第二章推理与证明.docx
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第二章推理与证明
2.1.1 合情推理
【学习目标】理解合情推理的概念,掌握归纳推理和类比推理的方法
会根据已知进行合情推理和类比推理
【重点】归纳推理和类比推理【难点】归纳推理
【预习新知,自主学习】
一、合情推理
前提为,结论可能为的推理,叫合情推理
二、归纳推理
1.归纳推理的定义
由某类事物的具有某些特征,推出该类事物的都具有这些特征的推理,称为归纳推理.
2.归纳推理的特征
归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.
[化解疑难]
归纳推理的特点
(1)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否正确,还需经过逻辑证明和实践检验,因此,归纳推理不能作为数学证明的工具;
(2)一般地,如果归纳的个别对象越多,越具有代表性,那么推广的一般性结论也就越可靠.
三、类比推理
1.类比推理的定义
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理,称为类比推理.
2.类比推理的特征
类比推理是由特殊到特殊的推理.
[化解疑难]
对类比推理的定义的理解
(1)类比推理是两类对象特征之间的推理.
(2)对象的各个性质之间并不是孤立存在的,而是相互联系和相互制约的,如果两个对象有些性质相似或相同,那么它们另一些性质也可能相似或相同.
(3)在数学中,我们可以由已经解决的问题和已经获得的知识出发,通过类比提出新问题和获得新发现.
【合作探究】
例1.将全体正整数排成一个三角形数阵:
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
…
按照以上排列的规律,求第n行(n≥3)从左向右数第3个数.
【规律方法】
归纳推理的一般步骤
归纳推理的思维过程大致是:
实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论.该过程包括两个步骤:
(1)通过观察个别对象发现某些相同性质;
(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想).
[例2]
(1)有两种花色的正六边形地面砖,按下图的规律拼成若干个图案,则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )
A.26 B.31
C.32D.36
【规律方法】
解决图形中归纳推理的方法
解决与图形有关的归纳推理问题常从以下两个方面着手:
(1)从图形的数量规律入手,找到数值变化与数量的关系.
(2)从图形的结构变化规律入手,找到图形的结构每发生一次变化后,与上一次比较,数值发生了怎样的变化.
[再练一题]
把1,3,6,10,15,21,…这些数叫做三角形数,这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正三角形(如图),试求第七个三角形数是________.
例3. 设等差数列{an}的前n项和为Sn,则S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等差数列,类比以上结论有:
设等比数列{bn}的前n项积为Tn,则T4,________,________,
成等比数列.
【规律方法】
类比推理的一般步骤
类比推理的思维过程大致是:
观察、比较→联想、类推→猜测新的结论.
该过程包括两个步骤:
(1)找出两类对象之间的相似性或一致性;
(2)用一类对象的性质去猜测另一类对象的性质,得出一个明确的命题(猜想).
[再练一题]
已知椭圆具有以下性质:
已知M,N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上任意一点,若直线PM,PN的斜率都存在,并记为kPM,kPN,那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值.试对双曲线
-
=1(a>0,b>0)写出类似的性质,并加以证明.
例4. 三角形与四面体有下列相似性质:
(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形;四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形.
(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形;四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形.
通过类比推理,根据三角形的性质推测空间四面体的性质,并填写下表:
三角形
四面体
三角形的两边之和大于第三边
三角形的中位线的长等于第三边长的一半,且平行于第三边
三角形的三条内角平分线交于一点,且这个点是三角形内切圆的圆心
提示:
三角形和四面体分别是平面图形和空间图形,三角形的边对应四面体的面,即平面的线类比到空间为面.三角形的中位线对应四面体的中截面(以任意三条棱的中点为顶点的三角形),三角形的内角对应四面体的二面角,三角形的内切圆对应四面体的内切球.
【规律方法】
1.解决此类问题,从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手,将平面几何的相关结论类比到立体几何中,相关类比点如下:
平面图形
点
线
边长
面积
线线角
三角形
平行四边形
圆
空间图形
线
面
面积
体积
二面角
四面体
六面体
球
2.常见的从平面到空间的类比有以下几种情况,要注意掌握:
(1)三角形类比到三棱锥:
例:
在平面几何里,有勾股定理:
“设△ABC的两边AB,AC互相垂直,则AB2+AC2=BC2”,拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面积与底面积间的关系,可以得出的正确结论是:
“设三棱锥ABCD的三个侧面ABC,ACD,ADB两两相互垂直,则________________________________________________________________________”.
解析:
“直角三角形的直角边长、斜边长”类比为“直角三棱锥的侧面积、底面积”.
答案:
S
+S
+S
=S
(2)平行四边形类比到平行六面体:
例:
平面几何中,有结论:
“平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和”.类比这一结论,将其拓展到空间,可得到结论:
“______________________________________”.
解析:
“平行四边形的边、对角线”类比为“平行六面体的棱、对角线”.
答案:
平行六面体四条对角线的平方和等于十二条棱的平方和
(3)圆类比到球:
例:
半径为r的圆的面积S(r)=πr2,周长C(r)=2πr,若将r看作(0,+∞)上的变量,则(πr2)′=2πr ①,
①式可以用语言叙述为:
圆的面积函数的导数等于圆的周长函数.对于半径为R的球,若将R看作(0,+∞)上的变量,请你写出类似于①的式子②:
__________________________,
②式可以用语言叙述为:
_________________________________________________.
解析:
通过给出的两个量之间的关系,类比球的体积公式和球的表面积公式,我们不难发现
′=4πR2,从而使问题解决.
答案:
′=4πR2 球的体积函数的导数等于球的表面积函数
(4)平面解析几何类比到空间解析几何:
例:
类比平面内一点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的距离公式,猜想空间中一点P(x0,y0,z0)到平面Ax+By+Cz+D=0(A2+B2+C2≠0)的距离公式为d=________________________________________________________________________.
解析:
类比平面内点到直线的距离公式d=
,易知答案应填
.
答案:
2.1.2 演绎推理
【学习目标】理解演绎推理的概念,能对具体的推理说明其演绎推理的形式,能区别合情推理与演绎推理
【重点】演绎推理
【难点】三段论推理与假言推理的区别
【预习新知,自主学习】
1.演绎推理的概念
根据导出的推理称为演绎推理.
简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理.
2.演绎推理的特征
3.演绎推理的四种形式为
(1)
(2)(3)(4)
三段论
“三段论”是演绎推理的一般模式,包括:
(1)大前提——已知的一般原理;
(2)小前提——所研究的特殊情况;
(3)结论——根据一般原理,对特殊情况作出的判断.
“三段论”可以表示为:
大前提:
M是P.
小前提:
S是M.
结论:
S是P.
[化解疑难]
辨析演绎推理与合情推理
(1)演绎推理是确定的、可靠的,而合情推理则带有一定的风险性.严格的数学推理以演绎推理为基础,而数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理.
(2)合情推理和演绎推理分别在获取经验和辨别真伪两个环节中扮演重要角色.因此,我们不仅要学会证明,而且要学会猜想.
【合作探究】
例1.设
为实数,求证
有两相异实数根
例2. 将下列演绎推理写成三段论的形式.
(1)一切奇数都不能被2整除,75不能被2整除,所以75是奇数.
(2)三角形的内角和为180°,Rt△ABC的内角和为180°.
【规律方法】
三段论的推理形式
三段论推理是演绎推理的主要模式,推理形式为“如果b⇒c,a⇒b,则a⇒c.”其中,b⇒c为大前提,提供了已知的一般性原理;a⇒b为小前提,提供了一个特殊情况;a⇒c为大前提和小前提联合产生的逻辑结果.
[再练一题]
1.分析下列三段论推理是否正确?
并说明错误原因
(1)整数是自然数
(2)自然数是整数(3)自然数是整数
—3是整数—3是自然数-3是整数
所以,—3是自然数所以,—3是整数所以-3是整数
例3:
证明:
例4.函数
的图像恒在x轴上方。
[再练一题]
证明:
函数
的值恒为正数
2.2.1 综合法和分析法
【学习目标】理解综合法与分析法的概念和区别,能熟练的运用分析法综合法证题
【重点】综合法与分析法
【难点】用综合法和分析法证明题目
【预习新知,自主学习】
一、综合法
1.综合法的定义
利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.
2.综合法的框图表示
―→
―→
―→…―→
(P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示所要证明的结论)
3.综合法的特点
(1)综合法的特点是从“已知”看“未知”,其逐步推理实际上是寻找已知条件的必要条件.
(2)综合法从命题的条件出发,利用定义、公理、定理和运算法则,通过演绎推理,一步一步完成命题的证明.
二、分析法
1.分析法的定义
从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止,这种证明方法叫分析法.
2.分析法的框图表示
→
―→
―→…―→
3.分析法的特点
(1)分析法的特点是从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”,其逐步推理实际上是寻找使结论成立的充分条件.
(2)分析法从命题的结论入手,寻求结论成立的条件,直至归结为已知条件、定义、公理、定理等.
例1. 已知a,b,c是不全相等的正数,求证:
a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.
【规律方法】
综合法的证明步骤
(1)分析条件,选择方向:
确定已知条件和结论间的联系,合理选择相关定义、定理等;
(2)转化条件,组织过程:
将条件合理转化,书写出严密的证明过程.
特别地,根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程.
[再练一题]
已知a>0,b>0,且a+b=1,求证:
+
≥9.
例2.求证:
+
≥2
+
.
【规律方法】
分析法的证明过程及书写形式
(1)证明过程:
确定结论与已知条件间的联系,合理选择相关定义、定理对结论进行转化,直到获得一个显而易见的命题即可.
(2)书写形式:
要证…,只需证…,即证…,然后得到一个明显成立的条件,所以结论成立.
[再练一题]
在锐角△ABC中,求证:
tanAtanB>1.
【规律方法】
综合法与分析法的适用范围
(1)综合法适用的范围:
①定义明确的题型,如证明函数的单调性、奇偶性,求证无条件的等式或不等式问题等;
②已知条件明确,且容易通过找已知条件的必要条件逼近欲得结论的题型.
(2)分析法适用的范围:
分析法的适用范围是已知条件不明确,或已知条件简便而结论式子较复杂的问题.
[例题赏析]
设a,b∈(0,+∞),且a≠b,求证:
a3+b3>a2b+ab2.
证明:
法一:
(分析法)
要证a3+b3>a2b+ab2成立,
即需证(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b)成立.
又因a+b>0,故只需证a2-ab+b2>ab成立,
即需证a2-2ab+b2>0成立,即需证(a-b)2>0成立.
而依题设a≠b,则(a-b)2>0显然成立.
由此命题得证.
法二:
(综合法)
a≠b⇔a-b≠0⇔(a-b)2>0⇔a2-2ab+b2>0
⇔a2-ab+b2>ab.
∵a>0,b>0,∴a+b>0,(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b).
∴a3+b3>a2b+ab2.
2.2.2 反证法
【学习目标】理解反证法的概念,会用反证法证明一些简单题目
【重点】反证法
【难点】用反证法证明一些简单题目
【预习新知,自主学习】
[提出问题]
著名的“道旁苦李”的故事:
王戎小时候爱和小朋友在路上玩耍.一天,他们发现路边的一棵树上结满了李子,小朋友一哄而上,去摘李子,独有王戎没动.等到小朋友摘了李子一尝,原来是苦的.他们都问王戎:
“你怎么知道李子是苦的呢?
”王戎说:
“假如李子不苦的话,早被路人摘光了,而这棵树上却结满了李子,所以李子一定是苦的.”
问题1:
王戎的论述运用了什么推理思想?
提示:
运用了反证法的思想.
问题2:
反证法解题的实质是什么?
提示:
否定结论,导出矛盾,从而证明原结论正确.
[导入新知]
1.反证法
假设原命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这种证明方法叫做反证法.
2.反证法常见的矛盾类型
反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾,这个矛盾可以是与已知条件矛盾,或与假设矛盾,或与定义、公理、定理、事实矛盾等.
【合作探究】
例1. 设函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)中,a,b,c均为整数,且f(0),f
(1)均为奇数.求证:
f(x)=0无整数根.
【规律方法】
1.用反证法证明否定性命题的适用类型
一般地,当题目中含有“不可能”“都不”“没有”等否定性词语时,宜采用反证法证明.
2.反证法的一般步骤
用反证法证明命题时,要从否定结论开始,经过正确的推理,导出逻辑矛盾,从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程.这个过程包括下面三个步骤:
(1)反设——假设命题的结论不成立,即假设原结论的反面为真;
(2)归谬——由“反设”作为条件,经过一系列正确的推理,得出矛盾;
(3)存真——由矛盾结果断定反设错误,从而肯定原结论成立.
即反证法的证明过程可以概括为:
反设——归谬——存真.
[再练一题]
设a,b,c,d∈R,且ad-bc=1,求证:
a2+b2+c2+d2+ab+cd≠1.
例2.已知a1+a2+a3+a4>100,求证:
a1,a2,a3,a4中至少有一个数大于25.
【规律方法】
用反证法证明唯一性命题的适用类型
(1)当证明结论是“有且只有”“只有一个”“唯一”等形式的命题时,由于反设结论易于导出矛盾,所以用反证法证明唯一性比较简单.
(2)证明“有且只有一个”的问题,需要证明两个方面,即存在性问题和唯一性问题两个方面.
常见“结论词”与“反设词”
原结论词
至少有一个
至多有一个
至少有n个
至多有n个
反设词
一个也没有(不存在)
至少有两个
至多有(n+1)个
至少有(n-1)个
原结论词
只有一个
对所有x成立
对任意x不成立
反设词
没有或至少有两个
存在某个x不成立
存在某个x成立
原结论词
都是
一定是
p或q
p且q
反设词
不都是
不一定是
p且q
p或q
[再练一题]
已知函数y=f(x)在区间(a,b)上是增函数.求证:
函数y=f(x)在区间(a,b)上至多有一个零点.
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- 第二 推理 证明