代化运动(克莱因—贝利运动)
1900年,英国皇家理科大学教授、工程师贝利(1850—1920)针对当时英国数学教育忽视实际应用的弊病,在他著名的讲演《数学的教学》中,强调了数学的实用价值。
提出数学教育的目的,要强调应用。
在1899年,出现了第一份专门研究数学教育问题的国际杂志,叫《数学教学》。
1904年,在布列斯拉维尔一次会议上,德国著名几何学家F。
克莱因做了一个报告,题为《关于数学和物理教学的问题》。
他提出:
数学教育应该强调三点:
(1)提倡数学理论应用于实际;
(2)教材内容应以函数概念为中心;(3)应该运用教育学、心理学的观点来指导教学活动。
可以说,克莱因的这些意见,是那一个时代数学教育界里主要的新见解的综合和发展。
他把大家的看法,从数学教育的目的、内容和教育理论这三个方面概括成上述主张。
1908年4月,在罗马召开的第四次国际数学家会议(ICM)决定,成立国际数学教育委员会(ICMI),领导数学科学教育活动,设计发展数学教育的方案。
第一任主席就是克莱因。
这个委员会,就中小学数学教育应如何改革的问题,提出以下基本方向:
小学:
(1)提高几何在小学算术课程中的作用;
(2)改变教科书中应用题的性质(使应用题的内容更紧密地联系周围实际情况);(#)提高算术教学中直观性的作用,等等。
中学:
(1)在算术、代数、几何和三角之间建立紧密的联系,同时在数学课和物理课之间建立联系;
(2)在中学数学课程中增加高等数学的基础知识,加强初等数学和高等数学之间的联系;(3)在中学数学课程中加强下列主导思想的作用:
函数在算术和代数中的作用,运动在几何中的作用,等等;(4)改变教科书中应用题的性质和解法(加强分析和综合的作用);(5)在数学教学中更广泛地应用探索法,等等。
可以看出,克莱因的“三点意见”和ICMI的“基本方向“是基本一致的。
他们反映和表达了当时数学教育界的共同的先进认识,是改革的主流思想。
由于那时数学教育的改革,并没有得到许多国家的承认和支持,因此,改革主要靠个别热心的数学教育家的工作去推动,还不能深入到广大的中小学里去。
而且,两次世界大战,也使数学教育的改革受到挫折。
所以,这个时代的数学教育改革的主流思想,在全世界范围,并没能造成广泛的影响,形成巨大的改革洪流。
这个历史时期的数学教育研究的特点是,由简单的方法研究转到对目的和内容作较全面的探讨。
这是一个巨大的进步。
从数学教育理论的观点来看,可以把这个时代叫做“数学教育理论的研究时代“。
二、数学教育现代化运动(“新数”运动)
上世纪60年代初,在以美国为首的许多国家中积极地开展了中学数学教育现代化的实验,一时出现了许多新大纲、新教材、新方法,种类很多,各有特色。
他们的共同特点和所追求的目标是:
(1)结构化—统一化。
以集合—关系—映射—运算—群—环—域—向量空间的代数结构为主轴,把中学数学内容统一起来。
这是布尔巴基学派结构主义思想的反映;
(2)公理化—抽象化。
把集合论初步和几何公理化引入教材。
这是近代数学科学发展的共同趋势在中学数学教育中的反映;
(3)现代化—通俗化。
大量收入现代数学内容和数学符号;利用生活现象为模型,帮助学生理解;
(4)几何代数化。
打破欧几里德几何体系,轻视几何、重视代数,用各种方式取代欧氏几何;
(5)电脑化—离散化。
普及计算器,与数值分析、概率统计及各种函数的学习相结合,使数学教学出现新的面貌;
(6)传统数学精简化。
增加近、现代数学知识、观点和方法,精简传统内容。
几何被精简的最多,其次是开方、根式、无理式、无理函数和三角方程等;
(7)教学方法多样化。
研究电化教学、程序教学和个体教学,提倡发现法。
教学方法趋向多样化。
经过十多年的实践,人们发现学习“新数”的学生的计算能力和几何直观都很差,毕业生无法就业或升学都有困难,甚至不能用学得的知识去解决日常生活中的常见问题。
美国教授M。
克莱因1973年出了一本书《为什么庄尼不懂加法—新数的失败》,分析了“新数”失败的原因,提出了自己对数学教育改革的意见。
就在同一年,荷兰数学家弗赖登塔尔教授也出版了一本书《作为教育任务的数学》,对“旧数”和“新数”的优缺点作了对比分析。
因此,到了70年代后期,对数学教育的内容和方法又做了调整,总的趋势有以下几点:
(1)回到基础;
(2)强调数学的应用;(3)“恢复几何”;(4)肯定和加强概率、统计;(5)提倡搞点“趣味数学”,克服“新数”那种呆板枯燥的形象;(6)适当采用现代数学的概念、术语和符号。
。
。
。
。
。
80年代的数学教育处于一个深入探索、加紧实验的阶段。
几届ICMI会议都把数学课程改革作为中心议题之一,提出了许多有价值的见解,取得了许多有益的成果,为探索面向新世纪的数学课程指明了方向回到基础”教育运动
文章编辑时间:
2010-10-1415:
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“回到基础”教育运动:
70年代特别是70年代后半期,美国中小学教育中占主导地位的特点,既不是五六十年代所大力提倡的“新三艺”--数学、科学和外语的教学,也不是生计教育,而是“回到基础”教育运动。
有人将这个运动称为美国二战后的第二次教育改革。
1976年,美国开始提出了“回到基础学科”教育的要求。
在当时的基础教育委员会的推动下,当年即有50所学校进行回到基础学科的实践。
此后逐渐波及全国,形成回到基础学科教育的运动。
尽管有些地区大张旗鼓,有些地方声势不大,但从许多州先后制定的有关法案和实施情况来看,这一运动还是有较大规模和影响的。
这个运动,在全国各地开展的具体形式和要求不完全一样,但其目的和内容可以概括为如下几点:
1.小学阶段,强调阅读、写作和算术教学,要求将精力集中于这些方面的基本技能训练上。
2.中学阶段,把英语、自然科学、数学和历史的教学置于重要地位。
3.教师要在学校教育的一切阶段起主导作用,“不得有任何由学生自主的活动”。
4.教学方法要包括练习、背诵、日常家庭作业以及经常性测验等。
5.成绩卡要用传统的等第评分法(如A、B、C)或百分制记分法,并定期发给学生。
6.加强纪律管束,规定学生的服装和发型,甚至允许体罚。
7.经过考试证明学生确已掌握所要求的基本技能和知识后,方可升级或毕业;取消只凭学满课程所要求的时间就给予升级和毕业的做法。
8.取消选修课,增加必修课。
9.取消一切点缀性课程,如泥塑、编织、做布娃娃等,这些应利用课外时间进行。
10.取缔教育“新招”,如所谓“新数学”、“新科学”、电子玩艺教学等。
11.取消学校的“社会服务性项目”(包括性教育、驾驶指导、吸毒教育等),因为这些占去基础课程的学习时间。
12.重新列入爱国主义教育对于上述目的和内容,有的教育研究者认为,其核。
新课程理念与初中数学课程改革
专题二
把握世界数学课程发展的脉搏
数学课程改革是数学教育改革的焦点.数学课程改革涉及的主要问题包括“教什么”和“怎样教”的问题,这些问题一直是国际范围内数学课程改革的主题.无论20世纪初的数学近代化运动,20世纪50年代的“新数学”运动,以及20世纪80年代至90年代各国纷纷提出的面向新世纪的数学课程标准等,莫不如此.美国的2000年数学课程,英国1996年修订的国家数学课程,日本1998年修订的数学课程标准,荷兰1998年修订的新数学课程标准,新加坡2000年修订的新数学课程标准等,都体现了数学课程在数学教育中的核心地位.本章将围绕这几个国家的数学课程标准、教材及其特点作一些分析和概述,以把握世界数学课程发展的脉搏,为我国正在蓬勃开展的新一轮数学课程改革提供有益的借鉴和参考,参与数学课程改革须要开阔的视野,广大教师从世界的角度审视我国的《标准》,有助于《标准》的贯彻与实施.
1.1国外数学课程标准简介
限于篇幅,以下的介绍都是比较简略的
一、改革迭起——美国数学课程标准
美国是由51个州所组成的一个联邦国家,各州的学制、课程设置完全是由各州自行管理.20世纪50年代以来,美国数学教育改革迭起,仅重大的改革就有3次之多,可以说一直处于摇摆多变的改革之中.如20世纪50年代的“新数”运动,70年代的“恢复基础”运动,以及20世纪80年代以来掀起的数学课程的“标准”运动,都反映出美国数学教育多变的特点.上回我们以美国2000年颁布的数学课程标准(以下简称美国《标准》)为例作一些简单的介绍和分析.
美国《标准》主要包括两部分内容,即学校教学计划的六条指导性原则和数学课程的十条标准.具体内容如下.
(一)六条指导性厚则
美国《标准》中学校数学教学计划的六条原则是:
平等原则、数学课程原则、数学教学原则、学习原则、评价原则和技术原则.
平等原则的主旨是数学教育应该面向所有的学生,这也是民主社会的一个基本的要求,数学课程原则是要求数学课程的内容应该有意义,应该具有连贯性和综合性.这种有意义主要体现在对学生将来的数学学习有用,并能激发学生学习的兴趣.连贯性主要是要求整体内容要上下连贯,要求课堂教学中重视学生学习知识的过程.综合性要求基本的概念、知识与过程性的能力应当综合,此外它还体现在数学的实践上,使学生了解数学与社会的联系.
数学教学原则强调教师应当认真分析学生的特点和教材的内容,认真备课,创造一个积极的课堂气氛使学生树立学好数学的信心,通过采用“谈话法”使学生能够积极参与数学的学习.
数学学习原则主要是使所有的学生能够理解和应用数学.
评价原则的目的要有助于促进教师的教和学生的学.评价的内容是强调评价主体的多样化.
技术原则强调利用技术来理解和应用数学.
(二)十条标准
《标准》按照内容和过程的顺序给出了十条数学课程标准.前五条是知识性标准,后五条是过程性(或发展性)标准.由此不难看到过程性内容在新的标准中得到了更多的重视.
标准1:
数与运算.主要是理解数与数之间的关系,理解运算的意义以及恰当地选择计算工具
标准2:
模式、函数与代数.主要要求理解模式、函数与代数的意义,并能够表达和应用.
标准3:
几何与空间意识.强调直觉推理、变换和对称在数学中的应用,理解二维和三维空间的特征,并会表示.
标准4:
测量.理解测量的性质、单位的意义以及学会恰当地选择测量工具.
标准5:
数据分析、统计与概率.收集、分析和应用数据.理解概率符号所代表的意义.
标准6:
问题解决.对数学和其他学科中的问题进行抽象、表示和解决,在解决问题的过程中形成新的数学知识。
学会用不问的策略解决问题,并能进行反思.
标准7:
推理与证明.体会推理与证明的意义和作用,尝试提出数学猜想.选择多种推理的途径和证明的方法.
标准8:
交流.使数学思想得到组织和完善,并能连贯、严谨地表达.在交流中吸取他人的长处和经验来优化自己的解决问题策略.
标准9;联系.不同数学思想之间的联系与统一,数学与其他领域的联系.
标准10:
表示领会表示在交流数学思想、解释物理、社会和数学现象的作用,并形成应用多种表示的能力.
总之.美国《标准》在课程目的上强调全员性和高标准,在课程内容上强调严格件、连贯性和综合性,在教学L强调校索性,在学习上把理解置于首位.
二、以水平为标志——英国数学课程标准
英国自1988年建立国家课程以来,根据各校实施的情况,同家分别于1991年和1995年进行了两次修改.以下介绍的课程是他们1995年修订的国家数学课程.
英国国家数学课程由学习大纲和教学目标两部分组成.其中教学目标按照五个知识展开,学习大纲则按照学生在知识和能力方面的发展被划分为八个水平.对于每个水平的学习要求.国家数学课程作了明确规定.
学习大纲和教学目标是国家数学课程的两条主线,在阐述大纲时,围绕着教学目标,按照不同的学段,对每个不同的知识块提出不同的学习要求;在阐述教学目标时,又根据学生在数学上的不同发展水平分别提出要求.英国数学课程可以比喻为一个二维坐标结构的形式,
英国国家数学课程把义务教育年限分为四个中涉及初十阶段的是KS3和KS4.如表1
表1 初中阶段的学习水平
学段 年级 年龄 中国对比年级 期望学习水平
Ks3 7-9 11—14岁 小六—初中二 水平3-7
Ks4 10-11 14---16岁 初中三-高中一 水平8或更高
按照国家数学课程,数学教学目标分别根据五个知识给予叙述,不同的学段涉及不同的知识块如表2
目标
要点
涉及的学段
1、运用和应用数学
应用
数学交流
推理、逻辑和证明
学段1-4
2、数
数的知识和应用
估计和近似
度量
学段1-4
3、代数0
模式与关生活费
公式方程与不等式
图像表示
学段3-4
4图形空间和度量
图形
位置
移动
度量
学段1-4
5、数据处理
数据收集与处理数据表示与解释概率
学段2-4
从上面的表中,我们可以看出英国的数学课程标准的内容有这样几个特点:
(1)在教学目标的5个知识块中,有4项是属于知识性的而运用和应用数学则是属于过程性的。
(2)在学习目标中,强调数学交流,是强调学生参与的调查与部问题解决。
(3)强调学生的计算能力,发展学生的多种算法
三、十年一改——日本的数学课程标准
日本的基础教育课程差不多是以十年为周期的滚动式发展日本文部省在1998年12月发布2002年开始实施的,第六次中、小学学习指导要领,要领体现了日本这一轮数学课程改革的特点.
新学习指导要领简介
1、数学课程的目标
使学生加深理解有关数、量和图形的基本概念、原理规则;获得数学地表达和处理问题方式,促进数学地思考问题能力;以及帮助学生欣赏数学地观察和思考的方式,进而培养学生愿意应用数学的态度.
2.数学课程的内容
主要包括:
数与代数;几何图形;数量关系.具体内容如下:
数与代数
(1) 正、负数,及它们的四则计算.理解正数的平方根,开会使用;
(2) 代数式的意义、表达及其四则运算.能进行简单式子的变形;
(3)理解一元一次方程、一元一次方程组、一元二次(方程的意义、解法及其应用;
(4) 能进行多项式的展开和因式分解,根据不同的门的进行变形.
几何图形
(1)轴对称、小心对称等对称性;角的平分线、线段的垂直平分线、垂线等基本的作图方法
(2)平行线、角的性质;
(3)三角形角的性质;
(4)理解证明的意义和方法,理解三角形的全等条件,以此为基础,有逻辑地确认三角形和平行四边形的性质;
(5)通过观察和实验,发现圆心角与圆周角的关系,知道能用逻辑的方法确认;
(6)二角形相似条件,平行线线段比的性质;
(7)勾股定理及其证明;
(8)空间图形的直线、平面的位置关系,能够由直线、平面的运动构成空间图形;能在平向上表现空间图形会求扇形的弧长、面积及基本柱体、锥体的表面积和体积.
数量关系
(1)两个量的对应、变化;正比例、反比例的关系、坐标的意义;
(2)一次函数式、图像及应用;
(3)理解用概率表达的不确定事件发生的可能性及求简单场合的概率;
(4)函数y=ax*x图像的特征及取不同的函数值比率的变化,
(二)新学习要领的特点
与以往的学习要领相比,1998年的学习要领有这样几个特点:
1、精简学习内容
中学里削减代数式的计算.同时一部分内容移到了高中.如:
一元一次不等式、三角形的重心、资料的整理、一元二次方程的解的公式、弦切角定理等一部分圆的性质各种各样的事物和函数、样本调查等.此外还删除了截断立方体后的几何图形、数的表示
2.体现学生个性化的数学学习
为了发展学生的个性,该指导要领扩大了选修课的幅度.
选修课课时 综合学习课时 合计课时
第1学年 0—30 70--100 100
第2学年 50--85 70--105 155
第3学年 105-165 70--130 235
学生选修课只限于各个学科内部,课题涉猎下列几个方面:
探究数学的某个内容.如圆、素数等专题;
有关数学的操作活动,如切割立体图形,用各种几何图形铺地砖等;
应用数学的活动.数学在日常生活十的应用;
数学史的有关专题.毕达哥拉斯的功绩、勾股定理的各种证明、日本的单位等.
3.体现学生综合能力的培养
为了培养学生综合数学知识内容,数学与其他学科,数学与社会的联系,形成综合各种知识和经验解决问题的能力,1998年新的学习要领中的一个大的变革是开设综合学习内容.学生综合地运用各课的知识和技能,养成生存的能力.例如:
在学校操场上画白线,作出一个野球比赛场(野球是日本非常热门的体育活动),其中必须做出直角,如果用尺规画,然后再作延长线,肯定有误差,可利用勾股定理中直角三角形三条边的关系,用三条线段确定出直角.
四、现实的数学——荷兰的数学课程标准
荷兰政府教育与科学文化每5年颁布一次国家课程目标最新的课程目标是1998年颁布的获得性目标.1998—2003,该文件具体刻画中小学生毕业之前必须学到的内容和应当达到的最低标准.就数学课程目标来说,则充分体现了现实数学教育的思想和实践成果.
“获得性目标”分为跨学科目标(cross—curricularattainmenttargets),每个学科的一般性目标和具体课程内容目标.我们主要看一下初中阶段后两项的目标.
(一)一般性目标
中学数学课程的一般性目标是使学生:
发展对待工作的数学态度,包括在系统和讲究方法的基础上从事上作,对有关资料和结果能作出有探索性的评价和推广,能创造性地接近一个问题的结论;
通过交流和数学思维等数学活动发展数学语言,并熟练地使用数学语言;
获得对数学的鉴赏能力,通过发展与数学思维相关的情感和从数学活动中获得的愉悦提高建立在自己数学能力基础上的自信心;
了解数学在其他学科领域中的应用:
获得的数学知识、理解能力和技能无论对今后继续接受教育、就业还是参与社会活动都有用
(二)中学数学课程的具体目标
具体目标包括算术,测量和估算,代数关系,几何,信息处理和统计四个领域:
1.算术,测量和估算
(1)心算,机算和笔算等多种计算方法
(2)计算器的使用,特别地,应能运用计算器把分数、百分数、根和幂转换成有限小数.
(3)估算的应用和检验
(4)长度,面积,体积,时间,角度和货币常用的计量单位,并能运用这些单位进行计算.
(5)比率和比例尺的计算.比率,分数和小数之间的相互关
系及其运算.
2.代数关系
(1)用表达式,表格图像或公式四种形式刻画、描述两个变量之间的关系,并能对这四种形式进行相互转换.
(2)读懂,比较和说明关系及其性质(如最大、最小值问题),并在解决实际问题时结合去达式、图表、图像和公式使用.
(3)学生应能对数的模型和数表作出定义、描述和设计规则.
(4)根据图像判断关系是否连续、增减或具有周期性.
(5)根据图像上的特殊点来判断图像的形状
(6)对两个简单的关系进行大小比较(借助于估计的方法).
(7)用简单的计算机程序解决包括两个量之间关系的问题.
3.几何
(1)能对三维物体的二维表示作出解释和说明,能画出直观的十面立体图,能作成比例缩小的处理及其他的处理.
(2)根据三维儿何体的图能画其正视图、俯视图,能根据平面图构造模型,能作出带比例尺的三维平面图.
(3)估算.测量和计算—维和二维物体的角度,大小(长宽高),面积和体积.
(4)通过画图,计算角度、尺寸和推理的过程,熟悉角的性质和几何术语如“平行”、“垂直”和“方向”等等.
(5)描述几何模型和物体的规律(regularity)和性质,并能应用.
(6)在画图,计算,解决实际问题和推理的时候使用工具.
4.信息处理和统计
(1)图表、直观性的信息源,及其呈现形式的恰当性.
(2)阅读、说明统计资料的表示.用表格、曲线图或图示的形式加工和整理这类资料,以及运用中心指示器(centreindicators)纪录这些资料的特征
(3)根据统计的目的而系统的获取、表述和整理资料.
(4)运用计算机程序处理统计资料,并对得山的结果作出解释。
(5)根据简单的实际情景运用数学模型对未来可能发生的事件和未来可能的发展作预测.
这个目标把学生的生活体验纳入具体目标体系,在中学阶段更加注重数学与实际的联系.几乎处处从实际任务(praticaltasks)和具体情景出发学习数学概念和方法:
取消了代数式的形式化运算,用代数关系取代了传统意义上的函数概念;几何以建立科学的空间观念为主题,内容始终围绕真实物体与平面图形之间的相互关系展开;以分析资料,形成推断,作出检验,呈现结论为内容的信息处理和统计被正式纳入中学数学课程;肯定了在中学课堂上使用计算机程序辅助教学和解决实际中的具体问题等等
五、国小影响大——新加坡数学课程标准
亚洲有计多在数学教育方面具有国际影响的国家和地区,如日本、韩国、新加坡等,其十新加坡国家虽小,影响很大,比如有不少美国的学校就直接选用了新加坡的原版数学教材.新加坡2000年颁布了新的《初中数学大纲》,提出厂面向新世纪新加坡数学课程的目标.
(一)数学课程的目标
发展学生对数字的、几何的、代数的和统计的概念的理解;
选择合适的方法进行计算,比如心算、机算等;
能进行估计和近似,并对测量的结果和结论的合理性作出迅速的判断;
将测量的体系用于日常生活和解决问题中;
用几何的工具;
收集和分析数据;
用书面的、几何的、图表的和数表的形式来表达.解释和应用信息;
用数学的语言、符号和图表来有效地理解、表达和交流数学的概念;
识别、应用二维和三维图形中的空间关系;
在给定的情境中适当地识别数学的序列;
在不同的情境中能够识别出模式的结构并进行一般化;
在熟悉和不熟悉的情境中,包括日常生活中,能应用和解释数学的概念;
逻辑地思考和对结论进行推证,并将这些过程应用到数学情境中;
分析问题,井用适当的策略去解决问题证明和解释结果,学会逻辑、清楚地表达数学的观点和解决数学问题的方法;
认识到数学各部分内容之间的联系以及数学在其他学科中的应用;
(二)数学课程的内容
大纲中主要包括:
算术、测量、代数、图形、统计、几何、三角、
问题解决等几部分内容为了满足不同学生将来的需要,将数学课程由易到难分为三种类型的课程:
普通学术课程和特殊专业课程,下面仅就普通学术课程的内容作一些简单的介绍
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