18波动2题解.docx
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18波动2题解.docx
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18波动2题解
23-1∵△ϕ=2πf△x/u
∴△x=△ϕu/2πf=(π/3)×3/2π=0.5m→C
23-2沿x轴负方向传播的平面简谐波,位于x点的振动方程为:
y=Acos(ωt+kx+Φ0)=Acos{ω[t+(x/u)}+Φ0}.
注意到给出的B点的位置是变量x,x≠-x.→D
y∣B=Acos{ω[t-(x0/u)}+Φ0}.
(本题中,B点的位置用变量x表示容易引起误会。
对任何x都是D。
)
23-3解:
以余弦函数表示的沿x轴正方向传播的平面简谐波的波函数为:
y=Acos[2πt/T-2πx/λ+Φ0]
由图知,λ=4m
∴y=Acos[2πt/T-πx/2+Φ0]。
用解析法解:
t=T/4时振动的分布---波形曲线的函数为:
y=Acos[π/2-πx/2+Φ0]
0点:
x=0,y=0,要求cos[π/2+Φ0]=0
∴π/2+Φ0=±π/2,±π3/2,…
∴在给定的初值范围内,Φ0有三个可能的值:
Φ0=0,Φ0=-π,Φ0=π。
考虑到,当x↗时,y<0,相位角必落到以y为参考的第三象限中。
故有Φ0=π。
∴波函数为:
y=Acos[2πt/T-πx/2+π]
1点:
t=0,x=1,Φ10=-π/2+π=π/2
2点:
t=0,x=2,Φ20=-π+π=0
3点:
t=0,x=3,Φ30=-π3/2+π=-π/2→D
也可用旋转矢量法解,但要注意,x的变化和t的变化所引起的振幅矢量的旋转方向是不一样的。
请自己完成。
23-4设质量密度为ρ,则波动过程中,能量密度为:
W=dE/dV=dEk/dV+dEp/dV=2dEk/dV
质元振动速度v=-Aωsin[ω(t-x/u)+ϕ0]
[ω(t-x/u)+ϕ0]=π/2时,v=vmax,Ek=Ekmax,W=Wmax.而此时
y=Acos[ω(t-x/u)+ϕ0]=0
∴y=0各点的质元的能量最大,即a,c,e,g点。
→B
23-5由此两列相干波所形成的驻波的驻波方程为:
Y=2Acos(2πx/λ)cos(2πνt)
波腹位于│cos(2πx/λ)│=1的各x点,由此解得
x=±kλ/2,k=0,1,2,…→C
23-6设波沿x轴正向传播,则有
y=Acos(ωt-kx+ϕ0)
根据题意,某时刻,某质元在负的最大位移处,即有y=-A,
∴此时cos(ωt-kx+ϕ0)=-1
ωt-kx+ϕ0=π
∴该质元的动能为:
dWk=
=0
同理,该质元的势能为:
dWP=
=0
→B
23-7驻波方程为:
Y=2Acos(2πx/λ)cos(2πνt)
振幅即2Acos(2πx/λ)的模值-----|2Acos(2πx/λ)|。
→D
23-8另一列波为:
Y2=2.0×10-2cos[2π(t/0.02+x/20)十ϕ0](SI)
要求在x=0处形成驻波波节,其物理意义是,当x=0时,对任何t,y1和y2保持π的相位差,所以有
[2πt/0.02十ϕ0]-[2πt/0.02十π/3]=π
ϕ0=π/3+π=4π/3
∴Y2=2.0×10-2cos[2π(t/0.02+x/20)十4π/3]→C
23-9解:
波沿OX轴负方向传播时,波动方程为:
Y=Acos(2πνt+2πx/λ+ϕ0)
(1)
P点,x=-L,Yp=Acos(2πνt+π/2)
与
(1)式相比,知-2πL/λ+ϕ0=π/2,
ϕ0=π/2+2πL/λ
∴Y=Acos(2πνt+2π(L+x)/λ+π/2)
O点(x=0),t1时刻的振动状态为:
Yt1=Acos(2πνt1+2πL/λ+π/2)
要求:
Ypt=Acos(2πνt+π/2)=Yt1=Acos(2πνt1+2πL/λ+π/2)
∴2πνt=2πνt1+2πL/λ
t=t1+L/λν
23-1O(这类题有几种解法,主要是三角学的方法,旋转矢量法就是三角学中旋转单位圆的半径。
参见23-3,23-20,23-21,23-24题)
一般波动方程为:
y=Acos[2πνt-2πx/λ+Φ0]=Acos[2πνt-2πx/Tu+Φ0]
解法2:
(其他解法见相关题)
x=0,t=t0时为:
y=Acos[2πνt0+Φ0]=0
∴2πνt0+Φ0=±π/2,(k≥1无意义)
∵当x↗时,Φ↘(逆时针),要求y>0,上式只能取正号。
∴Φ0=π/2-2πνt0,
∴x=0点的振动方程为:
y=Acos[2πν(t-t0)+π/2]
波动方程为:
y=Acos[2πν(t-t0)-2πx/λ+π/2]
23-11由图知:
A=2cm=0.02m,T=4s,ν=1/T=1/4,u=5m/s,λ=uT=20m.
沿X轴正向传播的平面简谐波的波函数为:
y=Acos[2πt/T-2πx/uT+Φ0]
=Acos[πt/2-πx/10+Φ0]
x=0,t=0时,y=Acos[2πν(t-x/u)+Φ0]=Acos[Φ0]=0
且t↗,y↗,∴Φ0=-π/2
∴y=2cos[πt/2-πx/10-π/2](cm)
当t=3s时,
y=2cos[3π/2-πx/10-π/2]=2cos[πx/10-π]
=-2cos[πx/10]cm
由此函数即可作出所需的曲线。
23-12设
,
,则
t=0时,有
=0.5m
23-13(参见23-8,及P.68。
)反射点(x=0)为波腹,所以,在x=O处两波位相相同,而传播方向相反:
Y2=Acos2π(t/T-x/λ)
合振动方程---驻波方程为:
y=Y1+Y2=Acos2π(t/T+x/λ)+Acos2π(t/T-x/λ)
=2Acos(2πx/λ)cos(2πt/T)
x=2λ/3时,cos(2πx/λ)=cos(4π/3)=-1/2
∴y=-Acos(2πt/T)=Acos(2πt/T-π)
∴振幅为:
A
23-14
=IScosθ。
23-15EX=300cos[2πν(t+z/u)+π/3]
Hy=-(300/120π)cos[2πν(t+z/u)+π/3]
=-0.8cos[2πν(t+z/u)+π/3]
在0点,z=0,Ex=300cos[2πνt+π/3]
Hy=-0.8cos[2πνt+π/3]
,
,-
,由此可作出函数的图象。
说明:
本题没有给定z=0平面上t的参考值,所以,在z=0点,图形的初始相位有任意性。
用传播速度作为参考方向,尽管在本题中,两种速度的方向是一致的,但必竟有些不合适。
23-16解:
为了理解本题的物理内容,此处将其全过程作一介绍。
特别注意,在有耗媒质中,波阻抗η是复数,运算时,不能直接拿到算符Re外。
采用相量法较为简单.对于均匀平面电磁波有
则复数形式的能流密度矢量(或功率密度矢量)--Poyntingvector:
实数能流密度矢量为:
=
—→时空的函数
时间平均的能流密度:
=
(w/m2)—→恒定的能量传输
其大小(即电磁波的强度)为:
=
=1.9×10-7J/m2·s
23-17
驻波方程为:
Y=Y1+Y2=Acos[2π(νt+x/λ)+π]+Acos[2π(νt-x/λ)]
=2Asin(2πx/λ)sin(2πνt)
23-18Hy=-Ez/η0=-(E0/120π)cos[2π(νt-x/λ)]
23-19S=4/4πr2=4/(4×3.14×4)=0.0795=0.08W/m2
23-20
解法2:
(参见23-10)
波动方程为:
y=Acos[2πν(t-t’)-2πνx/u+π/2]
x=0点的振动方程为:
y=Acos[2πν(t-t’)+π/2]
解法1:
由给出的曲线可得
=Acos[2πν(t-x/u)+Φ0]
=Asin(2πνx/u)=Acos(2πx/λ-π/2)
=Acos(-2πx/λ+π/2)
∴2πνt’-2πx/λ+Φ0=-2πx/λ+π/2
Φ0=π/2-2πνt’
∴波动方程为:
y=Acos[2πν(t-t’)-2πνx/u+π/2]
∴x=0点的振动方程为:
y=Acos[2πν(t-t’)+π/2]
23-21(参见23-3,23-10,23-20,23-22,23-23,23-24)
解:
(2)由图知,振幅为Am,T=4s,则波动方程为:
y=Acos[2πt/T+2πx/λ+ϕ0]
∵t=0,x=d时,y=-A
∴cos[2πd/λ+ϕ0]=-1
∴2πd/λ+ϕ0=π
∴ϕ0=π-2πd/λ
波动方程即为:
∴y=Acos[2πt/T+2πx/λ+π-2πd/λ]
=Acos[πt/2+2π(x-d)/λ+π]
(1)x=d的P点处质点的振动方程为:
y=Acos[πt/2+π]
(3)0点处x=0,d=λ/2,质点的振动方程为:
y=Acos[πt/2]
23-22解:
(参见23-3,23-10,23-20,23-21,23-23,23-24)
波动方程为:
y=Acos[2πν(t-x/u)+ϕ0]
∵t=0,x=0时,y=0,且t↗,y向正向运动(或t=0,V>0,解法见下一题),由旋转矢量知
∴ϕ0=-π/2
∴波动方程为:
y=0.02cos[100π(t-x/200)-π/2](m)
x=4处,质点的振动方程为:
y=0.02cos[100πt-π/2]
该质点的振动速度为:
Vx=4=
=-2πsin(100πt-π/2)
t=2s时的振动速度为:
Vx=4=-2πsin(-π/2)=2π
23-23解:
(1)入射波波动方程的一般形式是:
yi=Acos(ωt-2πx/λ+ϕ0)
∵t=0,x=0时,y=0,
∴ωt-2πx/λ+ϕ0=±π/2
又因为此时若t↗,y↘,即V<0.
∴V=-Aωsin(ϕ0)<0
∴ϕ0=π/2
∴入射波方程是:
yi=Acos(ωt-2πx/λ+π/2)
O’点的入射波波动方程是:
yiO’=Acos(ωt-
+π/2)=Acos(ωt-π)
在反射点O’的反射波有半波损失,所以
yrO’=Acos(ωt)
反射波方程一般形式是:
yr=Acos(ωt+2πx/λ+ϕ0r)
在O’点为:
yrO’=Acos(ωt+
+ϕ0r)=Acos(ωt)
∴ωt+7π/2+ϕ0r=ωt
ϕ0r=-3π/2=π/2
∴yr=Acos(ωt+2πx/λ+π/2)
(2)P点的x坐标是:
xP=OO’-PO’=7λ/4-λ/4=3λ/2
∴P点的振动方程:
yp=yip+yrp
=Acos[ωt-(2π/λ)(3λ/2)+π/2)
+Acos[(ωt+(2π/λ)(3λ/2)+π/2]
=2Acos(ωt-π/2)
23-24解:
波的一般表达式为:
y=0.1cos(7πt-2πx/λ+ϕ0)
(dY/dt)=-0.7πsin(7πt-2πx/λ+ϕ0)
在a点:
t=1.0s,x=0.1m时,
ya=0=0.1cos(7π-0.2π/λ+ϕ0)
7π-0.2π/λ+ϕ0=2kπ±π/2,k=0,±1,±2,±3,…
对振动和波动而言,只有k=0有意义。
(相关题都相同,不再重复)
又(dY/dt)a<0,即
sin(7π-0.2π/λ+ϕ0)>0
∴7π-0.2π/λ+ϕ0=π/2
(1)
在b点:
t=1.0s,x=0.2m时,
yb=0.05=0.1cos(7π-0.4π/λ+ϕ0)
cos(7π-0.4π/λ+ϕ0)=0.5
7π-0.4π/λ+ϕ0=±π/3
又(dY/dt)b>0,即
sin(7π-0.4π/λ+ϕ0)<0
∴7π-0.4π/λ+ϕ0=-π/3
(2)
(1)-
(2)式得0.2π/λ=5π/6
λ=0.2×6/5=0.24m
代入
(1)得
ϕ0=π/2-7π+0.2π/0.24=-17π/3=-6π+π/3
∴y=0.1cos(7πt-2πx/0.24-17π/3)
=0.1cos(7πt-25πx/3-17π/3)
=0.1cos(7πt-25πx/3+π/3)(m)
根据题中“设该波波长λ>10cm”的提示,是要对k加以讨论(如前面的说明那样,没有必要)。
这时
(1)和
(2)式分别为
7π-0.2π/λ+ϕ0=2kπ+π/2,k=0,±1,±2,±3,…(3)
7π-0.4π/λ+ϕ0=2k′π-π/3,k′=0,±1,±2,±3,…(4)
(3)-(4)得
1.2π/λ=2π(k-k′)+5π/6
λ=1.2/[12(k-k′)+5],
要求λ>0.1,若k=k′=0,则λ=1.2/5=0.24m,满足条件。
除此外若k 若k>k′,λ<0.1,不满足条件。 若k=k′,则λ=1.2/5=0.24m,满足条件。 ∴λ=0.24m, k=k′=0,±1,±2,±3,… 将λ=0.24m代入(4)得 ϕ0=2kπ-6π+π/3 y=0.1cos(7πt-25πx/3+2kπ-6π+π/3) =0.1cos(7πt-25πx/3+π/3) 23-25解: (1)P=△W/△t=2.7×10-2/10=2.7×10-3(J/s) (2)I=P/S=2.7×10-3/3.00×10-2=9.0×10-2(J/m2·s) (3) =W/V=W/Sut=I/u=9×10-2/340=2.6×10-4(J/m3) 23-26 解法1: y=y1+y2=2Acos2π(νt+x/λ)+Acos2π(νt-x/λ) =2Acos(2πνt)cos(2πx/λ)-2Asin(2πνt)sin(2πx/λ) +Acos(2πνt)cos(2πx/λ)+Asin(2πνt)sin(2πx/λ) =3Acos(2πνt)cos(2πx/λ)-Asin(2πνt)sin(2πx/λ) x=λ/4时,y=-Asin(2πνt)=Acos(2πνt+π/2) dy/dt=-2πνAsin(2πνt+π/2)=-2πνAcos(2πνt) 解法2: 由于只求x=λ/4点的振动和速度,所以,可以直接在x=λ/4点运算: x=λ/4时,y1=2Acos2π(νt+x/λ)=2Acos(2πνt+π/2) y2=Acos2π(νt-x/λ)=Acos(2πνt-π/2) 合振动振幅: = =2A-A=A —→∞ ∴ϕ=π/2 合振动方程: y=Acos(2πνt+π/2) dy/dt=-2πνAsin(2πνt+π/2)=-2πνAcos(2πνt)
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